Variedad de bandera generalizada

En matemáticas , una variedad bandera generalizada (o simplemente variedad flag ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en una dimensión finita espacio vectorial V sobre un campo F . Cuando F son los números reales o complejos, una variedad de bandera generalizada es una variedad suave o compleja , llamada variedad de bandera real o compleja . Las variedades bandera son naturalmente variedades proyectivas .

Las variedades de bandera se pueden definir en varios grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completos en un espacio vectorial V sobre un campo F , que es una variedad bandera para el grupo lineal especial sobre F . Otras variedades de banderas surgen al considerar banderas parciales, o por restricción del grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para banderas parciales, es necesario especificar la secuencia de dimensiones de las banderas consideradas. Para los subgrupos del grupo lineal, se deben imponer condiciones adicionales a las banderas.

En el sentido más general, una variedad bandera generalizada se define como una variedad proyectiva homogénea , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un campo F con una acción transitiva de un grupo reductor G (y un subgrupo estabilizador suave; eso no es restricción para F de característica cero). Si X tiene un F - punto racional , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G. Una variedad homogénea proyectiva también puede realizarse como la órbita de un peso más alto vector en un projectivized representación de G . Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías Cartan de tipo parabólico. Son variedades de Riemann homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto máximo de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos .

Los colectores de bandera pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades de bandera correspondientes son los espacios simétricos hermitianos . Sobre los números reales, un espacio R es sinónimo de una variedad de bandera real y los espacios simétricos correspondientes se denominan espacios R simétricos .

Banderas en un espacio vectorial

Artículo principal: bandera (álgebra lineal)

Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

Si escribimos el dim V _i = d _i entonces tenemos

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

donde n es la dimensión de V . Por tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d _i = i para todo i ; de lo contrario, se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d ₁ ,…, d _k ).

Se puede obtener un indicador parcial a partir de un indicador completo eliminando algunos de los subespacios. A la inversa, cualquier indicador parcial se puede completar (de muchas formas diferentes) insertando subespacios adecuados.

Prototipo: la variedad completa de banderas

De acuerdo con los resultados básicos del álgebra lineal , dos banderas completas cualesquiera en un espacio vectorial n- dimensional V sobre un campo F no son diferentes entre sí desde un punto de vista geométrico. Es decir, el grupo lineal general actúa transitivamente sobre el conjunto de todas las banderas completas.

Fijar una base ordenada para V , identificándola con F ⁿ , cuyo grupo lineal general es el grupo GL ( n , F ) de n × n matrices invertibles. La bandera estándar asociada con esta base es aquella en la que el i-  ésimo subespacio está atravesado por los primeros i vectores de la base. En relación con esta base, el estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares inferiores no singulares , que denotamos por B _n . Por lo tanto, la variedad completa de banderas se puede escribir como un espacio homogéneo.GL ( n , F ) / B _n , que muestra en particular que tiene dimensión n ( n -1) / 2 sobre F .

Nótese que los múltiplos de la identidad actúan trivialmente en todas las banderas, por lo que se puede restringir la atención al grupo lineal especial SL ( n , F ) de matrices con determinante uno, que es un grupo algebraico semisimple; el conjunto de matrices triangulares inferiores del determinante uno es un subgrupo de Borel .

Si el campo F son los números reales o complejos, podemos introducir un producto interno en V tal que la base elegida sea ortonormal . Cualquier bandera completa luego se divide en una suma directa de subespacios unidimensionales tomando complementos ortogonales. De ello se deduce que la variedad de banderas completa sobre los números complejos es el espacio homogéneo

${\displaystyle U(n)/T^{n}}$

donde U ( n ) es el grupo unitario y T ⁿ es el n- torus de matrices unitarias diagonales. Existe una descripción similar sobre los números reales con U ( n ) reemplazado por el grupo ortogonal O ( n ), y T ⁿ por las matrices ortogonales diagonales (que tienen entradas diagonales ± 1).

Variedades parciales de bandera

La variedad de bandera parcial

${\displaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )}$

es el espacio de todas las banderas de firma ( d ₁ , d ₂ , ... d _k ) en un espacio vectorial V de dimensión n = d _k sobre F . La variedad de bandera completa es el caso especial de que d _i = i para todo i . Cuando k = 2, este es un Grassmannian de d ₁ subespacios -dimensional de V .

Este es un espacio homogéneo para el grupo lineal general G de V sobre F . Para ser explícito, tome V = F ^{n de} modo que G = GL ( n , F ). El estabilizador de una bandera de subespacios anidados V _i de dimensión d _i puede tomarse como el grupo de matrices triangulares inferiores de bloques no singulares , donde las dimensiones de los bloques son n _i  : = d _i - d _{i −1} (con d ₀ = 0).

