Lógica matemática

Para conocer la teoría de Quine a veces llamada "Lógica matemática", consulte Nuevos fundamentos .

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Subcampo de las matemáticas

La lógica matemática , también llamada lógica formal , es un subcampo de las matemáticas que explora las aplicaciones formales de la lógica a las matemáticas. Tiene estrechas conexiones con las metamatemáticas , los fundamentos de las matemáticas y la informática teórica . ^[1] Los temas unificadores en lógica matemática incluyen el estudio del poder expresivo de los sistemas formales y el poder deductivo de los sistemas formales de prueba .

La lógica matemática a menudo se divide en los campos de la teoría de conjuntos , la teoría de modelos , la teoría de la recursividad y la teoría de la prueba . Estas áreas comparten resultados básicos sobre lógica, particularmente lógica de primer orden y definibilidad . En ciencias de la computación (particularmente en la Clasificación ACM ), la lógica matemática abarca temas adicionales que no se detallan en este artículo; vea Lógica en ciencias de la computación para esos.

Desde sus inicios, la lógica matemática ha contribuido y ha sido motivada por el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Este estudio comenzó a finales del siglo XIX con el desarrollo de marcos axiomáticos para geometría , aritmética y análisis . En el siglo 20 que fue formada por David Hilbert 's programa para probar la consistencia de las teorías fundamentales. Resultados de Kurt Gödel , Gerhard Gentzeny otros proporcionaron una resolución parcial al programa y aclararon los problemas relacionados con la prueba de coherencia. El trabajo en la teoría de conjuntos mostró que casi todas las matemáticas ordinarias se pueden formalizar en términos de conjuntos, aunque hay algunos teoremas que no se pueden probar en sistemas de axiomas comunes para la teoría de conjuntos. El trabajo contemporáneo sobre los fundamentos de las matemáticas a menudo se centra en establecer qué partes de las matemáticas se pueden formalizar en sistemas formales particulares (como en las matemáticas inversas ) en lugar de tratar de encontrar teorías en las que se puedan desarrollar todas las matemáticas.

Subcampos y alcance

El Handbook of Mathematical Logic ^[2] de 1977 hace una división aproximada de la lógica matemática contemporánea en cuatro áreas:

1. teoría de conjuntos
2. teoría del modelo
3. teoría de la recursividad , y
4. teoría de la prueba y matemáticas constructivas (consideradas como partes de un área única).

Cada área tiene un enfoque distinto, aunque muchas técnicas y resultados se comparten entre múltiples áreas. Los límites entre estos campos y las líneas que separan la lógica matemática de otros campos de las matemáticas no siempre son nítidas. El teorema de incompletitud de Gödel marca no solo un hito en la teoría de la recursividad y la teoría de la prueba, sino que también ha llevado al teorema de Löb en lógica modal. El método de forzar se emplea en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la teoría de la recursividad, así como en el estudio de las matemáticas intuicionistas.

El campo matemático de la teoría de categorías utiliza muchos métodos axiomáticos formales e incluye el estudio de la lógica categórica , pero la teoría de categorías normalmente no se considera un subcampo de la lógica matemática. Debido a su aplicabilidad en diversos campos de las matemáticas, matemáticos como Saunders Mac Lane han propuesto la teoría de categorías como un sistema fundamental para las matemáticas, independiente de la teoría de conjuntos. Estos fundamentos utilizan topos , que se asemejan a modelos generalizados de teoría de conjuntos que pueden emplear lógica clásica o no clásica.

Historia

La lógica matemática surgió a mediados del siglo XIX como un subcampo de las matemáticas, reflejando la confluencia de dos tradiciones: la lógica filosófica formal y las matemáticas ( Ferreirós 2001 , p. 443). "La lógica matemática, también llamada 'logística', 'lógica simbólica', el ' álgebra de la lógica ' y, más recientemente, simplemente 'lógica formal', es el conjunto de teorías lógicas elaboradas en el transcurso del último [siglo XIX] con la ayuda de una notación artificial y un método rigurosamente deductivo ". ^[3] Antes de esta emergencia, la lógica se estudiaba con retórica , con cálculos , ^{[4] a} través del silogismo y con la filosofía.. La primera mitad del siglo XX vio una explosión de resultados fundamentales, acompañada de un vigoroso debate sobre los fundamentos de las matemáticas.

Historia temprana

Más información: Historia de la lógica

Las teorías de la lógica se desarrollaron en muchas culturas a lo largo de la historia, incluidas China , India , Grecia y el mundo islámico . Los métodos griegos, en particular la lógica aristotélica (o lógica del término) como se encuentra en el Organon , encontraron una amplia aplicación y aceptación en la ciencia y las matemáticas occidentales durante milenios. ^[5] Los estoicos , especialmente Crisipo , comenzaron el desarrollo de la lógica de predicados . En la Europa del siglo XVIII, matemáticos filosóficos como Leibniz y Leibniz habían intentado tratar las operaciones de la lógica formal de una manera simbólica o algebraica.Lambert , pero sus labores permanecieron aisladas y poco conocidas.

Siglo XIX

A mediados del siglo XIX, George Boole y luego Augustus De Morgan presentaron tratamientos matemáticos sistemáticos de la lógica. Su trabajo, basado en el trabajo de algebristas como George Peacock , extendió la doctrina aristotélica tradicional de la lógica a un marco suficiente para el estudio de los fundamentos de las matemáticas  ( Katz 1998 , p. 686). Charles Sanders Peirce se basó más tarde en el trabajo de Boole para desarrollar un sistema lógico de relaciones y cuantificadores, que publicó en varios artículos desde 1870 hasta 1885.

Gottlob Frege presentó un desarrollo independiente de la lógica con cuantificadores en su Begriffsschrift , publicado en 1879, un trabajo generalmente considerado como un punto de inflexión en la historia de la lógica. Sin embargo, el trabajo de Frege permaneció oscuro hasta que Bertrand Russell comenzó a promoverlo cerca del cambio de siglo. La notación bidimensional que Frege desarrolló nunca fue ampliamente adoptada y no se utiliza en los textos contemporáneos.

De 1890 a 1905, Ernst Schröder publicó Vorlesungen über die Algebra der Logik en tres volúmenes. Este trabajo resumió y amplió el trabajo de Boole, De Morgan y Peirce, y fue una referencia integral a la lógica simbólica tal como se entendía a fines del siglo XIX.

Teorías fundamentales

Las preocupaciones de que las matemáticas no se habían construido sobre una base adecuada llevaron al desarrollo de sistemas axiomáticos para áreas fundamentales de las matemáticas como la aritmética, el análisis y la geometría.

En lógica, el término aritmética se refiere a la teoría de los números naturales . Giuseppe Peano ( 1889 ) publicó un conjunto de axiomas para la aritmética que llegó a llevar su nombre ( axiomas de Peano ), usando una variación del sistema lógico de Boole y Schröder pero agregando cuantificadores. Peano desconocía el trabajo de Frege en ese momento. Casi al mismo tiempo, Richard Dedekind demostró que los números naturales se caracterizan únicamente por sus propiedades de inducción . Dedekind ( 1888)) propuso una caracterización diferente, que carecía del carácter lógico formal de los axiomas de Peano. Sin embargo, el trabajo de Dedekind demostró que los teoremas eran inaccesibles en el sistema de Peano, incluida la unicidad del conjunto de números naturales (hasta el isomorfismo) y las definiciones recursivas de suma y multiplicación de la función sucesora y la inducción matemática.

