Évariste Galois ( / ɡ æ l w ɑː / ; [1] francesa: [evaʁist ɡalwa] ; 25 octubre 1811 a 31 mayo 1832) era un francés matemático y activista político. Cuando aún era adolescente, pudo determinar una condición necesaria y suficiente para que un polinomio se pudiera resolver mediante radicales , resolviendo así un problema que se mantuvo durante 350 años. Su trabajo sentó las bases para la teoría de Galois y la teoría de grupos , [2] dos ramas principales del álgebra abstracta y el subcampo deConexiones de Galois . Murió a los 20 años por las heridas sufridas en un duelo . [3]
Évariste Galois | |
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Nació | |
Fallecido | 31 de mayo de 1832 París, Reino de Francia | (20 años)
Causa de la muerte | Peritonitis causada por herida de bala |
Nacionalidad | francés |
alma mater | École préparatoire (sin título) |
Conocido por | Trabajar en teoría de ecuaciones , teoría de grupos y teoría de galois |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Influencias | Adrien-Marie Legendre Joseph-Louis Lagrange |
Firma | |
La vida
Vida temprana
Galois nació el 25 de octubre de 1811 de Nicolas-Gabriel Galois y Adélaïde-Marie (de soltera Demante). [2] [4] Su padre era republicano y estaba a la cabeza del partido liberal de Bourg-la-Reine . Su padre se convirtió en alcalde de la aldea [2] después de que Luis XVIII regresara al trono en 1814. Su madre, hija de un jurista , leía con fluidez literatura latina y clásica y fue responsable de la educación de su hijo durante sus primeros doce años. .
En octubre de 1823 ingresó en el Lycée Louis-le-Grand , [5] A la edad de 14 años, comenzó a interesarse seriamente por las matemáticas . [5]
Encontró una copia de Adrien-Marie Legendre 's Éléments de la Geometría , que, se dice, leyó 'como una novela' y masterizado en la primera lectura. A los 15 años, estaba leyendo los artículos originales de Joseph-Louis Lagrange , como las Réflexions sur la résolution algébrique des équations [ cita requerida ] que probablemente motivó su trabajo posterior sobre la teoría de ecuaciones, y Leçons sur le calcul des fonctions , trabajo destinado a matemáticos profesionales, sin embargo, su trabajo de clase seguía sin estar inspirado, y sus maestros lo acusaron de afectar la ambición y la originalidad de manera negativa. [4]
Matemático en ciernes
En 1828, intentó el examen de ingreso a la École Polytechnique , la institución de matemáticas más prestigiosa de Francia en ese momento, sin la preparación habitual en matemáticas, y fracasó por falta de explicaciones en el examen oral. En ese mismo año, ingresó en la École Normale (entonces conocida como l'École préparatoire), una institución muy inferior para los estudios matemáticos en ese momento, donde encontró a algunos profesores que lo simpatizaban. [ cita requerida ]
Al año siguiente , se publicó el primer artículo de Galois sobre fracciones continuas [6] . Fue aproximadamente al mismo tiempo que comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinomiales . Presentó dos artículos sobre este tema a la Academia de Ciencias . Augustin-Louis Cauchy arbitró estos artículos, pero se negó a aceptarlos para su publicación por razones que aún no están claras. Sin embargo, a pesar de muchas afirmaciones en contrario, se sostiene ampliamente que Cauchy reconoció la importancia del trabajo de Galois, y que simplemente sugirió combinar los dos artículos en uno para ingresarlo en el concurso por el Gran Premio de la Academia en Matemáticas. Cauchy, un eminente matemático de la época, aunque con puntos de vista políticos opuestos a los de Galois, consideró que el trabajo de Galois era un probable ganador. [7]
El 28 de julio de 1829, el padre de Galois se suicidó tras una amarga disputa política con el sacerdote del pueblo. [8] Un par de días después, Galois hizo su segundo y último intento de ingresar a la Politécnica, y fracasó una vez más. [8] Es indiscutible que Galois estaba más que calificado; sin embargo, los relatos difieren sobre por qué fracasó. Relatos más plausibles afirman que Galois dio demasiados saltos lógicos y desconcertó al examinador incompetente, lo que enfureció a Galois. La reciente muerte de su padre también puede haber influido en su comportamiento. [4]
Tras haber sido denegada la admisión a la École polytechnique , Galois tomó los exámenes de Bachillerato para ingresar a la École normale . [8] Aprobó, recibiendo su título el 29 de diciembre de 1829. [8] Su examinador en matemáticas informó: "Este alumno a veces es oscuro al expresar sus ideas, pero es inteligente y muestra un notable espíritu de investigación".
