En geometría , flexágonos son planas modelos, generalmente construidos por tiras de papel plegado, que pueden ser flexionados o doblados de ciertas maneras para revelar caras además de las dos que eran originalmente en la parte posterior y frontal.
Los flexágonos suelen ser cuadrados o rectangulares ( tetraflexágonos ) o hexagonales ( hexaflexágonos ). Se puede agregar un prefijo al nombre para indicar el número de caras que el modelo puede mostrar, incluidas las dos caras (frontal y posterior) que son visibles antes de flexionar. Por ejemplo, un hexaflexágono con un total de seis caras se llama hexahexaflexágono .
En la teoría del hexaflexágono (es decir, en relación con los flexágonos con seis lados), los flexagones se definen generalmente en términos de palmaditas . [1] [2]
Dos flexagones son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una serie de pellizcos y rotaciones. La equivalencia de Flexagon es una relación de equivalencia . [1]
Historia
Descubrimiento e introducción
El descubrimiento del primer flexagon, un trihexaflexagon, se le atribuye al matemático británico Arthur H. Stone , mientras estudiaba en la Universidad de Princeton en los Estados Unidos en 1939. Su nuevo artículo estadounidense no cabía en su carpeta de inglés, por lo que cortó el extremos del papel y comencé a doblarlos en diferentes formas. [3] Uno de ellos formó un trihexaflexágono. Los colegas de Stone, Bryant Tuckerman , Richard Feynman y John Tukey, se interesaron en la idea y formaron el Princeton Flexagon Committee. Tuckerman elaboró un método topológico , llamado travesía de Tuckerman, para revelar todas las caras de un flexagon. [4] Las travesías de Tuckerman se muestran como un diagrama.
Los flexagons fueron presentados al público en general por Martin Gardner en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American en un artículo tan bien recibido que lanzó la columna "Mathematical Games" de Gardner que luego se publicó en esa revista durante los siguientes veinticinco años. [3] [5] En 1974, el mago Doug Henning incluyó un hexaflexágono de construcción propia con la grabación del elenco original de su espectáculo de Broadway The Magic Show .
Intento de desarrollo comercial
En 1955, Russell Rogers y Leonard D'Andrea de Homestead Park, Pensilvania solicitaron una patente, y en 1959 se les concedió la patente estadounidense número 2.883.195 para el hexahexaflexágono, bajo el título "Dispositivos de entretenimiento cambiables y similares".
Su patente imaginó posibles aplicaciones del dispositivo "como un juguete, como un dispositivo de exhibición publicitaria o como un dispositivo geométrico educativo". [6] Herbick & Held Printing Company , la imprenta de Pittsburgh donde trabajaba Rogers, produjo algunas de estas novedades , pero el dispositivo, comercializado como "Hexmo", no logró ponerse de moda.
Variedades
Tetraflexágonos
Tritetraflexagon
El tritetraflexagon es el tetraflexagon más simple (flexagon con lados cuadrados ). El "tri" en el nombre significa que tiene tres caras, dos de las cuales son visibles en cualquier momento dado si se presiona el flexagon plano. La construcción del tritetraflexagon es similar al mecanismo utilizado en el juguete infantil tradicional Jacob's Ladder , en Rubik's Magic y en el truco de la billetera mágica o la billetera Himber .
El tritetraflexagon tiene dos callejones sin salida, donde no se puede flexionar hacia adelante. Para llegar a otra cara, debes flexionar hacia atrás o voltear el flexagon.
Hexatetraflexagon
Un hexatetraflexágono cíclico más complicado no requiere pegado. Un hexatetraflexágono cíclico no tiene "callejones sin salida", pero la persona que lo hace puede seguir doblándolo hasta llegar a la posición inicial. Si los lados se colorean en el proceso, los estados se pueden ver con mayor claridad.
Al contrario que el tritetraflexagon, el hexatetraflexagon no tiene callejones sin salida y nunca necesita ser flexionado hacia atrás.
Hexaflexágonos
Los hexaflexágonos vienen en gran variedad, que se distinguen por la cantidad de caras que se pueden lograr flexionando la figura ensamblada. (Tenga en cuenta que la palabra hexaflexágonos (sin prefijos) a veces puede referirse a un hexahexaflexágono ordinario, con seis lados en lugar de otros números).
Trihexaflexágono
Un hexaflexágono de tres caras es el más simple de los hexaflexágonos de hacer y manejar, y está hecho de una sola tira de papel, dividida en nueve triángulos equiláteros. (Algunos patrones proporcionan diez triángulos, dos de los cuales se pegan juntos en el ensamblaje final).
Para ensamblar, la tira se pliega cada tres triángulos, conectándose a sí misma después de tres inversiones a la manera del símbolo internacional de reciclaje . Esto hace una tira de Möbius cuyo único borde forma un nudo de trébol .
Hexahexaflexágono
Este hexaflexágono tiene seis caras. Está formado por diecinueve triángulos doblados a partir de una tira de papel.
Las fotos 1-6 a continuación muestran la construcción de un hexágono hecho con triángulos de cartón sobre un respaldo hecho con una tira de tela. Ha sido decorado en seis colores; naranja, azul y rojo en la figura 1 corresponden a 1, 2 y 3 en el diagrama de arriba. El lado opuesto, figura 2, está decorado con violeta, gris y amarillo. Tenga en cuenta los diferentes patrones utilizados para los colores en los dos lados. La figura 3 muestra el primer pliegue y la figura 4 el resultado de los primeros nueve pliegues, que forman una espiral. Las figuras 5-6 muestran el plegado final de la espiral para formar un hexágono; en 5, dos caras rojas se han ocultado por un pliegue de valle, y en 6, dos caras rojas en la parte inferior se han ocultado por un pliegue de montaña. Después de la figura 6, el triángulo suelto final se dobla y se une al otro extremo de la tira original de modo que un lado sea todo azul y el otro todo naranja.
Las fotos 7 y 8 muestran el proceso de invertir el hexaflexágono para mostrar los triángulos rojos que antes estaban ocultos. Mediante más manipulaciones, se pueden exponer los seis colores. Las caras 1, 2 y 3 son más fáciles de encontrar, mientras que las caras 4, 5 y 6 son más difíciles de encontrar. Una forma fácil de exponer las seis caras es utilizando la travesía de Tuckerman. Lleva el nombre de Bryant Tuckerman, uno de los primeros en investigar las propiedades de los hexaflexágonos. La travesía de Tuckerman implica la flexión repetida pellizcando una esquina y flexionando exactamente desde la misma esquina cada vez. Si la esquina se niega a abrirse, muévase a una esquina adyacente y siga flexionando. Este procedimiento lo lleva a un ciclo de 12 caras. Durante este procedimiento, sin embargo, 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que 4, 5 y 6. El ciclo procede de la siguiente manera:
1-3-6-1-3-2-4-3-2-1-5-2
Y luego de nuevo a 1.
Cada color / rostro también se puede exponer de más de una manera. En la figura 6, por ejemplo, cada triángulo azul tiene en el centro su esquina decorada con una cuña, pero también es posible, por ejemplo, hacer que los decorados con Y lleguen al centro. Hay 18 configuraciones posibles de este tipo para triángulos con diferentes colores, y se pueden ver flexionando el hexahexaflexágono de todas las formas posibles en teoría, pero solo 15 pueden flexionarse con el hexahexaflexágono ordinario. Las 3 configuraciones adicionales son imposibles debido a la disposición de las 4, 5 y 6 baldosas en la solapa trasera. (Los ángulos de 60 grados en los rombos formados por las 4, 5 o 6 baldosas adyacentes solo aparecerán en los lados y nunca aparecerán en el centro porque sería necesario cortar la tira, lo cual está prohibido topológicamente).
Los hexahexaflexágonos se pueden construir a partir de redes de dieciocho triángulos equiláteros de diferentes formas. Un hexahexaflexágono, construido a partir de una tira de papel irregular, es casi idéntico al que se muestra arriba, excepto que las 18 configuraciones se pueden flexionar en esta versión.