La restricción a las matrices de un determinante, este es un subgrupo parabólico P de SL ( n , F ), y por lo tanto la variedad bandera parcial es isomorfo al espacio SL homogénea ( n , F ) / P .

Si F son los números reales o complejos, entonces se puede usar un producto interno para dividir cualquier bandera en una suma directa, por lo que la variedad de bandera parcial también es isomorfa al espacio homogéneo.

${\displaystyle U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})}$

en el caso complejo, o

${\displaystyle O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})}$

en el caso real.

Generalización a grupos semisimples

Las matrices triangulares superiores del determinante uno son un subgrupo de Borel de SL ( n , F ) y, por lo tanto, los estabilizadores de banderas parciales son subgrupos parabólicos. Además, una bandera parcial está determinada por el subgrupo parabólico que la estabiliza.

Por lo tanto, de manera más general, si G es un semisimple algebraico o grupo de Lie , entonces el (generalizado) variedad bandera para G es G / P , donde P es un subgrupo parabólica de G . La correspondencia entre subgrupos parabólicos y variedades de bandera generalizadas permite que cada uno se entienda en términos del otro.

La extensión de la terminología "variedad de banderas" es razonable, porque los puntos de G / P todavía pueden describirse utilizando banderas. Cuando G es un grupo clásico , como un grupo simpléctico o un grupo ortogonal , esto es particularmente transparente. Si ( V , ω ) es un espacio vectorial simpléctico, entonces una bandera parcial en V es isotrópica si la forma simpléctica desaparece en los subespacios propios de V en la bandera. El estabilizador de una bandera isotrópica es un subgrupo parabólico del grupo simpléctico Sp ( V , ω). Para los grupos ortogonales hay una imagen similar, con un par de complicaciones. Primero, si F no es algebraicamente cerrado, entonces los subespacios isotrópicos pueden no existir: para una teoría general, es necesario usar los grupos ortogonales divididos . En segundo lugar, para espacios vectoriales de dimensión uniforme 2 m , los subespacios isotrópicos de dimensión m vienen en dos sabores ("auto-dual" y "anti-auto-dual") y es necesario distinguirlos para obtener un espacio homogéneo.

Cohomología

Si G es un grupo de Lie compacto y conectado, contiene un toro máximo T y el espacio G / T de las clases laterales izquierdas con la topología del cociente es una variedad real compacta. Si H es cualquier otro subgrupo cerrado y conectado de G que contenga T , entonces G / H es otra variedad real compacta. (Ambos son en realidad espacios homogéneos complejos de una manera canónica a través de la complexificación ).

La presencia de una estructura compleja y (co) homología celular hace que sea fácil ver que el anillo de cohomología de G / H está concentrado en grados pares, pero de hecho, se puede decir algo mucho más fuerte. Debido a que G → G / H es un paquete H principal , existe un mapa de clasificación G / H → BH con el objetivo del espacio de clasificación BH . Si reemplazamos G / H con el cociente de homotopía G _H en la secuencia G →G / H → BH , obtenemos un paquete G principal llamado fibración Borel de la acción de multiplicación correcta de H sobre G , y podemos usar la secuencia espectral cohomológica de Serre de este paquete para comprender el homomorfismo de restricción de fibra H * ( G / H ) → H * ( G ) y el mapa característico H * ( BH ) → H * ( G / H ), llamado así porque su imagen, el subanillo característico de H* ( G / H ), lleva a las clases características del original haz H → G → G / H .

Restringamos ahora nuestro anillo de coeficientes para que sea un campo k de característica cero, de modo que, según el teorema de Hopf , H * ( G ) es un álgebra exterior en generadores de grado impar (el subespacio de elementos primitivos ). De ello se deduce que los homomorfismos de borde

${\displaystyle E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}}$

de la secuencia espectral debe eventualmente tomar el espacio de los elementos primitivos en la columna izquierda H * ( G ) de la página E ₂ biyectivamente en la fila inferior H * ( BH ): sabemos que G y H tienen el mismo rango , entonces si el colección de homomorfismos de aristas no eran de rango completo en el subespacio primitivo, entonces la imagen de la fila inferior H * ( BH ) en la página final H * ( G / H ) de la secuencia sería de dimensión infinita como k-espacio vectorial, que es imposible, por ejemplo, de nuevo por cohomología celular , porque un espacio homogéneo compacto admite una estructura CW finita .

Por tanto, el mapa de anillos H * ( G / H ) → H * ( G ) es trivial en este caso, y el mapa característico es sobreyectivo, de modo que H * ( G / H ) es un cociente de H * ( BH ). El núcleo del mapa es el ideal generado por las imágenes de elementos primitivos bajo los homomorfismos de borde, que también es el ideal generado por elementos de grado positivo en la imagen del mapa canónico H * ( BG ) → H * ( BH ) inducido por la inclusión de H en G .

El mapa H * ( BG ) → H * ( BT ) es inyectivo, y lo mismo para H , con imagen del subanillo H * ( BT ) ^{W ( G )} de elementos invariantes bajo la acción del grupo Weyl , por lo que finalmente se obtiene el descripción concisa

${\displaystyle H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT)^{W(G)}{\big )},}$

donde denota elementos de grado positivo y entre paréntesis la generación de un ideal. Por ejemplo, para la variedad de banderas compleja completa U ( n ) / T ⁿ , uno tiene ${\displaystyle {\widetilde {H}}^{*}}$

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

donde los t _j son de grado 2 y los σ _j son los primeros n polinomios simétricos elementales en las variables t _j . Para un ejemplo más concreto, tome n = 2, de modo que U ( 2 ) / [ U (1) × U (1)] es el complejo Grassmanniano Gr (1, ℂ ² ) ≈ ℂ P ¹ ≈ S ² . Entonces esperamos que el anillo de cohomología sea un álgebra exterior en un generador de grado dos (la clase fundamental ), y de hecho,

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}$

como se esperaba.

Órbitas de mayor peso y variedades proyectivas homogéneas

Si G es un grupo algebraico semisimple (o grupo de Lie) y V es una representación (de dimensión finita) de mayor peso de G , entonces el espacio de mayor peso es un punto en el espacio proyectivo P ( V ) y su órbita bajo la acción de G es una variedad algebraica proyectiva . Esta variedad es una variedad bandera (generalizada) y, además, toda variedad bandera (generalizada) para G surge de esta manera.

Armand Borel demostró que esto caracteriza a las variedades bandera de un grupo algebraico general semisimple G : son precisamente los espacios homogéneos completos de G , o equivalentemente (en este contexto), las variedades G proyectivas homogéneas .

Espacios simétricos

Artículo principal: espacio simétrico

Deje G un grupo de Lie semisimple con máxima compacto subgrupo K . Entonces K actúa transitivamente en cualquier clase de conjugación de subgrupos parabólicos, y por lo tanto la variedad bandera generalizada G / P es un compacto homogénea de Riemann colector K / ( K ∩ P ) con el grupo de isometría K . Además, si G es un grupo de Lie complejo, G / P es una variedad de Kähler homogénea .

Dando la vuelta a esto, los espacios homogéneos riemannianos

M = K / ( K ∩ P )

admitir un grupo de Lie estrictamente más grande de las transformaciones, es decir, G . Especializándose en el caso de que M es un espacio simétrico , esta observación produce todos los espacios simétricos que admiten un grupo de simetría tan grande, y estos espacios han sido clasificados por Kobayashi y Nagano.

Si G es un grupo de Lie complejo, los espacios simétricos M que surgen de esta manera son los compactos espacios simétricos hermitianos : K es el grupo isometría, y G es el grupo biholomorphism de M .

Sobre los números reales, una variedad de bandera real también se llama espacio R, y los espacios R que son espacios simétricos de Riemann bajo K se conocen como espacios R simétricos. Los espacios R simétricos que no son simétricos hermitianos se obtienen tomando G como una forma real del grupo de biholomorfismo G ^c de un espacio simétrico hermitiano G ^c / P ^c tal que P  : = P ^c ∩ G es un subgrupo parabólico de G . Los ejemplos incluyen espacios proyectivos (con G el grupo de transformaciones proyectivas) y esferas (con G el grupo de transformaciones conformes ).

Ver también

• Álgebra de mentira parabólica
• Descomposición de Bruhat

Referencias

• Robert J. Baston y Michael G. Eastwood, La transformación de Penrose: su interacción con la teoría de la representación , Oxford University Press, 1989.
• Jürgen Berndt, Lie group actions on multiple , Lecture notes, Tokio, 2002.
• Jürgen Berndt, Sergio Console y Carlos Olmos, Submanifolds y Holonomy , Chapman & Hall / CRC Press, 2003.
• Michel Brion, Conferencias sobre la geometría de las variedades de banderas , Apuntes de conferencias, Varsovie, 2003.
• James E. Humphreys, Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, 21, Springer-Verlag, 1972.
• S. Kobayashi y T. Nagano, Sobre álgebras de Lie filtradas y estructuras geométricas I, II, J. Math. Mech. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.