En matemáticas , la cuestión de si la serie de Fourier de una función periódica converge a la función dada es investigada por un campo conocido como análisis armónico clásico , una rama de las matemáticas puras . La convergencia no se da necesariamente en el caso general, y se deben cumplir ciertos criterios para que ocurra la convergencia.
La determinación de la convergencia requiere la comprensión de la convergencia puntual , la convergencia uniforme , la convergencia absoluta , los espacios L p , los métodos de sumabilidad y la media de Cesàro .
Preliminares
Considere ƒ una función integrable en el intervalo [0,2 π ]. Para tal ƒ los coeficientes de Fourier están definidos por la fórmula
Es común describir la conexión entre ƒ y su serie de Fourier por
La notación ~ aquí significa que la suma representa la función en algún sentido. Para investigar esto más detenidamente, se deben definir las sumas parciales:
La pregunta aquí es: ¿las funciones (que son funciones de la variable t omitimos en la notación) convergen para ƒ y en qué sentido? ¿Existen condiciones para ƒ asegurar este o aquel tipo de convergencia? Este es el principal problema discutido en este artículo.
Antes de continuar, se debe introducir el kernel de Dirichlet . Tomando la fórmula para, insertándolo en la fórmula para y hacer algo de álgebra da eso
donde ∗ representa la convolución periódica y es el kernel de Dirichlet, que tiene una fórmula explícita,
El kernel de Dirichlet no es un kernel positivo y, de hecho, su norma diverge, a saber
un hecho que juega un papel crucial en la discusión. La norma de D n en L 1 ( T ) coincide con la norma del operador de convolución con D n , actuando sobre el espacio C ( T ) de funciones continuas periódicas, o con la norma del funcional lineal ƒ → ( S n ƒ ) (0) en C ( T ). Por lo tanto, esta familia de funcionales lineales en C ( T ) es ilimitada, cuando n → ∞.
Magnitud de los coeficientes de Fourier
En las aplicaciones, a menudo es útil conocer el tamaño del coeficiente de Fourier.
Si es una función absolutamente continua ,
por una constante que solo depende de .
Si es una función de variación acotada ,
Si
Si y tiene módulo de continuidad [ cita requerida ],
y por lo tanto, si está en la clase α- Hölder
Convergencia puntual
Hay muchas condiciones suficientes conocidas para que la serie de Fourier de una función converja en un punto x dado , por ejemplo, si la función es derivable en x . Incluso una discontinuidad de salto no plantea un problema: si la función tiene derivadas izquierda y derecha en x , entonces la serie de Fourier converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (pero vea el fenómeno de Gibbs ).
El Criterio de Dirichlet-Dini establece que: si ƒ es 2 π –periódico, localmente integrable y satisface
entonces (S n ƒ ) ( x 0 ) converge a ℓ. Esto implica que para cualquier función ƒ de cualquier clase de Hölder α > 0, la serie de Fourier converge en todas partes a ƒ ( x ).
También se sabe que para cualquier función periódica de variación acotada , la serie de Fourier converge en todas partes. Ver también prueba de Dini . En general, los criterios más comunes para la convergencia puntual de una función periódica f son los siguientes:
- Si f satisface una condición de Holder, entonces su serie de Fourier converge uniformemente.
- Si f es de variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes.
- Si f es continua y sus coeficientes de Fourier son absolutamente sumables, entonces la serie de Fourier converge uniformemente.
Existen funciones continuas cuya serie de Fourier converge puntualmente pero no uniformemente; véase Antoni Zygmund, Trigonometric Series , vol. 1, Capítulo 8, Teorema 1.13, pág. 300.
Sin embargo, la serie de Fourier de una función continua no necesita converger puntualmente. Quizás la demostración más sencilla utiliza la no acotación del núcleo de Dirichlet en L 1 ( T ) y el principio de acotación uniforme de Banach-Steinhaus . Como es típico de los argumentos de existencia que invocan el teorema de la categoría de Baire , esta demostración no es constructiva. Muestra que la familia de funciones continuas cuya serie de Fourier converge en una x dada es de primera categoría de Baire , en el espacio de Banach de funciones continuas en el círculo.
