En matemáticas , especialmente en los campos de la cohomología de grupo , el álgebra homológica y la teoría de números , la secuencia espectral de Lyndon o secuencia espectral de Hochschild-Serre es una secuencia espectral que relaciona la cohomología de grupo de un subgrupo N normal y el grupo de cociente G / N con la cohomología. del total del grupo G . La secuencia espectral lleva el nombre de Roger Lyndon , Gerhard Hochschild y Jean-Pierre Serre .
Declaración
La declaración precisa es la siguiente:
Sea G un grupo y N un subgrupo normal . Esto último asegura que el cociente G / N también sea un grupo. Por último, dejar que un ser un G -módulo . Luego hay una secuencia espectral de tipo cohomológico
y hay una secuencia espectral de tipo homológico
- .
La misma afirmación es válida si G es un grupo profinito , N es un subgrupo normal cerrado y H * denota la cohomología continua.
Ejemplo: Cohomología del grupo Heisenberg
La secuencia espectral se puede utilizar para calcular la homología del grupo G de Heisenberg con entradas integrales, es decir, matrices de la forma
Este grupo es una extensión central
con centro correspondiente al subgrupo con a = c = 0. La secuencia espectral para la homología de grupo, junto con el análisis de un diferencial en esta secuencia espectral, muestra que [1]
Ejemplo: cohomología de productos de corona
Para un grupo G , el producto de corona es una extensión.
La secuencia espectral resultante de cohomología de grupo con coeficientes en un campo k ,
se sabe que degenera en el -página. [2]
Propiedades
La secuencia exacta de cinco términos asociada es la secuencia exacta habitual de restricción de inflación :
Generalizaciones
La secuencia espectral es un ejemplo de la secuencia espectral de Grothendieck más general de la composición de dos functores derivados. En efecto,es el functor derivado de(es decir, tomando invariantes G ) y la composición de los functores y es exactamente .
Existe una secuencia espectral similar para la homología de grupo, a diferencia de la cohomología de grupo. [3]
Referencias
- ^ Knudson, Kevin (2001). Homología de grupos lineales . Progreso en Matemáticas. 193 . Basilea: Birkhäuser Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8338-2 . ISBN 3-7643-6415-7. Señor 1807154 . Ejemplo A.2.4
- ^ Nakaoka, Minoru (1960), "Teorema de descomposición para grupos de homología de grupos simétricos", Annals of Mathematics , Segunda serie, 71 (1): 16-42, doi : 10.2307 / 1969878 , JSTOR 1969878, para un breve resumen, consulte la sección 2 de Carlson, Jon F .; Henn, Hans-Werner (1995), "Depth and the cohomology of wreath products", Manuscripta Mathematica , 87 (2): 145–151, CiteSeerX 10.1.1.540.1310 , doi : 10.1007 / BF02570466
- ^ McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 58 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521567599 , ISBN 978-0-521-56759-6, Señor 1793722, Teorema 8 bis .12
- Lyndon, Roger C. (1948), "La teoría de la cohomología de las extensiones de grupo", Duke Mathematical Journal , 15 (1): 271-292, doi : 10.1215 / S0012-7094-48-01528-2 , ISSN 0012-7094 (muro de pago)
- Hochschild, Gerhard ; Serre, Jean-Pierre (1953), "Cohomology of group extensions", Transactions of the American Mathematical Society , 74 (1): 110-134, doi : 10.2307 / 1990851 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990851 , MR 0052438
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001