A mediados del siglo XIX, se conocieron las fallas en los axiomas de Euclides para la geometría ( Katz 1998 , p. 774). Además de la independencia del postulado paralelo , establecido por Nikolai Lobachevsky en 1826 ( Lobachevsky 1840 ), los matemáticos descubrieron que ciertos teoremas que Euclides daba por sentados no eran de hecho demostrables a partir de sus axiomas. Entre estos está el teorema de que una línea contiene al menos dos puntos, o que los círculos del mismo radio cuyos centros están separados por ese radio deben intersecarse. Hilbert ( 1899 ) desarrolló un conjunto completo de axiomas para la geometría , basándose en trabajos anteriores de Pasch ( 1882). El éxito en axiomatizar la geometría motivó a Hilbert a buscar axiomatizaciones completas de otras áreas de las matemáticas, como los números naturales y la línea real . Esta resultaría ser un área importante de investigación en la primera mitad del siglo XX.

El siglo XIX vio grandes avances en la teoría del análisis real , incluidas las teorías de convergencia de funciones y series de Fourier . Matemáticos como Karl Weierstrass comenzaron a construir funciones que estiraban la intuición, como funciones continuas no diferenciables en ninguna parte . Las concepciones anteriores de una función como regla para el cálculo, o un gráfico uniforme, ya no eran adecuadas. Weierstrass comenzó a abogar por la aritmetización del análisis , que buscaba axiomatizar el análisis utilizando propiedades de los números naturales. La definición moderna (ε, δ) de funciones límite y continuas ya fue desarrollada por Bolzano en 1817 (Felscher 2000 ), pero permaneció relativamente desconocido. Cauchy en 1821 definió la continuidad en términos de infinitesimales (ver Cours d'Analyse, página 34). En 1858, Dedekind propuso una definición de los números reales en términos de cortes de Dedekind de números racionales (Dedekind 1872) , una definición que todavía se emplea en los textos contemporáneos.

Georg Cantor desarrolló los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos infinitos. Sus primeros resultados desarrollaron la teoría de la cardinalidad y demostraron que los números reales y naturales tienen cardinalidades diferentes (Cantor 1874). Durante los siguientes veinte años, Cantor desarrolló una teoría de los números transfinitos en una serie de publicaciones. En 1891, publicó una nueva prueba de la incontabilidad de los números reales que introdujo el argumento diagonal , y utilizó este método para probar el teorema de Cantor de que ningún conjunto puede tener la misma cardinalidad que su conjunto de potencias . Cantor creía que todos los juegos podían estar bien ordenados., pero no pudo producir una prueba de este resultado, dejándolo como un problema abierto en 1895 ( Katz 1998, p. 807 ).

Siglo XX

En las primeras décadas del siglo XX, las principales áreas de estudio fueron la teoría de conjuntos y la lógica formal. El descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos informal hizo que algunos se preguntaran si las matemáticas en sí mismas son inconsistentes y buscaran pruebas de consistencia.

En 1900, Hilbert planteó una famosa lista de 23 problemas para el próximo siglo. Los dos primeros fueron para resolver la hipótesis del continuo y probar la consistencia de la aritmética elemental, respectivamente; el décimo era producir un método que pudiera decidir si una ecuación polinomial multivariante sobre los números enteros tiene una solución. El trabajo posterior para resolver estos problemas dio forma a la dirección de la lógica matemática, al igual que el esfuerzo para resolver el Entscheidungsproblem de Hilbert , planteado en 1928. Este problema requería un procedimiento que decidiera, dado un enunciado matemático formalizado, si el enunciado es verdadero o falso.

Teoría de conjuntos y paradojas

Ernst Zermelo ( 1904 ) dio una prueba de que todos los conjuntos podían estar bien ordenados , un resultado que Georg Cantor no había podido obtener. Para lograr la prueba, Zermelo introdujo el axioma de elección , que generó un acalorado debate e investigación entre los matemáticos y los pioneros de la teoría de conjuntos. La crítica inmediata al método llevó a Zermelo a publicar una segunda exposición de su resultado, abordando directamente las críticas a su prueba ( Zermelo 1908a ). Este artículo llevó a la aceptación general del axioma de elección en la comunidad matemática.

El escepticismo sobre el axioma de elección se vio reforzado por paradojas descubiertas recientemente en la teoría de conjuntos ingenua . Cesare Burali-Forti ( 1897 ) fue el primero en enunciar una paradoja: la paradoja de Burali-Forti muestra que la colección de todos los números ordinales no puede formar un conjunto. Muy poco después, Bertrand Russell descubrió la paradoja de Russell en 1901, y Jules Richard ( 1905 ) descubrió la paradoja de Richard .

Zermelo ( 1908b ) proporcionó el primer conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos. Estos axiomas, junto con el axioma adicional de reemplazo propuesto por Abraham Fraenkel , ahora se denominan teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Los axiomas de Zermelo incorporaron el principio de limitación de tamaño para evitar la paradoja de Russell.

En 1910, se publicó el primer volumen de Principia Mathematica de Russell y Alfred North Whitehead . Este trabajo fundamental desarrolló la teoría de funciones y cardinalidad en un marco completamente formal de teoría de tipos , que Russell y Whitehead desarrollaron en un esfuerzo por evitar las paradojas. Principia Mathematica es considerada una de las obras más influyentes del siglo XX, aunque el marco de la teoría de tipos no resultó popular como teoría fundamental para las matemáticas ( Ferreirós 2001 , p. 445).

Fraenkel ( 1922 ) demostró que el axioma de elección no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo con urelements . El trabajo posterior de Paul Cohen ( 1966 ) mostró que la adición de urelementos no es necesaria, y el axioma de elección es indemostrable en ZF. La demostración de Cohen desarrolló el método de forzar , que ahora es una herramienta importante para establecer resultados de independencia en la teoría de conjuntos. ^[6]

Lógica simbólica

Leopold Löwenheim ( 1915 ) y Thoralf Skolem ( 1920 ) obtuvieron el teorema de Löwenheim-Skolem , que dice que la lógica de primer orden no puede controlar las cardinalidades de estructuras infinitas. Skolem se dio cuenta de que este teorema se aplicaría a las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, y que implica que cualquier formalización tiene un modelo contable . Este hecho contradictorio se conoció como la paradoja de Skolem .

En su tesis doctoral, Kurt Gödel ( 1929 ) demostró el teorema de completitud , que establece una correspondencia entre sintaxis y semántica en lógica de primer orden. Gödel usó el teorema de completitud para probar el teorema de compacidad , demostrando la naturaleza finitaria de la consecuencia lógica de primer orden . Estos resultados ayudaron a establecer la lógica de primer orden como la lógica dominante utilizada por los matemáticos.