Otros hexaflexágonos
Si bien los hexaflexágonos más comunes tienen tres o seis caras, existen variaciones con cualquier número de caras. Las tiras rectas producen hexaflexágonos con un múltiplo de tres números de caras. Otros números se obtienen de tiras no rectas, que son simplemente tiras rectas con algunas juntas dobladas, eliminando algunas caras. Muchas tiras se pueden plegar de diferentes formas, produciendo diferentes hexaflexágonos, con diferentes mapas de plegado.
Flexagones de orden superior
Octaflexágono derecho y dodecaflexágono derecho
En estos flexagones descubiertos más recientemente, cada cara triangular cuadrada o equilátera de un flexagon convencional se divide además en dos triángulos rectángulos, lo que permite modos de flexión adicionales. [7] La división de las caras cuadradas de tetraflexágonos en triángulos isósceles rectos produce los octaflexágonos, [8] y la división de las caras triangulares de los hexaflexágonos en 30-60-90 triángulos rectángulos produce los dodecaflexágonos. [9]
Pentaflexagon y decaflexagon derecho
En su estado plano, el pentaflexágono se parece mucho al logotipo de Chrysler : un pentágono regular dividido desde el centro en cinco triángulos isósceles , con ángulos 72-54-54. Debido a su simetría quíntuple, el pentaflexágono no se puede doblar por la mitad. Sin embargo, una serie compleja de flexiones da como resultado su transformación de mostrar los lados uno y dos en la parte delantera y trasera, a mostrar sus lados tres y cuatro previamente ocultos. [10]
Al dividir aún más los triángulos 72-54-54 del pentaflexágono en 36-54-90 triángulos rectángulos se produce una variación del decaflexágono de 10 lados. [11]
N-flexágono isósceles generalizado
El pentaflexágono es uno de una secuencia infinita de flexágonos basados en la división de un n -gon regular en n triángulos isósceles. Otros flexagones incluyen el heptaflexagon, [12] el isósceles octaflexagon, [13] el enneaflexagon, [14] y otros.
Pentaflexágono no plano y heptaflexágono no plano
Harold V. McIntosh también describe flexágonos "no planos" (es decir, los que no se pueden flexionar para que queden planos); los plegados de pentágonos llamados pentaflexágonos , [15] y de heptágonos llamados heptaflexágonos . [16] Estos deben distinguirse de los pentaflexágonos y heptaflexágonos "ordinarios" descritos anteriormente, que están hechos de triángulos isósceles y se pueden hacer para que queden planos.
En la cultura popular
Los flexagons también son una estructura de libro popular utilizada por creadores de libros de artista como Julie Chen ( Life Cycle ) y Edward H. Hutchins ( Album y Voces de México ). Las instrucciones para hacer tetra-tetra-flexagon y cross-flexagons se incluyen en Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms by Alisa Golden. [17]
Se utilizó un hexaflexágono de orden superior como elemento de la trama en la novela 0X de Piers Anthony , en la que una flexión era análoga al viaje entre universos alternos. [18]
El usuario de YouTube Vi Hart hizo videos sobre hexaflexágonos y probablemente los hizo más populares. [19]
Ver también
- Árbol de Cayley
- Teoría de grupos geométricos
- Caleidociclo
Referencias
- ^ a b Oakley, CO; Wisner, RJ (marzo de 1957). "Flexágonos". The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 64 (3): 143-154. doi : 10.2307 / 2310544 . JSTOR 2310544 .
- ^ Anderson, Thomas; McLean, T. Bruce; Pajoohesh, Homeira; Smith, Chasen (enero de 2010). "La combinatoria de todos los flexagones regulares" . Revista europea de combinatoria . 31 (1): 72–80. doi : 10.1016 / j.ejc.2009.01.005 .
- ^ a b Gardner, Martin (diciembre de 1956). "Flexágonos". Scientific American . Vol. 195 no. 6. págs. 162-168. doi : 10.1038 / scientificamerican1256-162 . OCLC 4657622161 .
- ^ Gardner, Martin (1988). Hexaflexágonos y otras desviaciones matemáticas: el primer libro de rompecabezas y juegos de Scientific American . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-28254-6.
