Forcing (matemáticas)
En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , el forzamiento es una técnica para demostrar la coherencia y la independencia de los resultados. Fue utilizado por primera vez por Paul Cohen en 1963, para probar la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
Forzar ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica poderosa, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática como la teoría de la recursividad . La teoría descriptiva de conjuntos utiliza las nociones de forzamiento tanto de la teoría de la recursividad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos , pero es común en la teoría de modelos definir la genéricaidad directamente sin mencionar el forzamiento.
Intuitivamente, forzar consiste en expandir el universo teórico establecido a un universo más grande . En este universo más grande, por ejemplo, uno podría haber muchos nuevos subconjuntos de que no estaban allí en el universo de edad, violando de ese modo la hipótesis del continuo .
Si bien es imposible cuando se trata de conjuntos finitos , esta es solo otra versión de la paradoja de Cantor sobre el infinito. En principio, se podría considerar:
identificarse con , y luego introducir una relación de membresía expandida que involucre conjuntos "nuevos" de la forma . Forzar es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido.
La técnica original de Cohen, ahora llamada forzamiento ramificado , es ligeramente diferente del forzamiento no ramificado expuesto aquí. Forzar también es equivalente al método de los modelos con valores booleanos , que algunos sienten que es conceptualmente más natural e intuitivo, pero generalmente mucho más difícil de aplicar.