En 1931, Gödel publicó Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados , que demostró lo incompleto (en un significado diferente de la palabra) de todas las teorías de primer orden suficientemente fuertes y efectivas. Este resultado, conocido como teorema de incompletitud de Gödel , establece severas limitaciones en los fundamentos axiomáticos de las matemáticas, lo que supone un fuerte golpe al programa de Hilbert. Mostró la imposibilidad de proporcionar una prueba de coherencia de la aritmética dentro de cualquier teoría formal de la aritmética. Hilbert, sin embargo, no reconoció la importancia del teorema de incompletitud durante algún tiempo. ^[7]

El teorema de Gödel muestra que una prueba de consistencia de cualquier sistema de axiomas suficientemente fuerte y efectivo no puede obtenerse en el sistema mismo, si el sistema es consistente, ni en ningún sistema más débil. Esto deja abierta la posibilidad de pruebas de consistencia que no puedan formalizarse dentro del sistema que consideran. Gentzen ( 1936 ) demostró la consistencia de la aritmética utilizando un sistema finitista junto con un principio de inducción transfinita . El resultado de Gentzen introdujo las ideas de eliminación de cortes y ordinales de la teoría de la prueba , que se convirtieron en herramientas clave en la teoría de la prueba. Gödel ( 1958)) dio una prueba de consistencia diferente, que reduce la consistencia de la aritmética clásica a la de la aritmética intuicionista en tipos superiores.

El primer libro de texto sobre lógica simbólica para el profano fue escrito por Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, en 1896. ^[8]

Inicios de las otras ramas

Alfred Tarski desarrolló los conceptos básicos de la teoría de modelos .

A partir de 1935, un grupo de matemáticos destacados colaboró ​​bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki para publicar Éléments de mathématique , una serie de textos matemáticos enciclopédicos. Estos textos, escritos en un estilo austero y axiomático, enfatizaron la presentación rigurosa y los fundamentos de la teoría de conjuntos. La terminología acuñada por estos textos, como las palabras biyección , inyección y sobreyección , y los fundamentos de la teoría de conjuntos que empleaban los textos, fueron ampliamente adoptados en todas las matemáticas.

El estudio de la computabilidad llegó a conocerse como teoría de la recursividad o teoría de la computabilidad , porque las primeras formalizaciones de Gödel y Kleene se basaron en definiciones recursivas de funciones. ^[9] Cuando estas definiciones se mostraron equivalentes a la formalización de Turing que involucra a las máquinas de Turing , quedó claro que un nuevo concepto: la función computable- se había descubierto, y que esta definición era lo suficientemente sólida como para admitir numerosas caracterizaciones independientes. En su trabajo sobre los teoremas de la incompletitud en 1931, Gödel carecía de un concepto riguroso de un sistema formal eficaz; Inmediatamente se dio cuenta de que las nuevas definiciones de computabilidad podrían usarse para este propósito, permitiéndole enunciar los teoremas de incompletitud en general que solo podrían estar implícitos en el artículo original.

Stephen Cole Kleene y Emil Leon Post obtuvieron numerosos resultados en la teoría de la recursividad en la década de 1940 . Kleene ( 1943 ) introdujo los conceptos de computabilidad relativa, presagiado por Turing ( 1939 ), y la jerarquía aritmética . Más tarde, Kleene generalizó la teoría de la recursividad a los funcionales de orden superior. Kleene y Georg Kreisel estudiaron versiones formales de las matemáticas intuicionistas, particularmente en el contexto de la teoría de la prueba.

Sistemas lógicos formales

En esencia, la lógica matemática se ocupa de los conceptos matemáticos expresados ​​mediante sistemas lógicos formales . Estos sistemas, aunque difieren en muchos detalles, comparten la propiedad común de considerar solo expresiones en un lenguaje formal fijo. Los sistemas de lógica proposicional y lógica de primer orden son los más estudiados en la actualidad, debido a su aplicabilidad a los fundamentos de las matemáticas y debido a sus deseables propiedades de teoría de la prueba. ^[10] más fuertes lógicas clásicos como lógica de segundo orden o lógica infinitary también se estudian, junto con las lógicas no clásicos tales como la lógica intuicionista .

Lógica de primer orden

Artículo principal: lógica de primer orden

La lógica de primer orden es un sistema de lógica formal particular . Su sintaxis implica solo expresiones finitas como fórmulas bien formadas , mientras que su semántica se caracteriza por la limitación de todos los cuantificadores a un dominio fijo del discurso .

Los primeros resultados de la lógica formal establecieron limitaciones de la lógica de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem (1919) mostró que si un conjunto de oraciones en un lenguaje de primer orden contable tiene un modelo infinito, entonces tiene al menos un modelo de cada cardinalidad infinita. Esto muestra que es imposible que un conjunto de axiomas de primer orden caracterice los números naturales, los números reales o cualquier otra estructura infinita hasta el isomorfismo . Como el objetivo de los primeros estudios fundacionales era producir teorías axiomáticas para todas las partes de las matemáticas, esta limitación fue particularmente severa.

El teorema de completitud de Gödel ( Gödel 1929 ) estableció la equivalencia entre las definiciones semánticas y sintácticas de consecuencia lógica en la lógica de primer orden. Muestra que si una oración en particular es verdadera en cada modelo que satisface un conjunto particular de axiomas, entonces debe haber una deducción finita de la oración a partir de los axiomas. El teorema de la compacidadapareció por primera vez como un lema en la prueba de Gödel del teorema de completitud, y pasaron muchos años antes de que los lógicos comprendieran su significado y comenzaran a aplicarlo de forma rutinaria. Dice que un conjunto de oraciones tiene un modelo si y solo si cada subconjunto finito tiene un modelo, o en otras palabras, que un conjunto inconsistente de fórmulas debe tener un subconjunto finito inconsistente. Los teoremas de completitud y compacidad permiten un análisis sofisticado de las consecuencias lógicas en la lógica de primer orden y el desarrollo de la teoría de modelos , y son una razón clave para la prominencia de la lógica de primer orden en las matemáticas.

Los teoremas de incompletitud de Gödel ( Gödel 1931 ) establecen límites adicionales a las axiomatizaciones de primer orden. El primer teorema de incompletitud establece que para cualquier sistema lógico consistente, dado efectivamente (definido a continuación) que es capaz de interpretar aritmética, existe un enunciado que es verdadero (en el sentido de que es válido para los números naturales) pero no demostrable dentro de ese sistema lógico. sistema (y que de hecho puede fallar en algunos modelos aritméticos no estándar que pueden ser consistentes con el sistema lógico). Por ejemplo, en todo sistema lógico capaz de expresar los axiomas de Peano , la oración de Gödel es válida para los números naturales, pero no se puede probar.

Aquí se dice que un sistema lógico está efectivamente dado si es posible decidir, dada cualquier fórmula en el lenguaje del sistema, si la fórmula es un axioma, y ​​una que puede expresar los axiomas de Peano se llama "suficientemente fuerte". Cuando se aplica a la lógica de primer orden, el primer teorema de incompletitud implica que cualquier teoría de primer orden suficientemente fuerte, consistente y efectiva tiene modelos que no son elementalmente equivalentes , una limitación más fuerte que la establecida por el teorema de Löwenheim-Skolem. El segundo teorema de incompletitud establece que ningún sistema de axiomas suficientemente fuerte, consistente y efectivo para la aritmética puede probar su propia consistencia, lo que se ha interpretado para mostrar que el programa de Hilbert no se puede alcanzar.

Otras lógicas clásicas

Se estudian muchas lógicas además de la lógica de primer orden. Estos incluyen lógicas infinitas , que permiten que las fórmulas proporcionen una cantidad infinita de información, y lógicas de orden superior , que incluyen una parte de la teoría de conjuntos directamente en su semántica.

La lógica infinitaria mejor estudiada es . En esta lógica, los cuantificadores solo pueden estar anidados a profundidades finitas, como en la lógica de primer orden, pero las fórmulas pueden tener conjunciones y disyunciones finitas o infinitas numerables dentro de ellas. Así, por ejemplo, es posible decir que un objeto es un número entero usando una fórmula como${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$

${\displaystyle (x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .}$

Las lógicas de orden superior permiten la cuantificación no sólo de elementos del dominio del discurso , sino de subconjuntos del dominio del discurso, conjuntos de tales subconjuntos y otros objetos de tipo superior. La semántica se define de modo que, en lugar de tener un dominio separado para cada cuantificador de tipo superior, los cuantificadores abarcan todos los objetos del tipo apropiado. Las lógicas estudiadas antes del desarrollo de la lógica de primer orden, por ejemplo la lógica de Frege, tenían aspectos teóricos de conjuntos similares. Aunque las lógicas de orden superior son más expresivas y permiten axiomatizaciones completas de estructuras como los números naturales, no satisfacen los análogos de los teoremas de completitud y compacidad de la lógica de primer orden y, por lo tanto, son menos susceptibles de análisis de la teoría de la prueba.

Otro tipo de lógicas son lógicas de punto fijo s que permiten definiciones inductivas , como se escribe para funciones recursivas primitivas .

Se puede definir formalmente una extensión de la lógica de primer orden, una noción que abarca todas las lógicas en esta sección porque se comportan como la lógica de primer orden en ciertas formas fundamentales, pero no abarca todas las lógicas en general, por ejemplo, no abarca la intuicionista, lógica modal o difusa .

El teorema de Lindström implica que la única extensión de la lógica de primer orden que satisface tanto el teorema de compacidad como el teorema descendente de Löwenheim-Skolem es la lógica de primer orden.

Lógica modal y no clásica

Artículo principal: lógica no clásica

Las lógicas modales incluyen operadores modales adicionales, como un operador que establece que una fórmula en particular no solo es verdadera, sino necesariamente verdadera. Aunque la lógica modal no se utiliza a menudo para axiomatizar las matemáticas, se ha utilizado para estudiar las propiedades de la demostrabilidad de primer orden ( Solovay 1976 ) y el forzamiento de la teoría de conjuntos ( Hamkins y Löwe 2007 ).

La lógica intuicionista fue desarrollada por Heyting para estudiar el programa de intuicionismo de Brouwer, en el que el propio Brouwer evitaba la formalización. La lógica intuicionista no incluye específicamente la ley del medio excluido , que establece que cada oración es verdadera o su negación es verdadera. El trabajo de Kleene con la teoría de la prueba de la lógica intuicionista mostró que la información constructiva se puede recuperar de las pruebas intuicionistas. Por ejemplo, cualquier función demostrablemente total en aritmética intuicionista es computable ; esto no es cierto en las teorías clásicas de la aritmética como la aritmética de Peano .

Lógica algebraica

La lógica algebraica utiliza los métodos del álgebra abstracta para estudiar la semántica de la lógica formal. Un ejemplo fundamental es el uso de álgebras booleanas para representar valores de verdad en la lógica proposicional clásica, y el uso de álgebras de Heyting para representar valores de verdad en la lógica proposicional intuicionista. Las lógicas más sólidas, como la lógica de primer orden y la lógica de orden superior, se estudian utilizando estructuras algebraicas más complicadas como las álgebras cilíndricas .

Teoría de conjuntos

Artículo principal: Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es el estudio de conjuntos , que son colecciones abstractas de objetos. Cantor desarrolló informalmente muchas de las nociones básicas, como los números ordinales y cardinales, antes de que se desarrollaran las axiomatizaciones formales de la teoría de conjuntos. La primera axiomatización de este tipo , debida a Zermelo ( 1908b ), se amplió ligeramente para convertirse en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel , que ahora es la teoría fundamental más utilizada para las matemáticas.

Se han propuesto otras formalizaciones de la teoría de conjuntos, incluida la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK) y New Foundations (NF). De estos, ZF, NBG y MK son similares al describir una jerarquía acumulativa de conjuntos. New Foundations adopta un enfoque diferente; permite objetos como el conjunto de todos los conjuntos a costa de restricciones sobre sus axiomas de existencia de conjuntos. El sistema de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek está estrechamente relacionado con la teoría de la recursividad generalizada.

Dos afirmaciones famosas en la teoría de conjuntos son el axioma de elección y la hipótesis del continuo . El axioma de elección, enunciado por primera vez por Zermelo ( 1904 ), fue probado como independiente de ZF por Fraenkel ( 1922 ), pero ha llegado a ser ampliamente aceptado por los matemáticos. Establece que dada una colección de conjuntos no vacíos hay un único conjunto C que contiene exactamente un elemento de cada conjunto de la colección. Se dice que el conjunto C "elige" un elemento de cada conjunto de la colección. Si bien algunos consideran obvia la capacidad de hacer tal elección, dado que cada conjunto de la colección no está vacío, la falta de una regla general y concreta mediante la cual se pueda hacer la elección hace que el axioma no sea constructivo.Stefan Banach y Alfred Tarski ( 1924 ^{[ cita no encontrada ]} ) demostraron que el axioma de elección se puede utilizar para descomponer una bola sólida en un número finito de piezas que luego se pueden reorganizar, sin escala, para hacer dos bolas sólidas de la tamaño original. Este teorema, conocido como la paradoja de Banach-Tarski , es uno de los muchos resultados contraintuitivos del axioma de elección.

La hipótesis del continuo, propuesta por primera vez como una conjetura por Cantor, fue catalogada por David Hilbert como uno de sus 23 problemas en 1900. Gödel mostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (con o sin el axioma de elección), desarrollando el universo construible de la teoría de conjuntos en el que debe sostenerse la hipótesis del continuo. En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo no se puede probar a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( Cohen 1966 ). Sin embargo, este resultado de independencia no resolvió completamente la cuestión de Hilbert, ya que es posible que nuevos axiomas para la teoría de conjuntos puedan resolver la hipótesis. Un trabajo reciente en este sentido ha sido realizado porW. Hugh Woodin , aunque su importancia aún no está clara ( Woodin 2001 ).

La investigación contemporánea en teoría de conjuntos incluye el estudio de los grandes cardinales y la determinación . Los cardenales grandes son números cardinales con propiedades particulares tan fuertes que la existencia de tales cardenales no se puede probar en ZFC. La existencia del cardenal grande más pequeño típicamente estudiado, un cardenal inaccesible , ya implica la consistencia de ZFC. A pesar del hecho de que los grandes cardinales tienen muy alta cardinalidad , su existencia tiene muchas ramificaciones para la estructura de la recta real. La determinación se refiere a la posible existencia de estrategias ganadoras para ciertos juegos de dos jugadores (se dice que los juegos están determinados). La existencia de estas estrategias implica propiedades estructurales de la línea real y otros espacios polacos .

Teoría de modelos

Artículo principal: teoría de modelos

La teoría de modelos estudia los modelos de varias teorías formales. Aquí una teoría es un conjunto de fórmulas en una lógica y firma formales particulares, mientras que un modelo es una estructura que da una interpretación concreta de la teoría. La teoría de modelos está estrechamente relacionada con el álgebra universal y la geometría algebraica , aunque los métodos de la teoría de modelos se centran más en consideraciones lógicas que en esos campos.

El conjunto de todos los modelos de una teoría particular se denomina clase elemental ; La teoría clásica de modelos busca determinar las propiedades de los modelos en una clase elemental particular, o determinar si ciertas clases de estructuras forman clases elementales.

El método de eliminación de cuantificadores puede usarse para mostrar que los conjuntos definibles en teorías particulares no pueden ser demasiado complicados. Tarski ( 1948 ) estableció la eliminación del cuantificador para campos cerrados reales , un resultado que también muestra que la teoría del campo de números reales es decidible . (También señaló que sus métodos eran igualmente aplicables a campos algebraicamente cerrados de características arbitrarias). Un subcampo moderno que se desarrolla a partir de esto se ocupa de las estructuras o-mínimas .

El teorema de categoricidad de Morley , probado por Michael D. Morley ( 1965 ), establece que si una teoría de primer orden en un lenguaje contable es categórica en alguna cardinalidad incontable, es decir, todos los modelos de esta cardinalidad son isomórficos, entonces es categórica en todas las cardinalidades incontables. .

Una consecuencia trivial de la hipótesis del continuo es que una teoría completa con menos de muchos modelos contables no isomórficos continuos puede tener sólo un número numerable. La conjetura de Vaught , que lleva el nombre de Robert Lawson Vaught , dice que esto es cierto incluso independientemente de la hipótesis del continuo. Se han establecido muchos casos especiales de esta conjetura.

Teoría de la recursividad

Artículo principal: teoría de la recursividad

La teoría de la recursividad , también llamada teoría de la computabilidad , estudia las propiedades de las funciones computables y los grados de Turing , que dividen las funciones no computables en conjuntos que tienen el mismo nivel de incomputabilidad. La teoría de la recursividad también incluye el estudio de la computabilidad y definibilidad generalizadas. La teoría de la recursividad surgió del trabajo de Rózsa Péter , Alonzo Church y Alan Turing en la década de 1930, que fue ampliamente ampliada por Kleene y Post en la década de 1940. ^[11]

La teoría de la recursividad clásica se centra en la computabilidad de funciones desde los números naturales hasta los números naturales. Los resultados fundamentales establecen una clase canónica y robusta de funciones computables con numerosas caracterizaciones equivalentes independientes utilizando máquinas de Turing , cálculo λ y otros sistemas. Los resultados más avanzados se refieren a la estructura de los grados de Turing y al enrejado de conjuntos recursivamente enumerables .

La teoría de la recursividad generalizada extiende las ideas de la teoría de la recursividad a cálculos que ya no son necesariamente finitos. Incluye el estudio de la computabilidad en tipos superiores, así como áreas como la teoría hiperaritmética y la teoría de la recursividad α .

La investigación contemporánea en la teoría de la recursividad incluye el estudio de aplicaciones como la aleatoriedad algorítmica , la teoría de modelos computables y las matemáticas inversas , así como los nuevos resultados en la teoría de la recursividad pura.

Problemas sin solución algorítmica

Un subcampo importante de la teoría de la recursividad estudia la insolubilidad algorítmica; un problema de decisión o problema de la función es algorítmicamente irresoluble si no hay un posible algoritmo computable que devuelve la respuesta correcta para todas las entradas legales para el problema. Los primeros resultados sobre la insolubilidad, obtenidos de forma independiente por Church y Turing en 1936, mostraron que el problema de Entscheidung es algorítmicamente insoluble. Turing demostró esto al establecer la imposibilidad de resolver el problema de la detención , un resultado con implicaciones de largo alcance tanto en la teoría de la recursividad como en la informática.

Hay muchos ejemplos conocidos de problemas indecidibles de las matemáticas ordinarias. El problema de palabras para grupos se demostró algorítmicamente irresoluble por Pyotr Novikov en 1955 e independientemente por W. Boone en 1959. El castor ocupado problema, desarrollado por Tibor Radó en 1962, es otro ejemplo bien conocido.

El décimo problema de Hilbert solicitó un algoritmo para determinar si una ecuación polinomial multivariante con coeficientes enteros tiene una solución en los números enteros. Julia Robinson , Martin Davis e Hilary Putnam lograron avances parciales . Yuri Matiyasevich demostró la insolubilidad algorítmica del problema en 1970 ( Davis 1973 ).

Teoría de la prueba y matemáticas constructivas

Artículo principal: teoría de la prueba

La teoría de la prueba es el estudio de pruebas formales en varios sistemas de deducción lógica. Estas demostraciones se representan como objetos matemáticos formales, lo que facilita su análisis mediante técnicas matemáticas. Se consideran comúnmente varios sistemas de deducción, incluidos los sistemas de deducción al estilo de Hilbert , los sistemas de deducción natural y el cálculo secuencial desarrollado por Gentzen.

El estudio de las matemáticas constructivas , en el contexto de la lógica matemática, incluye el estudio de sistemas en lógica no clásica como la lógica intuicionista, así como el estudio de sistemas predicativos . Uno de los primeros defensores del predicativismo fue Hermann Weyl , quien demostró que es posible desarrollar una gran parte del análisis real utilizando sólo métodos predicativos ( Weyl 1918 ) ^{[ cita no encontrada ]} .

Debido a que las demostraciones son completamente finitarias, mientras que la verdad en una estructura no lo es, es común que el trabajo en matemáticas constructivas enfatice la demostrabilidad. La relación entre demostrabilidad en sistemas clásicos (o no constructivos) y demostrabilidad en sistemas intuicionistas (o constructivos, respectivamente) es de particular interés. Resultados como la traducción negativa de Gödel-Gentzen muestran que es posible incrustar (o traducir ) la lógica clásica en la lógica intuicionista, permitiendo que algunas propiedades sobre las pruebas intuicionistas se transfieran de nuevo a las pruebas clásicas.

Los desarrollos recientes en la teoría de la prueba incluyen el estudio de la minería de pruebas de Ulrich Kohlenbach y el estudio de los ordinales de la teoría de la prueba de Michael Rathjen .

Aplicaciones

"La lógica matemática se ha aplicado con éxito no solo a las matemáticas y sus fundamentos ( G. Frege , B. Russell , D. Hilbert , P. Bernays , H. Scholz , R. Carnap , S. Lesniewski , T. Skolem ), sino también a la física (R. Carnap, A. Dittrich, B. Russell, CE Shannon , AN Whitehead , H. Reichenbach , P. Fevrier), a la biología ( JH Woodger , A. Tarski ), a la psicología ( FB Fitch , CG Hempel ) , a la ley y la moral ( K. Menger, U. Klug, P. Oppenheim), a la economía ( J. Neumann , O. Morgenstern ), a las cuestiones prácticas ( EC Berkeley , E. Stamm), e incluso a la metafísica (J. [Jan] Salamucha, H. Scholz, JM Bochenski ). Sus aplicaciones a la historia de la lógica han demostrado ser extremadamente fructíferas ( J. Lukasiewicz , H. Scholz, B. Mates , A. Becker, E. Moody , J. Salamucha, K. Duerr, Z. Jordan, P. Boehner , JM Bochenski , S. [Stanislaw] T. Schayer, D. Ingalls ). " ^[12] " También se han hecho aplicaciones a la teología (F. Drewnowski, J. Salamucha, I. Thomas). " ^[13]

Conexiones con la informática

Artículo principal: Lógica en informática

El estudio de la teoría de la computabilidad en informática está estrechamente relacionado con el estudio de la computabilidad en lógica matemática. Sin embargo, hay una diferencia de énfasis. Los informáticos a menudo se centran en lenguajes de programación concretos y en la computabilidad factible , mientras que los investigadores en lógica matemática a menudo se centran en la computabilidad como concepto teórico y en la no computabilidad.

La teoría de la semántica de los lenguajes de programación está relacionada con la teoría de modelos , al igual que la verificación de programas (en particular, la verificación de modelos ). El isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se relaciona con la teoría de la prueba , especialmente con la lógica intuicionista . Los cálculos formales, como el cálculo lambda y la lógica combinatoria, se estudian ahora como lenguajes de programación idealizados .

La informática también contribuye a las matemáticas mediante el desarrollo de técnicas para la verificación automática o incluso la búsqueda de demostraciones, como la demostración automatizada de teoremas y la programación lógica .

La teoría de la complejidad descriptiva relaciona la lógica con la complejidad computacional . El primer resultado significativo en esta área, el teorema de Fagin (1974) estableció que NP es precisamente el conjunto de lenguajes que se pueden expresar mediante oraciones de lógica existencial de segundo orden .

Fundamentos de las matemáticas

Artículo principal: Fundamentos de las matemáticas

En el siglo XIX, los matemáticos se dieron cuenta de las lagunas lógicas y las inconsistencias en su campo. Se demostró que los axiomas de Euclides para la geometría, que se habían enseñado durante siglos como un ejemplo del método axiomático, estaban incompletos. El uso de infinitesimales , y la propia definición de función , se cuestionaron en el análisis, cuando se descubrieron ejemplos patológicos como la función continua no diferenciable en ninguna parte de Weierstrass .

El estudio de Cantor de los conjuntos infinitos arbitrarios también generó críticas. Leopold Kronecker declaró la famosa frase "Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre", respaldando un regreso al estudio de los objetos finitos y concretos en matemáticas. Aunque el argumento de Kronecker fue llevado adelante por los constructivistas en el siglo XX, la comunidad matemática en su conjunto los rechazó. David Hilbert argumentó a favor del estudio del infinito, diciendo "Nadie nos expulsará del Paraíso que Cantor ha creado".

Los matemáticos comenzaron a buscar sistemas de axiomas que pudieran usarse para formalizar gran parte de las matemáticas. Además de eliminar la ambigüedad de términos previamente ingenuos como función, se esperaba que esta axiomatización permitiera pruebas de coherencia. En el siglo XIX, el método principal para probar la consistencia de un conjunto de axiomas era proporcionar un modelo. Así, por ejemplo, se puede demostrar que la geometría no euclidiana es consistente definiendo punto como un punto en una esfera fija y línea como un gran círculo en la esfera. La estructura resultante, un modelo de geometría elíptica , satisface los axiomas de la geometría plana excepto el postulado paralelo.

Con el desarrollo de la lógica formal, Hilbert preguntó si sería posible probar que un sistema de axiomas es consistente analizando la estructura de posibles pruebas en el sistema y mostrando a través de este análisis que es imposible probar una contradicción. Esta idea llevó al estudio de la teoría de la prueba . Además, Hilbert propuso que el análisis debería ser totalmente concreto, utilizando el término finitario para referirse a los métodos que él permitiría pero sin definirlos con precisión. Este proyecto, conocido como programa de Hilbert, se vio seriamente afectado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que muestran que la consistencia de las teorías formales de la aritmética no puede establecerse utilizando métodos formalizables en esas teorías. Gentzen demostró que es posible producir una prueba de la consistencia de la aritmética en un sistema finitario aumentado con axiomas de inducción transfinita , y las técnicas que desarrolló para hacerlo fueron fundamentales en la teoría de la prueba.

Un segundo hilo en la historia de los fundamentos de las matemáticas involucra la lógica no clásica y las matemáticas constructivas . El estudio de las matemáticas constructivas incluye muchos programas diferentes con varias definiciones de constructiva . En el extremo más complaciente, las demostraciones en la teoría de conjuntos ZF que no usan el axioma de elección son llamadas constructivas por muchos matemáticos. Las versiones más limitadas del constructivismo se limitan a números naturales , funciones teóricas de números y conjuntos de números naturales (que pueden usarse para representar números reales, lo que facilita el estudio del análisis matemático). Una idea común es que se debe conocer un medio concreto para calcular los valores de la función antes de que se pueda decir que existe la función en sí.

A principios del siglo XX, Luitzen Egbertus Jan Brouwer fundó el intuicionismo como parte de la filosofía de las matemáticas . Esta filosofía, poco entendida al principio, afirmaba que para que un enunciado matemático sea verdadero para un matemático, esa persona debe ser capaz de intuir el enunciado, no solo creer en su verdad sino comprender la razón de su verdad. Una consecuencia de esta definición de verdad fue el rechazo de la ley del medio excluido., pues hay afirmaciones que, según Brouwer, no pueden afirmarse como verdaderas, mientras que sus negaciones tampoco pueden afirmarse como verdaderas. La filosofía de Brouwer fue influyente y causó amargas disputas entre matemáticos prominentes. Más tarde, Kleene y Kreisel estudiarían versiones formalizadas de la lógica intuicionista (Brouwer rechazó la formalización y presentó su trabajo en lenguaje natural no formalizado). Con el advenimiento de la interpretación de BHK y los modelos de Kripke , el intuicionismo se volvió más fácil de reconciliar con las matemáticas clásicas .

Ver también

• Argumento
• Lógica informal
• Representación y razonamiento del conocimiento
• Lógica
• Lista de temas de computabilidad y complejidad
• Lista de teorías de primer orden
• Lista de símbolos lógicos
• Lista de temas de lógica matemática
• Lista de temas de teoría de conjuntos
• Mereología

Notas

1. Los textos de pregrado incluyen Boolos, Burgess y Jeffrey (2002) , Enderton (2001) y Mendelson (1997) . Un texto de posgrado clásico de Shoenfield (2001) apareció por primera vez en 1967.
2. Ver ( Barwise 1989 )
3. Jozef Maria Bochenski , A Precis of Mathematical Logic (1959), rev. y trad., Albert Menne, ed. y trad., Otto Bird, Dordrecht, Holanda Meridional: Reidel, Sec. 0,1, pág. 1.
4. Richard Swineshead (1498), Calculationes Suiseth Anglici , Papie: Per Franciscum Gyrardengum.
5. Boehner p. xiv
6. Véase también Cohen 2008 .
7. En el prólogo de la primera edición de 1934 de " Grundlagen der Mathematik " ( Hilbert & Bernays 1934 ), Bernays escribió lo siguiente, que recuerda la famosa nota de Frege cuando se le informó de la paradoja de Russell.

   "Die Ausführung dieses Vorhabens hat eine wesentliche Verzögerung dadurch erfahren, daß in einem Stadium, in dem die Darstellung schon ihrem Abschuß nahe war, durch das Erscheinen der Arbeiten von Herbrand und von Gödel eine veränderte Situation di beuerie der Bestand Einsichten zur Aufgabe machte. Dabei ist der Umfang des Buches angewachsen, entonces daß eine Teilung in zwei Bände angezeigt erschien ".

