Círculo de Ford

En matemáticas , un círculo de Ford es un círculo con centro en y radio donde es una fracción irreducible , es decir, y son enteros coprimos . Cada círculo de Ford es tangente al eje horizontal y dos círculos de Ford son tangentes o separados entre sí. ^[1]${\ Displaystyle (p / q, 1 / (2q ^ {2}))}$ ${\ Displaystyle 1 / (2q ^ {2}),}$${\ Displaystyle p / q}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$ ${\ Displaystyle y = 0,}$

Los círculos de Ford son un caso especial de círculos mutuamente tangentes; la línea de base se puede considerar como un círculo con radio infinito. Apolonio de Perge estudió sistemas de círculos mutuamente tangentes , en cuyo honor se nombra el problema de Apolonio y la junta apolínea . ^[2] En el siglo XVII, René Descartes descubrió el teorema de Descartes , una relación entre los recíprocos de los radios de círculos mutuamente tangentes. ^[2]

Los círculos de Ford también aparecen en los Sangaku (rompecabezas geométricos) de las matemáticas japonesas . Un problema típico, que se presenta en una tableta de 1824 en la prefectura de Gunma , cubre la relación de tres círculos en contacto con una tangente común . Dado el tamaño de los dos círculos grandes exteriores, ¿cuál es el tamaño del círculo pequeño entre ellos? La respuesta es equivalente a un círculo de Ford: ^[3]

Los círculos de Ford llevan el nombre del matemático estadounidense Lester R. Ford, Sr. , quien escribió sobre ellos en 1938. ^[1]

El círculo de Ford asociado con la fracción se denota con o Hay un círculo de Ford asociado con cada número racional . Además, la línea se cuenta como un círculo de Ford; se puede considerar como el círculo de Ford asociado con el infinito , que es el caso${\ Displaystyle p / q}$${\ Displaystyle C [p / q]}$${\ Displaystyle C [p, q].}$${\ Displaystyle y = 1}$${\ Displaystyle p = 1, q = 0.}$

Dos círculos de Ford diferentes están separados o son tangentes entre sí. No hay dos interiores de círculos de Ford que se crucen, aunque hay un círculo de Ford tangente al eje x en cada punto con coordenadas racionales . Si está entre 0 y 1, los círculos de Ford que son tangentes a pueden describirse de diversas formas como${\ Displaystyle p / q}$${\ Displaystyle C [p / q]}$

Círculos de Ford para q de 1 a 20. Los círculos con q ≤ 10 se etiquetan como p / q y se codifican por colores de acuerdo con q . Cada círculo es tangente a la línea base y sus círculos vecinos. Las fracciones irreducibles con el mismo denominador tienen círculos del mismo tamaño.

Comparación de los círculos de Ford y un diagrama de Farey con arcos circulares para n de 1 a 9. Observe que cada arco interseca sus círculos correspondientes en ángulos rectos. En la imagen SVG, coloque el cursor sobre un círculo o curva para resaltarlo y sus términos.

Esferas de Ford por encima del dominio complejo