Entonces, en cierto sentido, la convergencia puntual es atípica y, para la mayoría de las funciones continuas, la serie de Fourier no converge en un punto dado. Sin embargo, el teorema de Carleson muestra que para una función continua dada, la serie de Fourier converge en casi todas partes.
También es posible dar ejemplos explícitos de una función continua cuya serie de Fourier diverge en 0: por ejemplo, la función par y periódica 2π f definida para todo x en [0, π] por [1]
Convergencia uniforme
Suponer , y tiene módulo de continuidad , entonces la suma parcial de la serie de Fourier converge a la función con rapidez [2]
por una constante eso no depende de , ni , ni .
Este teorema, probado por primera vez por D Jackson, dice, por ejemplo, que si satisface el - Condición de Hölder , entonces
Si es periódico y absolutamente continuo en , luego la serie de Fourier de converge de manera uniforme, pero no necesariamente absoluta, para . [3]
Convergencia absoluta
Una función f tiene una serie de Fourier absolutamente convergente si
Obviamente, si esta condición se cumple entonces converge absolutamente para cada t y, por otro lado, es suficiente queconverge absolutamente incluso para una t , entonces esta condición se cumple. En otras palabras, para la convergencia absoluta no hay problema de dónde converge absolutamente la suma: si converge absolutamente en un punto, lo hará en todas partes.
La familia de todas las funciones con series de Fourier absolutamente convergentes es un álgebra de Banach (la operación de multiplicación en el álgebra es una simple multiplicación de funciones). Se llama álgebra de Wiener , en honor a Norbert Wiener , quien demostró que si f tiene series de Fourier absolutamente convergentes y nunca es cero, entonces 1 / ƒ tiene series de Fourier absolutamente convergentes. La demostración original del teorema de Wiener fue difícil; Israel Gelfand dio una simplificación utilizando la teoría de las álgebras de Banach . Finalmente, Donald J. Newman dio una breve prueba elemental en 1975.
Si pertenece a una clase α-Hölder para α> 1/2 entonces
por la constante en la condición de Hölder , una constante que solo depende de ; es la norma del álgebra de Kerin. Observe que 1/2 aquí es esencial: hay funciones 1/2-Hölder, que no pertenecen al álgebra de Wiener. Además, este teorema no puede mejorar el límite más conocido del tamaño del coeficiente de Fourier de una función α-Hölder, es decir, solo y luego no sumable.
Si f es de variación acotada y pertenece a una clase α-Hölder para algún α> 0, pertenece al álgebra de Wiener. [ cita requerida ]
Convergencia de normas
El caso más simple es el de L 2 , que es una transcripción directa de los resultados generales del espacio de Hilbert . De acuerdo con el teorema de Riesz-Fischer , si f es integrable al cuadrado, entonces
es decir , converge a ƒ en la norma de L 2 . Es fácil ver que lo contrario también es cierto: si el límite anterior es cero, f debe estar en L 2 . Así que esta es una condición si y solo si .
Si 2 en los exponentes anteriores se reemplaza con algo de p , la pregunta se vuelve mucho más difícil. Resulta que la convergencia aún se mantiene si 1 < p <∞. En otras palabras, para ƒ en L p , converge a ƒ en la norma L p . La prueba original usa propiedades de funciones holomórficas y espacios de Hardy , y otra prueba, debida a Salomon Bochner, se basa en el teorema de interpolación de Riesz-Thorin . Para p = 1 e infinito, el resultado no es cierto. La construcción de un ejemplo de divergencia en L 1 fue realizada por primera vez por Andrey Kolmogorov (ver más abajo). Para el infinito, el resultado es un corolario del principio de delimitación uniforme .
Si el operador de suma parcial S N se reemplaza por un núcleo de sumabilidad adecuado (por ejemplo, la suma de Fejér obtenida por convolución con el núcleo de Fejér ), se pueden aplicar técnicas analíticas funcionales básicas para demostrar que la convergencia de normas se cumple para 1 ≤ p <∞.