Envió sus memorias sobre la teoría de ecuaciones varias veces, pero nunca se publicó en su vida debido a varios eventos. Aunque Cauchy rechazó su primer intento, en febrero de 1830, siguiendo la sugerencia de Cauchy, lo presentó al secretario de la Academia, Joseph Fourier , [8] para ser considerado para el Gran Premio de la Academia. Desafortunadamente, Fourier murió poco después, [8] y las memorias se perdieron. [8] El premio se otorgaría ese año a Niels Henrik Abel póstumamente y también a Carl Gustav Jacob Jacobi . A pesar de las memorias perdidas, Galois publicó tres artículos ese año, uno de los cuales sentó las bases de la teoría de Galois . [9] El segundo fue sobre la resolución numérica de ecuaciones ( búsqueda de raíces en la terminología moderna). [10] El tercero fue importante en la teoría de números , en el que se articuló por primera vez el concepto de campo finito . [11]
Tizón político
Galois vivió durante una época de agitación política en Francia. Carlos X había sucedido a Luis XVIII en 1824, pero en 1827 su partido sufrió un importante revés electoral y en 1830 el partido liberal de oposición se convirtió en mayoría . Carlos, enfrentado a la oposición política de las cámaras, dio un golpe de estado y emitió sus notorias Ordenanzas de julio , dando inicio a la Revolución de julio [8] que terminó con Luis Felipe como rey. Mientras sus homólogos de la Politécnica estaban haciendo historia en las calles durante les Trois Glorieuses , Galois, en la École Normale, fue encerrado por el director de la escuela. Galois se indignó y escribió una carta abrasadora criticando al director, que presentó a la Gazette des Écoles , firmando la carta con su nombre completo. Aunque la Gaceta ' editor de s omite la firma para su publicación, Galois fue expulsado. [12]
Aunque su expulsión habría surtido efecto formalmente el 4 de enero de 1831, Galois abandonó la escuela inmediatamente y se unió a la unidad de artillería incondicionalmente republicana de la Guardia Nacional . Dividió su tiempo entre su trabajo matemático y sus afiliaciones políticas. Debido a la controversia en torno a la unidad, poco después de que Galois se convirtió en miembro, el 31 de diciembre de 1830, la artillería de la Guardia Nacional se disolvió por temor a que pudieran desestabilizar al gobierno. Aproximadamente al mismo tiempo, diecinueve oficiales de la antigua unidad de Galois fueron arrestados y acusados de conspiración para derrocar al gobierno.
En abril de 1831, los oficiales fueron absueltos de todos los cargos y el 9 de mayo de 1831 se celebró un banquete en su honor, con la presencia de muchas personas ilustres, como Alejandro Dumas . El proceso se volvió desenfrenado. En algún momento, Galois se puso de pie y propuso un brindis en el que dijo, "Por Luis Felipe ", con una daga sobre su taza. Los republicanos en el banquete interpretaron el brindis de Galois como una amenaza contra la vida del rey y aplaudieron. Fue detenido al día siguiente en casa de su madre y detenido en la prisión de Sainte-Pélagie hasta el 15 de junio de 1831, cuando fue juzgado. [7] El abogado defensor de Galois afirmó astutamente que Galois en realidad dijo: "A Louis-Philippe, si traiciona ", pero que el calificativo se ahogó en los vítores. El fiscal hizo algunas preguntas más, y quizás influenciado por la juventud de Galois, el jurado lo absolvió ese mismo día. [7] [8] [12] [13]
El siguiente Día de la Bastilla (14 de julio de 1831), Galois encabezó una protesta, vistiendo el uniforme de la artillería disuelta, y llegó fuertemente armado con varias pistolas, un rifle cargado y una daga. Fue arrestado nuevamente. [8] Durante su estancia en prisión, Galois en un momento bebió alcohol por primera vez ante la incitación de sus compañeros de prisión. Uno de estos reclusos, François-Vincent Raspail , registró lo que dijo Galois mientras estaba borracho en una carta del 25 de julio. Extraído de la carta: [7]
Y os digo, moriré en duelo con motivo de alguna coqueta de bas étage . ¿Por qué? Porque ella me invitará a vengar su honor que otro ha comprometido.
¿Sabes lo que me falta, amigo mío? Solo puedo confiárselo a ti: es alguien a quien puedo amar y amar solo en espíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado nunca, ¿me escuchas ...?
