series de Fourier

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una expansión de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas . La serie de Fourier es un ejemplo de serie trigonométrica , pero no todas las series trigonométricas son series de Fourier. ^[2] Al expresar una función como una suma de senos y cosenos, muchos problemas relacionados con la función se vuelven más fáciles de analizar porque las funciones trigonométricas se entienden bien. Por ejemplo, las series de Fourier fueron utilizadas por primera vez por Joseph Fourier para encontrar soluciones a laecuación de calor Esta aplicación es posible porque las derivadas de funciones trigonométricas caen en patrones simples. Las series de Fourier no se pueden usar para aproximar funciones arbitrarias, porque la mayoría de las funciones tienen una cantidad infinita de términos en su serie de Fourier y las series no siempre convergen . Las funciones de buen comportamiento, por ejemplo, las funciones suaves , tienen series de Fourier que convergen a la función original. Los coeficientes de la serie de Fourier están determinados por integrales de la función multiplicada por funciones trigonométricas, descritas en Formas comunes de la serie de Fourier a continuación.

El estudio de la convergencia de las series de Fourier se centra en el comportamiento de las sumas parciales , lo que significa estudiar el comportamiento de la suma a medida que se van sumando más y más términos de la serie. Las siguientes figuras ilustran algunos resultados de series de Fourier parciales para los componentes de una onda cuadrada .

Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima por su sexta suma parcial (representada como el punto morado), formada al sumar los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se agregan más armónicos, las sumas parciales convergen (se vuelven más y más parecidas) a la onda cuadrada.

La función (en rojo) es una suma en serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales armónicamente relacionadas (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas.${\ estilo de visualización s_ {6} (x)}$${\ estilo de visualización S (f)}$

Las series de Fourier están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , que se puede utilizar para encontrar la información de frecuencia para funciones que no son periódicas. Las funciones periódicas se pueden identificar con funciones en un círculo, por esta razón, las series de Fourier son el tema del análisis de Fourier en un círculo, generalmente denotado como o . La transformada de Fourier también es parte del análisis de Fourier , pero se define para funciones en${\ estilo de visualización \ mathbb {T}}$${\ estilo de visualización S_ {1}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

Fig. 1. El gráfico superior muestra una función no periódica s ( x ) en azul definida solo sobre el intervalo rojo de 0 a P . Se puede considerar que la serie de Fourier analiza la extensión periódica (gráfico inferior) de la función original. La serie de Fourier es siempre una función periódica, incluso si la función original s ( x ) no lo fuera.

Gráfico de la onda de diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo${\ estilo de visualización s (x) = x/\ pi}$${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$

Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier

Fig. 2. La curva azul es la correlación cruzada de una onda cuadrada y una función coseno, ya que el desfase del coseno varía en un ciclo. La amplitud y el desfase en el valor máximo son las coordenadas polares de un armónico en la expansión de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Las coordenadas rectangulares correspondientes se pueden determinar evaluando la correlación cruzada en solo dos retrasos de fase separados por 90º.

Distribución de calor en una placa de metal, utilizando el método de Fourier

Serie compleja de Fourier trazando la letra 'e'. (El código fuente de Julia que genera los fotogramas de esta animación está aquí ^[18] en el Apéndice B).

Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que se pueden utilizar para producir series de Fourier en la esfera .

Los senos y los cosenos forman un conjunto ortogonal, como se ilustra arriba. La integral de seno, coseno y su producto es cero (las áreas verde y roja son iguales y se anulan) cuando , o las funciones son diferentes, y π solo si y son iguales, y la función utilizada es la misma. Formarían un conjunto ortonormal, si la integral fuera igual a 1 (es decir, cada función tendría que ser escalada por ).${\ estilo de visualización m}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización m}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {\ pi}}}$