Convergencia en casi todas partes
El problema de si la serie de Fourier de cualquier función continua converge en casi todas partes fue planteado por Nikolai Lusin en la década de 1920. Fue resuelto positivamente en 1966 por Lennart Carleson . Su resultado, ahora conocido como teorema de Carleson , dice que la expansión de Fourier de cualquier función en L 2 converge en casi todas partes. Más tarde, Richard Hunt generalizó esto a L p para cualquier p > 1.
Por el contrario, Andrey Kolmogorov , como estudiante a la edad de 19 años, en su primer trabajo científico, construyó un ejemplo de una función en L 1 cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes (luego mejoró para divergir en todas partes).
Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson probaron que para cualquier conjunto dado E de medida cero, existe una función continua ƒ tal que la serie de Fourier de ƒ no converge en cualquier punto de E .
Sumabilidad
¿La secuencia 0,1,0,1,0,1, ... (las sumas parciales de la serie de Grandi ) converge a ½? Esto no parece una generalización muy irrazonable de la noción de convergencia. Por eso decimos que cualquier secuenciaCesàro es sumable a un si
No es difícil ver que si una secuencia converge a alguna a , también es Cesàro sumable a ella.
Para discutir la sumabilidad de las series de Fourier, debemos reemplazar con una noción apropiada. Por lo tanto definimos
y pregunte: hace converger af ?ya no está asociado con el kernel de Dirichlet, sino con el kernel de Fejér , a saber
dónde es el núcleo de Fejér,
La principal diferencia es que el kernel de Fejér es un kernel positivo. El teorema de Fejér establece que la secuencia anterior de sumas parciales converge uniformemente a f . Esto implica propiedades de convergencia mucho mejores.
- Si ƒ es continua en t, entonces la serie de Fourier de ƒ es sumable en t a ƒ ( t ). Si f es continua, su serie de Fourier es uniformemente sumable (es decir,converge uniformemente a ƒ ).
- Para cualquier integrable ƒ ,converge a ƒ en el norma.
- No existe el fenómeno de Gibbs.
Los resultados sobre la sumabilidad también pueden implicar resultados sobre la convergencia regular. Por ejemplo, sabemos que si ƒ es continua en t , entonces la serie de Fourier de ƒ pueden no convergen a un valor diferente de ƒ ( t ). Puede que sea converger a ƒ ( t ) o divergen. Esto es porque, siconverge a algún valor x , también es sumable a él, por lo que a partir de la primera propiedad de sumabilidad anterior, x = ƒ ( t ).
Orden de crecimiento
El orden de crecimiento del núcleo de Dirichlet es logarítmico, es decir
Consulte la notación Big O para la notación O (1). El valor reales difícil de calcular (ver Zygmund 8.3) y casi inútil. El hecho de que para alguna constante c tengamos
es bastante claro cuando se examina la gráfica del kernel de Dirichlet. La integral sobre el pico n es mayor que c / n y, por lo tanto, la estimación de la suma armónica da la estimación logarítmica.
Esta estimación implica versiones cuantitativas de algunos de los resultados anteriores. Para cualquier función continua f y cualquier t se tiene
Sin embargo, para cualquier orden de crecimiento ω ( n ) menor que log, esto ya no se cumple y es posible encontrar una función continua f tal que para algún t ,
El problema equivalente de la divergencia en todas partes está abierto. Sergei Konyagin logró construir una función integrable tal que para cada t uno tiene
No se sabe si este ejemplo es el mejor posible. El único límite conocido desde la otra dirección es log n .
Múltiples dimensiones
Al examinar el problema equivalente en más de una dimensión, es necesario especificar el orden exacto de suma que se utiliza. Por ejemplo, en dos dimensiones, se puede definir
que se conocen como "sumas parciales cuadradas". Reemplazando la suma anterior con
conducen a "sumas parciales circulares". La diferencia entre estas dos definiciones es bastante notable. Por ejemplo, la norma del kernel de Dirichlet correspondiente para sumas parciales cuadradas es del orden de mientras que para sumas parciales circulares es del orden de .