La primera línea es una profecía inquietante de cómo Galois moriría de hecho; el segundo muestra cómo Galois se vio profundamente afectado por la pérdida de su padre. Raspail continúa diciendo que Galois, todavía en un delirio, intentó suicidarse y que lo habría logrado si sus compañeros de prisión no lo hubieran detenido por la fuerza. [7] Meses después, cuando se llevó a cabo el juicio de Galois el 23 de octubre, fue condenado a seis meses de prisión por llevar uniforme ilegalmente. [8] [14] [15] Mientras estaba en prisión, continuó desarrollando sus ideas matemáticas. Quedó en libertad el 29 de abril de 1832.
Últimos días
Galois regresó a las matemáticas después de su expulsión de la École Normale , aunque continuó dedicando tiempo a actividades políticas. Después de que su expulsión se hiciera oficial en enero de 1831, intentó iniciar una clase privada de álgebra avanzada que despertó cierto interés, pero este se desvaneció, ya que parecía que su activismo político tenía prioridad. [4] [7] Siméon Denis Poisson le pidió que presentara su trabajo sobre la teoría de las ecuaciones , lo que hizo el 17 de enero de 1831. Alrededor del 4 de julio de 1831, Poisson declaró que el trabajo de Galois era "incomprensible", declarando que "[Galois '] el argumento no es ni suficientemente claro ni suficientemente desarrollado para permitirnos juzgar su rigor "; sin embargo, el informe de rechazo finaliza con una nota alentadora: "Sugerimos entonces que el autor publique la totalidad de su obra para formarse una opinión definitiva". [16] Si bien el informe de Poisson se hizo antes del arresto de Galois el 14 de julio, tomó hasta octubre llegar a Galois en prisión. No es sorprendente, a la luz de su carácter y situación en ese momento, que Galois reaccionó violentamente a la carta de rechazo y decidió abandonar la publicación de sus artículos a través de la Academia y, en cambio, publicarlos en privado a través de su amigo Auguste Chevalier. Aparentemente, sin embargo, Galois no ignoró el consejo de Poisson, ya que comenzó a recopilar todos sus manuscritos matemáticos mientras aún estaba en prisión, y continuó puliendo sus ideas hasta su liberación el 29 de abril de 1832, [12] después de lo cual de alguna manera fue convencido para un duelo. [8]
El duelo fatal de Galois tuvo lugar el 30 de mayo. [17] Los verdaderos motivos del duelo son oscuros. Ha habido mucha especulación sobre las razones detrás de esto. Lo que se sabe es que, cinco días antes de su muerte, escribió una carta a Chevalier en la que claramente alude a una relación amorosa rota. [7]
Algunas investigaciones de archivo sobre las cartas originales sugieren que la mujer de interés romántico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, [18] la hija del médico en el albergue donde Galois se hospedó durante los últimos meses de su vida. Se encuentran disponibles fragmentos de cartas suyas, copiadas por el propio Galois (con muchas porciones, como su nombre, borradas u omitidas deliberadamente). [19] Las cartas insinúan que du Motel le había confiado algunos de sus problemas a Galois, y esto podría haberlo llevado a provocar el duelo él mismo en su nombre. Esta conjetura también está respaldada por otras cartas que Galois escribió más tarde a sus amigos la noche anterior a su muerte. El primo de Galois, Gabriel Demante, cuando se le preguntó si conocía la causa del duelo, mencionó que Galois "se encontró en presencia de un supuesto tío y un supuesto prometido, cada uno de los cuales provocó el duelo". El propio Galois exclamó: "Soy víctima de una coqueta infame y sus dos embaucadores". [12]
Muchos de los biógrafos de Galois han interpolado especulaciones mucho más detalladas basadas en estos escasos detalles históricos (sobre todo por Eric Temple Bell en Men of Mathematics ), como la especulación frecuentemente repetida de que todo el incidente fue gestionado por la policía y facciones realistas para eliminar un enemigo político. [14]
En cuanto a su oponente en el duelo, Alexandre Dumas nombra a Pescheux d'Herbinville, [13] que en realidad era uno de los diecinueve oficiales de artillería cuya absolución se celebró en el banquete que ocasionó el primer arresto de Galois. [20] Sin embargo, Dumas está solo en esta afirmación, y si estuviera en lo cierto, no está claro por qué d'Herbinville habría estado involucrado. Se ha especulado que él era el "supuesto prometido" de du Motel en ese momento (finalmente se casó con otra persona), pero no se han encontrado pruebas claras que respalden esta conjetura. Por otro lado, los recortes de periódicos existentes de solo unos días después del duelo dan una descripción de su oponente (identificado por las iniciales "LD") que parece aplicarse con mayor precisión a uno de los amigos republicanos de Galois, muy probablemente Ernest Duchatelet, quien fue encarcelado con Galois por los mismos cargos. [21] Dada la información contradictoria disponible, la verdadera identidad de su asesino bien puede perderse en la historia.
Cualesquiera que fueran las razones detrás del duelo, Galois estaba tan convencido de su muerte inminente que se quedó despierto toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático, la famosa carta a Auguste Chevalier en la que resumía sus ideas y tres manuscritos adjuntos. . [22] El matemático Hermann Weyl dijo de este testamento: "Esta carta, si se la juzga por la novedad y profundidad de las ideas que contiene, es quizás el escrito más sustancial de toda la literatura de la humanidad". Sin embargo, la leyenda de Galois vertiendo sus pensamientos matemáticos en el papel la noche antes de morir parece haber sido exagerada. [7] En estos artículos finales, describió las aristas de algunos trabajos que había estado haciendo en análisis y anotó una copia del manuscrito enviado a la Academia y otros artículos.
Temprano en la mañana del 30 de mayo de 1832, recibió un disparo en el abdomen , [17] fue abandonado por sus oponentes y sus propios secuaces, y fue encontrado por un granjero que pasaba. Murió a la mañana siguiente [17] a las diez de la mañana en el Hôpital Cochin (probablemente de peritonitis ), tras negarse a los oficios de sacerdote. Su funeral terminó en disturbios. [17] Había planes para iniciar un levantamiento durante su funeral, pero durante el mismo período de tiempo, los líderes se enteraron de la muerte del general Jean Maximilien Lamarque , y el levantamiento se pospuso sin que se produjera ningún levantamiento hasta el 5 de junio . Solo el hermano menor de Galois fue notificado de los eventos antes de la muerte de Galois. [23] Tenía 20 años. Sus últimas palabras para su hermano menor Alfred fueron:
"¡Ne pleure pas, Alfred! ¡J'ai besoin de tout mon coraje pour mourir à vingt ans!"
( ¡No llores, Alfred! ¡Necesito todo mi coraje para morir a los veinte !)
El 2 de junio, Évariste Galois fue enterrado en una fosa común del cementerio de Montparnasse, cuya ubicación exacta se desconoce. [17] [15] En el cementerio de su ciudad natal, Bourg-la-Reine , se erigió un cenotafio en su honor junto a las tumbas de sus familiares. [24]
En 1843, Joseph Liouville revisó su manuscrito y lo declaró sólido. Finalmente se publicó en el número de octubre-noviembre de 1846 del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . [25] [26] La contribución más famosa de este manuscrito fue una prueba novedosa de que no existe una fórmula quíntica , es decir, que las ecuaciones de quinto y superior grado no suelen resolverse mediante radicales. Aunque Niels Henrik Abel ya había demostrado la imposibilidad de una "fórmula quíntica" por radicales en 1824 y Paolo Ruffini había publicado una solución en 1799 que resultó ser defectuosa, los métodos de Galois llevaron a una investigación más profunda en lo que ahora se llama teoría de Galois. Por ejemplo, se puede usar para determinar, para cualquier ecuación polinomial, si tiene una solución por radicales.
Contribuciones a las matemáticas
De las últimas líneas de una carta de Galois a su amigo Auguste Chevalier, fechada el 29 de mayo de 1832, dos días antes de la muerte de Galois: [22]
Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
(Pídale públicamente a Jacobi o Gauss que den su opinión, no sobre la verdad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Más adelante, espero, habrá algunas personas a las que les resultará ventajoso descifrar todo este lío).
Dentro de las aproximadamente 60 páginas de las obras completas de Galois hay muchas ideas importantes que han tenido consecuencias de gran alcance para casi todas las ramas de las matemáticas. [27] [28] Su trabajo ha sido comparado con el de Niels Henrik Abel , otro matemático que murió a una edad muy temprana, y gran parte de su trabajo tuvo una superposición significativa.
