En geometría , el folio de Descartes es una curva algebraica definida por la ecuación
- .
El nombre proviene de la palabra latina folium que significa " hoja ".
Historia
La curva fue propuesta y estudiada por primera vez por René Descartes en 1638. [1] Su fama radica en un incidente en el desarrollo del cálculo . Descartes desafió a Pierre de Fermat a encontrar la línea tangente a la curva en un punto arbitrario, ya que Fermat había descubierto recientemente un método para encontrar líneas tangentes. Fermat resolvió el problema fácilmente, algo que Descartes no pudo hacer. [2] Desde la invención del cálculo, la pendiente de la recta tangente se puede encontrar fácilmente mediante la diferenciación implícita . [3]
Graficar la curva
El folio de Descartes se puede expresar en coordenadas polares como
que se traza a la izquierda. Esto es equivalente a [4]
Otra técnica es escribir y resolver para y en términos de . Esto produce las ecuaciones paramétricas racionales : [5]
.
Podemos ver que el parámetro está relacionado con la posición en la curva de la siguiente manera:
- corresponde a , : el derecho, inferior, "ala".
- corresponde a , : el "ala" superior izquierda.
- corresponde a , : el bucle de la curva.
Otra forma de graficar la función se puede derivar de la simetría sobre . La simetría se puede ver directamente en su ecuación (xey se pueden intercambiar). Al aplicar una rotación de 45 ° CW, por ejemplo, se puede trazar la función simétrica sobre el eje x girado.
Esta operación es equivalente a una sustitución:
y rinde
Graficar en el sistema cartesiano de da el folio girado en 45 ° y por lo tanto simétrico por -eje.
Propiedades
Forma un bucle en el primer cuadrante con doble punto en el origen y asíntota.
- .
Es simétrico sobre la línea. . Como tal, los dos se cruzan en el origen y en el punto.
La diferenciación implícita da la fórmula para que la pendiente de la recta tangente a esta curva sea [3]
Usando cualquiera de las representaciones polares anteriores, se encuentra que el área del interior del bucle es . Además, el área entre las "alas" de la curva y su asíntota inclinada también es. [1]
Relación con la trisectriz de Maclaurin
El folio de Descartes se relaciona con la trisectriz de Maclaurin por transformación afín . Para ver esto, comience con la ecuación
- ,
y cambiar las variables para encontrar la ecuación en un sistema de coordenadas girado 45 grados. Esto equivale a establecer
En el plano la ecuación es
- .
Si estiramos la curva en el dirección por un factor de esto se convierte en
que es la ecuación de la trisectriz de Maclaurin.
Notas
- ^ a b "Folio de Descartes" . Enciclopedia de Matemáticas . 5 de junio de 2020 . Consultado el 30 de enero de 2021 .
- ^ Simmons, pág. 101
- ^ a b Stewart, James (2012). "Sección 3.5: Diferenciación implícita". Cálculo: principios trascendentales . Estados Unidos de América: Cengage Learning. págs. 209–11. ISBN 978-0-538-49790-9.
- ^ Stewart, James (2012). "Capítulo 10: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares". Cálculo: principios trascendentales (7ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 687. ISBN 978-0-538-49790-9.
- ^ "DiffGeom3: curvas parametrizadas y curvas algebraicas" . NJ Wildberger, Universidad de Nueva Gales del Sur . Consultado el 5 de septiembre de 2013 .
Referencias
- J. Dennis Lawrence: Un catálogo de curvas planas especiales , 1972, Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60288-5 , págs. 106-108
- George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Nueva York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; nueva edición 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )