En la teoría especial de la relatividad , la fuerza de cuatro es un vector de cuatro que reemplaza a la fuerza clásica .
En relatividad especial
La fuerza de cuatro se define como la tasa de cambio en el momento de cuatro de una partícula con respecto al tiempo propio de la partícula :
- .
Para una partícula de masa invariante constante , dónde es la velocidad de cuatro , por lo que podemos relacionar la fuerza de cuatro con la aceleración de cuatro como en la segunda ley de Newton :
- .
Aquí
y
dónde , y son vectores de 3 espacios que describen la velocidad, el momento de la partícula y la fuerza que actúa sobre ella, respectivamente.
Incluyendo interacciones termodinámicas
De las fórmulas de la sección anterior, parece que el componente de tiempo de las cuatro fuerzas es la potencia gastada, , aparte de las correcciones relativistas . Esto solo es cierto en situaciones puramente mecánicas, cuando los intercambios de calor desaparecen o pueden descuidarse.
En el caso termomecánico completo, no solo el trabajo , sino también el calor contribuye al cambio de energía, que es el componente de tiempo de la cubierta de energía-momento . El componente de tiempo de las cuatro fuerzas incluye en este caso una tasa de calentamiento, además del poder . [1] Sin embargo, tenga en cuenta que el trabajo y el calor no pueden separarse de manera significativa, ya que ambos conllevan inercia. [2] Este hecho se extiende también a las fuerzas de contacto, es decir, al tensor tensión-energía-momento . [3] [2]
Por lo tanto, en situaciones termomecánicas, el componente de tiempo de las cuatro fuerzas no es proporcional a la potenciapero tiene una expresión más genérica, dada caso por caso, que representa el suministro de energía interna de la combinación de trabajo y calor, [2] [1] [4] [3] y que en el límite newtoniano se convierte en.
En relatividad general
En la relatividad general, la relación entre cuatro fuerzas y cuatro aceleraciones sigue siendo la misma, pero los elementos de la cuatro fuerzas están relacionados con los elementos del cuatro momento a través de una derivada covariante con respecto al tiempo propio.
Además, podemos formular la fuerza utilizando el concepto de transformaciones de coordenadas entre diferentes sistemas de coordenadas. Suponga que conocemos la expresión correcta para la fuerza en un sistema de coordenadas en el que la partícula está momentáneamente en reposo. Entonces podemos realizar una transformación a otro sistema para obtener la correspondiente expresión de fuerza. [5] En relatividad especial, la transformación será una transformación de Lorentz entre sistemas de coordenadas que se mueven con una velocidad relativa constante, mientras que en la relatividad general será una transformación de coordenadas general.
Considere las cuatro fuerzas actuando sobre una partícula de masa que está momentáneamente en reposo en un sistema de coordenadas. La fuerza relativista en otro sistema de coordenadas moviéndose con velocidad constante , en relación con el otro, se obtiene mediante una transformación de Lorentz:
dónde .
En la relatividad general , la expresión de fuerza se convierte en
con derivada covariante . La ecuación de movimiento se convierte en
dónde es el símbolo de Christoffel . Si no hay una fuerza externa, esta se convierte en la ecuación de las geodésicas en el espacio-tiempo curvo . El segundo término de la ecuación anterior juega el papel de una fuerza gravitacional. Si es la expresión correcta para la fuerza en un marco en caída libre , podemos usar entonces el principio de equivalencia para escribir las cuatro fuerzas en una coordenada arbitraria:
Ejemplos de
En relatividad especial, las cuatro fuerzas de Lorentz (cuatro fuerzas que actúan sobre una partícula cargada situada en un campo electromagnético) se pueden expresar como:
- ,
dónde
- es el tensor electromagnético ,
- es la velocidad de cuatro , y
- es la carga eléctrica .
Ver también
Referencias
- ^ a b Grot, Richard A .; Eringen, A. Cemal (1966). "Mecánica del continuo relativista: Parte I - Mecánica y termodinámica". En t. J. Engng Sci . 4 (6): 611–638, 664. doi : 10.1016 / 0020-7225 (66) 90008-5 .
- ^ a b c Eckart, Carl (1940). "La termodinámica de procesos irreversibles. III. Teoría relativista del fluido simple". Phys. Rev . 58 (10): 919–924. Código Bibliográfico : 1940PhRv ... 58..919E . doi : 10.1103 / PhysRev.58.919 .
- ↑ a b C. A. Truesdell, RA Toupin: The Classical Field Theories (en S. Flügge (ed.): Encyclopedia of Physics, Vol. III-1 , Springer 1960). §§152–154 y 288–289.
- ^ Maugin, Gérard A. (1978). "Sobre las ecuaciones covariantes de la electrodinámica relativista de continuos. I. Ecuaciones generales". J. Math. Phys . 19 (5): 1198–1205. Código bibliográfico : 1978JMP .... 19.1198M . doi : 10.1063 / 1.523785 .
- ^ Steven, Weinberg (1972). Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-92567-5.
- Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853953-3.