En geometría , la trisectriz de Maclaurin es una curva plana cúbica que destaca por su propiedad de trisectriz , lo que significa que se puede utilizar para trisecar un ángulo. Puede definirse como el lugar geométrico del punto de intersección de dos líneas, cada una de las cuales gira a una velocidad uniforme sobre puntos separados, de modo que la relación de las velocidades de rotación es 1: 3 y las líneas coinciden inicialmente con la línea entre los dos puntos. . Una generalización de esta construcción se llama sectrix de Maclaurin . La curva lleva el nombre de Colin Maclaurin, quien investigó la curva en 1742.
Ecuaciones
Deje que dos líneas giren alrededor de los puntos. y para que cuando la línea gire tiene ángulo con el eje x , la rotación sobre tiene ángulo . Dejar ser el punto de intersección, entonces el ángulo formado por las líneas en es . Por la ley de los senos ,
entonces la ecuación en coordenadas polares es (hasta traslación y rotación)
- .
La curva es, por tanto, un miembro de la familia Conchoid de Sluze .
En coordenadas cartesianas la ecuación de esta curva es
- .
Si el origen se mueve a ( a , 0), entonces una derivación similar a la dada arriba muestra que la ecuación de la curva en coordenadas polares se convierte en
haciéndolo un ejemplo de una epiespiral .
La propiedad de trisección
Dado un ángulo , dibuja un rayo de cuyo ángulo con el -eje es . Dibuja un rayo desde el origen hasta el punto donde el primer rayo se cruza con la curva. Luego, por la construcción de la curva, el ángulo entre el segundo rayo y el-eje es
Puntos y características notables
La curva tiene una intersección con el eje x eny un doble punto en el origen. La linea verticales una asíntota. La curva interseca la recta x = a, o el punto correspondiente a la trisección de un ángulo recto, en. Como cúbico nodal, es de género cero.
Relación con otras curvas
La trisectriz de Maclaurin se puede definir a partir de secciones cónicas de tres formas. Específicamente:
- Es la inversa con respecto al círculo unitario de la hipérbola.
- .
- Es cissoide del circulo
- y la linea relativo al origen.
- .
Además:
- La inversa con respecto al punto es la trisectrix de Limaçon .
- La trisectriz de Maclaurin se relaciona con el Folio de Descartes por transformación afín .
Referencias
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 36, 95, 104-106 . ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. "Maclaurin Trisectrix" . MathWorld .
- "Trisectrix of Maclaurin" en el índice de curvas famosas de MacTutor
- Maclaurin Trisectrix en mathcurve.com
- "Trisectrix de Maclaurin" en Diccionario visual de curvas planas especiales