En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un filtro genérico es un tipo de objeto utilizado en la teoría del forzamiento , una técnica utilizada para muchos propósitos, pero especialmente para establecer la independencia de ciertas proposiciones de ciertas teorías formales, como ZFC . Por ejemplo, Paul Cohen usó forzar para establecer que ZFC, si es consistente, no puede probar la hipótesis del continuo , que establece que hay exactamente números reales aleph-uno . En la reinterpretación contemporánea de la prueba de Cohen, procede mediante la construcción de un filtro genérico que codifica más que reales, sin cambiar el valor de .
Formalmente, sea P un conjunto parcialmente ordenado y sea F un filtro en P ; es decir, F es un subconjunto de P tal que:
- F no está vacío
- Si p , q ∈ P y p ≤ q y p es un elemento de F , entonces q es un elemento de F ( F está cerrado hacia arriba )
- Si p y q son elementos de F , a continuación, hay un elemento r de F tal que r ≤ p y r ≤ q ( F se dirige hacia abajo )
Ahora bien, si D es una colección de subconjuntos abiertos densos de P , en la topología cuyos conjuntos abiertos básicos son todos conjuntos de la forma { q | q ≤ p } para p particular en P , entonces se dice que F es D -generico si F cumple con todos los conjuntos en D ; es decir,
- para todo E ∈ D.
De manera similar, si M es un modelo transitivo de ZFC (o algún fragmento suficiente del mismo), con P un elemento de M , entonces se dice que F es M -genérico , o algunas veces genérico sobre M , si F cumple con todos los subconjuntos abiertos densos de P que son elementos de M .
Ver también
Referencias
- K. Ciesielski (1997). Teoría de conjuntos para el matemático que trabaja . London Mathematical Society, Student Texts 39. Cambridge University Press.