Álgebra
Si bien muchos matemáticos antes de Galois consideraron lo que ahora se conoce como grupos , fue Galois quien fue el primero en usar la palabra grupo (en francés groupe ) en un sentido cercano al sentido técnico que se entiende hoy en día, lo que lo convierte en uno de los fundadores. de la rama del álgebra conocida como teoría de grupos . Desarrolló el concepto que hoy se conoce como subgrupo normal . Llamó a la descomposición de un grupo en sus clases laterales izquierda y derecha una descomposición adecuada si las clases laterales izquierda y derecha coinciden, que es lo que hoy se conoce como un subgrupo normal. [22] También introdujo el concepto de campo finito (también conocido como campo de Galois en su honor), esencialmente en la misma forma que se entiende hoy. [11]
En su última carta a Chevalier [22] y los manuscritos adjuntos, el segundo de tres, realizó estudios básicos de grupos lineales sobre campos finitos:
- Construyó el grupo lineal general sobre un campo primo , GL ( ν , p ) y calculó su orden, al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p ν . [29]
- Construyó el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, p ). Galois los construyó como transformadas lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3. [30] Éstos eran la segunda familia de grupos simples finitos , después de los grupos alternos . [31]
- Señaló el hecho excepcional de que PSL (2, p ) es simple y actúa sobre p puntos si y solo si p es 5, 7 u 11. [32] [33]
Teoría de Galois
La contribución más significativa de Galois a las matemáticas es su desarrollo de la teoría de Galois. Se dio cuenta de que la solución algebraica de una ecuación polinomial está relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociadas con las raíces del polinomio, el grupo de Galois del polinomio. Encontró que una ecuación podría resolverse en radicales si uno puede encontrar una serie de subgrupos de su grupo de Galois, cada uno normal en su sucesor con cociente abeliano , o su grupo de Galois tiene solución . Este resultó ser un enfoque fértil, que los matemáticos posteriores adaptaron a muchos otros campos de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones a la que Galois la aplicó originalmente. [27]
Análisis
Galois también hizo algunas contribuciones a la teoría de integrales abelianas y fracciones continuas .
Como escribió en su última carta, [22] Galois pasó del estudio de las funciones elípticas a la consideración de las integrales de las diferenciales algebraicas más generales, hoy llamadas integrales abelianas. Clasificó estas integrales en tres categorías.
Fracciones continuas
En su primer artículo en 1828, [6] Galois demostró que la fracción continua regular que representa un surd cuadrático ζ es puramente periódica si y solo si ζ es un surd reducido , es decir,y su conjugado satisface .
De hecho, Galois mostró más que eso. También demostró que si ζ es un surd cuadrático reducido y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1 / η ) son puramente periódicas, y el bloque que se repite en una de esas fracciones continuas es la imagen especular. del bloque repetido en el otro. En simbolos tenemos
donde ζ es cualquier surd cuadrático reducido, y η es su conjugado.
De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces
En particular, si n es un entero positivo no cuadrado, la expansión fraccionaria continua regular de √ n contiene un bloque repetido de longitud m , en el que los primeros m - 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica .
Ver también
- Teoría de grupos
- Lista de cosas que llevan el nombre de Évariste Galois
- Niels Henrik Abel
Notas
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- ↑ Última carta de Galois, traducida
Referencias
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enlaces externos
- Obras de Évariste Galois en Project Gutenberg
- Obras de o sobre Évariste Galois en Internet Archive
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Évariste Galois" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- El Archivo Galois (biografía, cartas y textos en varios idiomas)
- Dos artículos de Galois, en línea y analizados en BibNum : "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux" (1830) ( enlace ) [para análisis en inglés, haga clic en 'A télécharger'] ; "Démonstration d'un théorème sur les fractions continúa périodiques" (1829) ( enlace ) [para un análisis en inglés, haga clic en 'A télécharger']
- Rothman, Tony (1982). "Genio y biógrafos: la ficcionalización de Evariste Galois" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 89 (2): 84-106. doi : 10.2307 / 2320923 . JSTOR 2320923 .
- La vie d'Évariste Galois de Paul Dupuy La primera y todavía una de las biografías más extensas, a la que hacen referencia todos los demás biógrafos serios de Galois
- Œuvres Mathématiques publicado en 1846 en el Journal de Liouville , convertido al formato Djvu por el Prof. Antoine Chambert-Loir en la Universidad de Rennes.
- Alexandre Dumas, Mes Mémoires , el capítulo relevante de las memorias de Alexandre Dumas donde menciona a Galois y el banquete.
- Évariste Galois en el Proyecto de genealogía matemática
- Tráiler teatral de "Évariste - En Garde" del University College Utrecht
- Una pieza musical dedicada a Evariste Galois en YouTube