   Traducción:

   "La realización de este plan [de Hilbert para una exposición sobre la teoría de la prueba para la lógica matemática] ha experimentado un retraso esencial porque, en la etapa en la que la exposición ya estaba cerca de su conclusión, se produjo una situación alterada en el área de la teoría de la prueba debido a la aparición de obras de Herbrand y Gödel, que requirieron la consideración de nuevas percepciones. Por lo tanto, el alcance de este libro ha crecido, por lo que parece aconsejable una división en dos volúmenes ".

   Así que ciertamente Hilbert era consciente de la importancia del trabajo de Gödel en 1934. El segundo volumen en 1939 incluía una forma de prueba de consistencia de Gentzen para la aritmética.
8. Carroll, Lewis (1896). "Lógica simbólica" . Reimpresiones del legado de Kessinger. ISBN 978-1163444955.
9. Soare ( 1996 )ofrece un estudio detallado de esta terminología.
10. Ferreirós ( 2001 ) analiza el surgimiento de la lógica de primer orden sobre otras lógicas formales a principios del siglo XX.
11. Soare, Robert Irving (22 de diciembre de 2011). "Teoría y aplicaciones de la computabilidad: el arte de la computabilidad clásica" (PDF) . Departamento de Matemáticas . Universidad de Chicago . Consultado el 23 de agosto de 2017 .
12. Jozef Maria Bochenski, Una precisión de lógica matemática , rev. y trad., Albert Menne, ed. y trad., Otto Bird, Dordrecht, Holanda Meridional: Reidel, Sec. 0,3, pág. 2.
13. Jozef Maria Bochenski, Una precisión de lógica matemática , rev. y trad., Albert Menne, ed. y trad., Otto Bird, Dordrecht , Holanda Meridional: Reidel, Sec. 0,3, pág. 2.

Referencias

Textos de pregrado

• Walicki, Michał (2011), Introducción a la lógica matemática , Singapur: World Scientific Publishing , ISBN 978-981-4343-87-9.

• Boolos, George ; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002), Computability and Logic (4a ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00758-0.
• Crossley, JN; Ash, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, NH (1972), ¿Qué es la lógica matemática? , Londres-Oxford-Nueva York: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-888087-5, Zbl  0251.02001.
• Enderton, Herbert (2001), Una introducción matemática a la lógica (2a ed.), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-238452-3.
• Fisher, Alec (1982), Teoría formal de números y computabilidad: un libro de trabajo (1a ed.), EE. UU.: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853188-3. Adecuado como primer curso de estudio independiente.
• Hamilton, AG (1988), Lógica para matemáticos (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0.
• Ebbinghaus, H.-D .; Flum, J .; Thomas, W. (1994), Lógica matemática (2a ed.), Nueva York : Springer , ISBN 978-0-387-94258-2.
• Katz, Robert (1964), Análisis axiomático , Boston, MA: DC Heath and Company.
• Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4a ed.), Londres: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2.
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3.a ed.), Nueva York : Springer Science + Business Media , doi : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Schwichtenberg, Helmut (2003-2004), Lógica matemática (PDF) , Múnich, Alemania: Mathematisches Institut der Universität München , consultado el 24 de febrero de 2016.
• Shawn Hedman, Un primer curso de lógica: una introducción a la teoría de modelos, teoría de la prueba, computabilidad y complejidad , Oxford University Press , 2004, ISBN 0-19-852981-3 . Cubre la lógica en estrecha relación con la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad. 
• van Dalen, Dirk (2013), Lógica y estructura , Universitext, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4471-4558-5 , ISBN 978-1-4471-4557-8.

Textos de posgrado

• Andrews, Peter B. (2002), Introducción a la lógica matemática y la teoría de tipos: a la verdad a través de la prueba (2a ed.), Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0763-7.
• Barwise, Jon , ed. (1989). Manual de lógica matemática . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. Holanda Septentrional . ISBN 978-0-444-86388-1..
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6.
• Jech, Thomas (2003), Set Theory: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7.
• Kleene, Stephen Cole . (1952), Introducción a las metamatemáticas. Nueva York: Van Nostrand. (Ishi Press: reimpresión de 2009).
• Kleene, Stephen Cole . (1967), Lógica matemática. John Wiley. Reimpresión de Dover, 2002. ISBN 0-486-42533-9 . 
• Shoenfield, Joseph R. (2001) [1967], Lógica matemática (2ª ed.), AK Peters , ISBN 978-1-56881-135-2.
• Troelstra, Anne Sjerp ; Schwichtenberg, Helmut (2000), Teoría de la prueba básica , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-77911-1.

Artículos de investigación, monografías, textos y encuestas

• Augusto, Luis M. (2017). Consecuencias lógicas. Teoría y aplicaciones: una introducción . Londres: Publicaciones universitarias. ISBN 978-1-84890-236-7.
• Boehner, Philotheus , Lógica medieval , Manchester 1950.
• Cohen, PJ (1966), Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo , Menlo Park, CA: WA Benjamin.
• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoría de conjuntos e hipótesis del continuo . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46921-8..
• JD Sneed, La estructura lógica de la física matemática . Reidel, Dordrecht, 1971 (edición revisada 1979).
• Davis, Martin (1973), "El décimo problema de Hilbert no tiene solución", The American Mathematical Monthly , 80 (3): 233-269, doi : 10.2307 / 2318447 , JSTOR  2318447, reimpreso como apéndice en Martin Davis, Computability and Unsolvability, Reimpresión de Dover 1982.
• Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", The American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307 / 2695743 , JSTOR  2695743.
• Ferreirós, José (2001), "The Road to Modern Logic-An Interpretation" (PDF) , Bulletin of Symbolic Logic , 7 (4): 441–484, doi : 10.2307 / 2687794 , hdl : 11441/38373 , JSTOR  2687794 , S2CID  43258676.
• Hamkins, Joel David; Löwe, Benedikt (2007), "La lógica modal del forzamiento", Transactions of the American Mathematical Society , 360 (4): 1793-1818, arXiv : math / 0509616 , doi : 10.1090 / s0002-9947-07-04297-3 , S2CID  14724471
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics , Addison – Wesley, ISBN 978-0-321-01618-8.
• Morley, Michael (1965), "Categoricity in Power", Transactions of the American Mathematical Society , 114 (2): 514–538, doi : 10.2307 / 1994188 , JSTOR  1994188.
• Soare, Robert I. (1996), "Computabilidad y recursividad", Bulletin of Symbolic Logic , 2 (3): 284–321, CiteSeerX  10.1.1.35.5803 , doi : 10.2307 / 420992 , JSTOR  420992.
• Solovay, Robert M. (1976), "Interpretaciones de demostrabilidad de la lógica modal", Israel Journal of Mathematics , 25 (3-4): 287-304, doi : 10.1007 / BF02757006 , S2CID  121226261.
• Woodin, W. Hugh (2001), "The Continuum Hypothesis, Part I", Notices of the American Mathematical Society , 48 (6). PDF

Artículos, textos y colecciones clásicos

• Burali-Forti, Cesare (1897), Una pregunta sobre números transfinitos, reimpreso en van Heijenoort 1976, págs. 104-111.
• Dedekind, Richard (1872), Stetigkeit und irrationale Zahlen. Traducción al inglés del título: "Consistencia y números irracionales".
• Dedekind, Richard (1888), Was sind und was sollen die Zahlen? Dos traducciones al inglés:
  • 1963 (1901). Ensayos sobre la teoría de los números . Beman, WW, ed. y trans. Dover.
  • 1996. En From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , 2 vols, Ewald, William B., ed., Oxford University Press : 787–832.
• Fraenkel, Abraham A. (1922), "Der Begriff 'definit' und die Unabhängigkeit des Auswahlsaxioms", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathische Klasse , págs. 253-257 (Alemán), reimpreso en traducción al inglés como "La noción de 'definido' y la independencia del axioma de elección", van Heijenoort 1976, págs. 284-289.

