Teoría de Galois
En matemáticas , la teoría de Galois , introducida originalmente por Évariste Galois , proporciona una conexión entre la teoría de campos y la teoría de grupos . Esta conexión, el teorema fundamental de la teoría de Galois , permite reducir ciertos problemas de la teoría de campos a la teoría de grupos, lo que los hace más sencillos y fáciles de entender.
Galois introdujo el tema del estudio de raíces de polinomios . Esto le permitió caracterizar las ecuaciones polinómicas que se pueden resolver con radicales en términos de las propiedades del grupo de permutación de sus raíces: una ecuación se puede resolver con radicales si sus raíces se pueden expresar mediante una fórmula que involucra solo números enteros , raíces enésimas y el cuatro operaciones aritméticas básicas . Esto generaliza ampliamente el teorema de Abel-Ruffini , que afirma que un polinomio general de grado al menos cinco no puede resolverse mediante radicales.
La teoría de Galois se ha utilizado para resolver problemas clásicos, incluyendo mostrar que dos problemas de la antigüedad no se pueden resolver como se plantearon ( doblar el cubo y trisecar el ángulo ), y caracterizar los polígonos regulares que son construibles (esta caracterización fue dada previamente por Gauss , pero todas las pruebas conocidas de que esta caracterización es completa requieren la teoría de Galois).
El trabajo de Galois fue publicado por Joseph Liouville catorce años después de su muerte. La teoría tardó más en volverse popular entre los matemáticos y en ser bien entendida.
El nacimiento y desarrollo de la teoría de Galois estuvo motivado por la siguiente cuestión, que fue una de las principales cuestiones abiertas en matemáticas hasta principios del siglo XIX:
¿Existe una fórmula para las raíces de una ecuación polinomial de quinto grado (o mayor) en términos de los coeficientes del polinomio, usando solo las operaciones algebraicas usuales (suma, resta, multiplicación, división) y la aplicación de radicales (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.)?
