En matemáticas, la secuencia exacta de cinco términos o la secuencia exacta de términos de bajo grado es una secuencia de términos relacionados con el primer paso de una secuencia espectral .
Más precisamente, dejemos
ser una secuencia espectral del primer cuadrante, lo que significa que desaparece excepto cuando p y q son ambos no negativo. Entonces hay una secuencia exacta
- 0 → Mi 2 1,0 → H 1 ( A ) → Mi 2 0,1 → Mi 2 2,0 → H 2 ( A ).
Aquí, el mapa es el diferencial de la -término de la secuencia espectral.
Ejemplo
- 0 → H 1 ( G / N , A N ) → H 1 ( G , A ) → H 1 ( N , A ) G / N → H 2 ( G / N , A N ) → H 2 ( G , A )
- en cohomología de grupo surge como la secuencia exacta de cinco términos asociada a la secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre
- H p ( G / N , H q ( N , A )) ⇒ H p + q ( G, A )
- donde G es un grupo profinito , N es un subgrupo normal cerrado y A es un módulo G discreto .
Construcción
La secuencia es una consecuencia de la definición de convergencia de una secuencia espectral. El diferencial de la segunda página con el codominio E 2 1,0 se origina en E 2 −1,1 , que es cero por supuesto. El diferencial con el dominio E 2 1,0 tiene el codominio E 2 3, −1 , que también es cero por supuesto. De manera similar, los diferenciales entrantes y salientes de E r 1,0 son cero para todo r ≥ 2 . Por lo tanto, el término (1,0) de la secuencia espectral ha convergido, lo que significa que es isomorfa al grado uno de la pieza graduada del pilar H 1 ( A ). Debido a que la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante, el grado de una pieza calificada es igual al primer subgrupo en la filtración que define las piezas calificadas. La inclusión de este subgrupo produce la inyección E 2 1,0 → H 1 ( A ) que comienza la secuencia exacta de cinco términos. Esta inyección se llama mapa de bordes .
El término E 2 0,1 de la secuencia espectral no ha convergido. Tiene un diferencial potencialmente no trivial que conduce a E 2 2,0 . Sin embargo, el aterrizaje diferencial en E 2 0,1 comienza en E 2 −2,2 , que es cero, y por lo tanto E 3 0,1 es el núcleo del diferencial E 2 0,1 → E 2 2,0 . En la tercera página, el término (0, 1) de la secuencia espectral ha convergido, porque todos los diferenciales que entran y salen de E r 0,1 comienzan o terminan fuera del primer cuadrante cuando r ≥ 3 . En consecuencia, E 3 0,1 es la pieza de grado cero de H 1 ( A ). Esta pieza graduada es el cociente de H 1 ( A ) por el primer subgrupo en la filtración y, por lo tanto, es el cokernel del mapa de bordes de E 2 1,0 . Esto produce una breve secuencia exacta
- 0 → Mi 2 1,0 → H 1 ( A ) → Mi 3 0,1 → 0.
Debido a que E 3 0,1 es el núcleo del diferencial E 2 0,1 → E 2 2,0 , el último término de la secuencia corta exacta se puede reemplazar con el diferencial. Esto produce una secuencia exacta de cuatro términos. El mapa H 1 ( A ) → E 2 0,1 también se denomina mapa de borde.
El diferencial de salida de E 2 2,0 es cero, entonces E 3 2,0 es el cokernel del diferencial E 2 0,1 → E 2 2,0 . Los diferenciales entrantes y salientes de E r 2,0 son cero si r ≥ 3 , nuevamente porque la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante y, por lo tanto, la secuencia espectral ha convergido. En consecuencia, E 3 2,0 es isomorfo al grado dos de la pieza graduada de H 2 ( A ). En particular, es un subgrupo de H 2 ( A ). El compuesto E 2 2,0 → E 3 2,0 → H 2 ( A ), que es otro mapa de borde, por lo tanto, tiene un núcleo igual al aterrizaje diferencial en E 2 2,0 . Esto completa la construcción de la secuencia.
Variaciones
La secuencia exacta de cinco términos se puede ampliar a costa de hacer que uno de los términos sea menos explícito. La secuencia exacta de siete términos es
- 0 → Mi 2 1,0 → H 1 ( A ) → Mi 2 0,1 → Mi 2 2,0 → Ker ( H 2 ( A ) → Mi 2 0,2 ) → Mi 2 1,1 → Mi 2 3 , 0 .
Esta secuencia no se extiende inmediatamente con un mapa a H 3 ( A ). Si bien hay un mapa de bordes E 2 3,0 → H 3 ( A ), su núcleo no es el término anterior en la secuencia exacta de siete términos.
Para las secuencias espectrales cuya primera página interesante es E 1 , hay una secuencia exacta de tres términos análoga a la secuencia exacta de cinco términos:
También hay secuencias exactas de bajo grado para secuencias espectrales homológicas, así como para secuencias espectrales en el tercer cuadrante. Cuando se sabe que desaparecen términos adicionales de la secuencia espectral, las secuencias exactas a veces pueden extenderse más. Por ejemplo, la secuencia larga exacta asociada a una secuencia corta exacta de complejos puede derivarse de esta manera.
Referencias
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .