En matemáticas , la representación coadjunta de un grupo de mentiras es el dual de la representación adjunta . Sidenota el álgebra de Lie de, la acción correspondiente de en , el espacio dual para, se denomina acción conjunta . Una interpretación geométrica es como la acción por traslación a la izquierda en el espacio de formas 1 invariantes a la derecha en.
La importancia de la representación coadjunta fue enfatizada por el trabajo de Alexandre Kirillov , quien mostró que para los grupos de Lie nilpotentes Las órbitas coadjuntas desempeñan un papel básico en su teoría de la representación . En el mtodo de rbitas de Kirillov, las representaciones dese construyen geométricamente partiendo de las órbitas coadjuntas. En cierto sentido, estos juegan un papel sustituto de las clases de conjugación de, que de nuevo puede ser complicado, mientras que las órbitas son relativamente manejables.
Definicion formal
Dejar ser un grupo de mentiras y sea su álgebra de mentira. Dejardenotar la representación adjunta de. Entonces la representación coadjunta es definido por
- por
dónde denota el valor del funcional lineal en el vector .
Dejar denotar la representación del álgebra de Lie en inducida por la representación conjunta del grupo de Lie . Entonces la versión infinitesimal de la ecuación definitoria para lee:
- por
dónde es la representación adjunta del álgebra de Lie .
Órbita conjunta
Una órbita conjunta por en el espacio dual de puede definirse extrínsecamente, como la órbita real adentro , o intrínsecamente como el espacio homogéneo dónde es el estabilizador decon respecto a la acción conjunta; vale la pena hacer esta distinción ya que la incrustación de la órbita puede ser complicada.
Las órbitas coadjuntas son subvariedades de y tienen una estructura simpléctica natural. En cada órbita, hay un cerrado no degenerado -invariante de 2 formas heredado de en la siguiente manera:
- .
La bien definida, no degeneración y -invarianza de se deduce de los siguientes hechos:
(i) El espacio tangente puede identificarse con , dónde es el álgebra de Lie de .
(ii) El núcleo del mapa es exactamente .
(iii) La forma bilineal en es invariante bajo .
también está cerrado . La forma canónica de 2 a veces se denomina forma simpléctica Kirillov-Kostant-Souriau o forma KKS en la órbita coadjunta.
Propiedades de las órbitas coadjuntas
La acción coadjunta en una órbita coadjunta es un hamiltoniano-acción con mapa de impulso dado por la inclusión.
Ejemplos de
Ver también
- Teorema de Borel-Bott-Weil , para un grupo compacto
- Fórmula del carácter de Kirillov
- Teoría de la órbita de Kirillov
Referencias
- Kirillov, AA , Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 64, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302