• Frege, Gottlob (1879), Begriffsschrift , eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle a. S .: Louis Nebert. Traducción: Concept Script, un lenguaje formal de pensamiento puro inspirado en el de la aritmética , por S. Bauer-Mengelberg en Jean Van Heijenoort , ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Prensa de la Universidad de Harvard.
• Frege, Gottlob (1884), Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathische Untersuchung über den Begriff der Zahl . Breslau: W. Koebner. Traducción: JL Austin , 1974. Los fundamentos de la aritmética: una investigación lógico-matemática sobre el concepto de número , 2ª ed. Blackwell.
• Gentzen, Gerhard (1936), "Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie", Mathematische Annalen , 112 : 132-213, doi : 10.1007 / BF01565428 , S2CID  122719892, reimpreso en traducción inglesa en Obras completas de Gentzen , ME Szabo, ed., Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1969.
• Gödel, Kurt (1929), Über die Vollständigkeit des Logikkalküls , tesis doctoral, Universidad de Viena. Traducción al inglés del título: "Integridad del cálculo lógico".
• Gödel, Kurt (1930), "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-kalküls", Monatshefte für Mathematik und Physik , 37 : 349–360, doi : 10.1007 / BF01696781 , S2CID  123343522. Traducción al inglés del título: "La integridad de los axiomas del cálculo de funciones lógicas".
• Gödel, Kurt (1931), "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und Physik , 38 (1): 173-198, doi : 10.1007 / BF01700692 , S2CID  197663120, consulte Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados para obtener detalles sobre las traducciones al inglés.
• Gödel, Kurt (1958), "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes", Dialectica. Revista Internacional de Filosofía , 12 (3–4): 280–287, doi : 10.1111 / j.1746-8361.1958.tb01464.x, reimpreso en traducción al inglés en Gödel's Collected Works , vol II, Solomon Feferman et al., eds. Oxford University Press, 1990. ^{[ especificar ]}
• van Heijenoort, Jean , ed. (1976) [1967], From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (3ª ed.), Cambridge, Mass: Harvard University Press, ISBN 978-0-674-32449-7, (pbk.)
• Hilbert, David (1899), Grundlagen der Geometrie , Leipzig: Teubner, Edición inglesa de 1902 ( The Foundations of Geometry ) republicada en 1980, Open Court, Chicago.
• Hilbert, David (1929), "Probleme der Grundlegung der Mathematik" , Mathematische Annalen , 102 : 1–9, doi : 10.1007 / BF01782335 , S2CID  122870563. Conferencia dada en el Congreso Internacional de Matemáticos, 3 de septiembre de 1928. Publicado en traducción al inglés como "The Grounding of Elementary Number Theory", en Mancosu 1998, págs. 266-273.
• Hilbert, David ; Bernays, Paul (1934). Grundlagen der Mathematik. Yo . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 40 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-04134-4. JFM  60.0017.02 . Señor  0237246 .
• Kleene, Stephen Cole (1943), "Predicados y cuantificadores recursivos", Transacciones de la American Mathematical Society , 54 (1): 41–73, doi : 10.2307 / 1990131 , JSTOR  1990131.
• Lobachevsky, Nikolai (1840), Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien(Alemán). Reproducido en traducción al inglés como "Investigaciones geométricas sobre la teoría de las líneas paralelas" en geometría no euclidiana , Robert Bonola (ed.), Dover, 1955. ISBN 0-486-60027-0 
• Löwenheim, Leopold (1915), "Über Möglichkeiten im Relativkalkül" , Mathematische Annalen , 76 (4): 447–470, doi : 10.1007 / BF01458217 , ISSN  0025-5831 , S2CID  116581304(Alemán). Traducido como "Sobre las posibilidades en el cálculo de parientes" en Jean van Heijenoort , 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Universidad de Harvard. Presione: 228–251.
• Mancosu, Paolo , ed. (1998), De Brouwer a Hilbert. El debate sobre los fundamentos de las matemáticas en la década de 1920 , Oxford: Oxford University Press.
• Pasch, Moritz (1882), Vorlesungen über neuere Geometrie.
• Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices principia, nova methodo exposita (Latín), extracto reimpreso en traducción inglesa como "Los principios de la aritmética, presentados por un nuevo método", van Heijenoort 1976, págs. 83 97.
• Richard, Jules (1905), "Les principes des mathématiques et le problème des ensembles", Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées , 16 : 541 (Francés), reimpreso en traducción al inglés como "Los principios de las matemáticas y los problemas de los conjuntos", van Heijenoort 1976, págs. 142-144.
• Skolem, Thoralf (1920), "Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem théorème über dichte Mengen", Videnskapsselskapet Skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig Klasse , 6 : 1-36.
• Tarski, Alfred (1948), Un método de decisión para álgebra y geometría elementales , Santa Mónica, California: RAND Corporation
• Turing, Alan M. (1939), "Systems of Logic Based on Ordinals", Proceedings of the London Mathematical Society , 45 (2): 161-228, doi : 10.1112 / plms / s2-45.1.161 , hdl : 21.11116 / 0000-0001-91CE-3
• Zermelo, Ernst (1904), "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann" , Mathematische Annalen , 59 (4): 514–516, doi : 10.1007 / BF01445300 , S2CID  124189935 (Alemán), reimpreso en traducción al inglés como "Prueba de que cada conjunto puede estar bien ordenado", van Heijenoort 1976, págs. 139-141.
• Zermelo, Ernst (1908a), "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung" , Mathematische Annalen , 65 : 107–128, doi : 10.1007 / BF01450054 , ISSN  0025-5831 , S2CID  119924143 (Alemán), reimpreso en traducción al inglés como "Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento", van Heijenoort 1976, págs. 183–198.
• Zermelo, Ernst (1908b), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007 / BF01449999 , S2CID  120085563.

Enlaces externos

• "Lógica matemática" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lógica polivalente y lógica de relación de cantidades
• forall x: una introducción a la lógica formal , un libro de texto gratuito de PD Magnus .
• Un curso de problemas en lógica matemática , un libro de texto gratuito de Stefan Bilaniuk.
• Detlovs, Vilnis y Podnieks, Karlis (Universidad de Letonia), Introducción a la lógica matemática. (hiper-libro de texto).
• En la Enciclopedia de Filosofía de Stanford :

  Lógica clásica de Stewart Shapiro .

  Teoría de modelos de primer orden de Wilfrid Hodges .

• En la Guía de estudio de filosofía de Londres :

  Lógica matemática

  Establecer teoría y lógica adicional

  Filosofía de las matemáticas