- ^ Mulcahy, Colm (21 de octubre de 2014). "Los 10 mejores artículos de Martin Gardner Scientific American" . Scientific American .
- ^ Rogers, Russell E .; Andrea, Leonard DL (21 de abril de 1959). "Dispositivos de entretenimiento intercambiables y similares" (PDF) . Freepatentsonline.com . Patente de Estados Unidos 2883195 . Consultado el 13 de enero de 2011 .
- ^ Schwartz, Ann (2005). "Descubrimiento de Flexagon: El 12-Gon que cambia de forma" . Eighthsquare.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Octaflexágono" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Dodecaflexagon" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Pentaflexagon" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Decaflexagon" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Heptaflexagon" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Octaflexágono: Isósceles Octaflexágono" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Sherman, Scott (2007). "Enneaflexagon: Isosceles Enneaflexagon" . Loki3.com . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ McIntosh, Harold V. (24 de agosto de 2000). "Flexagones pentagonales" . Cinvestav.mx . Universidad Autónoma de Puebla . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ McIntosh, Harold V. (11 de marzo de 2000). "Flexágonos heptagonales" . Cinvestav.mx . Universidad Autónoma de Puebla . Consultado el 26 de octubre de 2012 .
- ^ Dorado, Alisa J. (2011). Fabricación de libros hechos a mano: más de 100 encuadernaciones, estructuras y formas . Artesanías de alondra. págs. 130 , 132-133. ISBN 978-1-60059-587-5.
- ^ Collings, Michael R. (1984). Piers Anthony . Guía del lector de Starmont n. ° 20. Borgo Press. págs. 47–48. ISBN 0-89370-058-4.
- ^ Cordero, Evelyn. "Flexagon pero no olvidado: Celebrando el cumpleaños de Martin Gardner" . Red de blogs de Scientific American . Consultado el 12 de mayo de 2020 .
Bibliografía
- Mitchell, David (2000). La magia de los Flexagons: curiosidades de papel para recortar y hacer . Tarquin. ISBN 1-899618-28-7.
- Pook, Les (2009). Diversión en serio con Flexagons, un compendio y una guía . Saltador. ISBN 978-90-481-2502-9.
- Pook, Les (2006). Flexágonos de adentro hacia afuera . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-81970-9.
- Martin Gardner escribió una excelente introducción a los hexaflexágonos en la columna Mathematical Games de diciembre de 1956 en Scientific American . También aparece en:
- El libro "Scientific American" de acertijos matemáticos y diversiones . Simon y Schuster. 1959.
- Hexaflexágonos y otras desviaciones matemáticas: el primer libro de rompecabezas y juegos "Scientific American" . Prensa de la Universidad de Chicago. 1988. ISBN 0-226-28254-6.
- El colosal libro de matemáticas . WW Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1.
- Hexaflexágonos, paradojas de probabilidad y la torre de Hanoi: primer libro de juegos y acertijos matemáticos de Martin Gardner . Prensa de la Universidad de Cambridge. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4.
- Gardner, Martin (enero de 2012). "Hexaflexágonos". The College Mathematics Journal . 43 (1): 2–5. doi : 10.4169 / college.math.j.43.1.002 . JSTOR 10.4169 / college.math.j.43.1.002 . El número también contiene otro artículo de Pook y uno de Iacob, McLean y Hua.
enlaces externos
- My Flexagon Experiences de Harold V. McIntosh: contiene información histórica y teoría
- El portal Flexagon : el sitio de Robin Moseley tiene patrones para una gran variedad de flexagons.
- Flexágonos
- Flexagons : el sitio de Scott Sherman, con variedad de flexagons de diferentes formas.
- Página de MathWorld sobre tetraflexágonos , incluidas tres redes
- Flexagons - artículo de 1962 de Antony S. Conrad y Daniel K. Hartline (RIAS)
- Entrada de MathWorld en Hexaflexagons
- Yutaka Nishiyama (2010). "Solución general para pliegues múltiples de hexaflexágonos" IJPAM, vol. 58, N ° 1, 113-124. "19 caras de Flexagons"
- Video de Vi Hart sobre Hexaflexagons parte 1 parte 2