Muchos de los resultados verdaderos para una dimensión son incorrectos o desconocidos en múltiples dimensiones. En particular, el equivalente del teorema de Carleson todavía está abierto para sumas parciales circulares. Casi en todas partes, la convergencia de "sumas parciales cuadradas" (así como sumas parciales poligonales más generales) en múltiples dimensiones fue establecida alrededor de 1970 por Charles Fefferman .
Notas
- ^ Gourdon, Xavier (2009). Les maths en tête. Analizar (2ème édition) (en francés). Elipses. pag. 264. ISBN 978-2729837594.
- ↑ Jackson (1930), p21ff.
- ^ Stromberg (1981), Ejercicio 6 (d) en la p. 519 y el ejercicio 7 (c) de la pág. 520.
Referencias
Libros de texto
- Dunham Jackson La teoría de la aproximación , AMS Colloquium Publication Volume XI, Nueva York 1930.
- Nina K. Bary, Tratado sobre series trigonométricas , Vols. Yo, II. Traducción autorizada de Margaret F. Mullins. Un libro de prensa de Pergamon. The Macmillan Co., Nueva York 1964.
- Antoni Zygmund, Serie trigonométrica , Vol. Yo, II. Tercera edicion. Con prólogo de Robert A. Fefferman. Biblioteca de matemáticas de Cambridge. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-89053-5
- Yitzhak Katznelson, Introducción al análisis armónico , tercera edición. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2
- Karl R. Stromberg, Introducción al análisis clásico , Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0
- El libro de Katznelson es el que utiliza la terminología y el estilo más modernos de los tres. Las fechas de publicación originales son: Zygmund en 1935, Bari en 1961 y Katznelson en 1968. Sin embargo, el libro de Zygmund se amplió enormemente en su segunda publicación en 1959.
Artículos a los que se hace referencia en el texto
- Paul du Bois-Reymond , "Ueber die Fourierschen Reihen", Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen 21 (1873), 571–582.
- Ésta es la primera prueba de que la serie de Fourier de una función continua podría divergir. En alemán
- Andrey Kolmogorov , "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
- Andrey Kolmogorov, "Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout", CR Acad. Sci. París 183 (1926), 1327-1328
- La primera es una construcción de una función integrable cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes. El segundo es un fortalecimiento de la divergencia en todas partes. En francés.
- Lennart Carleson , "Sobre la convergencia y el crecimiento de sumas parciales de series de Fourier", Acta Math. 116 (1966) 135-157.
- Richard A. Hunt , "Sobre la convergencia de las series de Fourier", Expansiones ortogonales y sus análogos continuos (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235-255. Univ. Del sur de Illinois. Prensa, Carbondale, Ill.
- Charles Louis Fefferman , "Convergencia puntual de la serie de Fourier", Ann. de Matemáticas. 98 (1973), 551–571.
- Michael Lacey y Christoph Thiele , "Una prueba de delimitación del operador Carleson", Math. Res. Letón. 7: 4 (2000), 361–370.
- Ole G. Jørsboe y Leif Mejlbro, El teorema de Carleson-Hunt en las series de Fourier . Lecture Notes in Mathematics 911, Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1982. ISBN 3-540-11198-0
- Este es el artículo original de Carleson, donde demuestra que la expansión de Fourier de cualquier función continua converge en casi todas partes; el papel de Hunt donde lo generaliza a espacios; dos intentos de simplificar la prueba; y un libro que ofrece una exposición autónoma del mismo.
- Dunham Jackson , serie de Fourier y polinomios ortogonales , 1963
- DJ Newman, "Una prueba simple del teorema 1 / f de Wiener", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 48 (1975), 264-265.
- Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson , "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305-306
- En este artículo, los autores muestran que para cualquier conjunto de medida cero existe una función continua en el círculo cuya serie de Fourier diverge en ese conjunto. En francés.
- Sergei Vladimirovich Konyagin , "Sobre la divergencia de las series trigonométricas de Fourier en todas partes", CR Acad. Sci. París 329 (1999), 693–697.
- Jean-Pierre Kahane, Algunas series de funciones al azar , segunda edición. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1993. ISBN 0-521-45602-9
- El artículo de Konyagin prueba la resultado de divergencia discutido anteriormente. En el libro de Kahane se puede encontrar una prueba más simple que solo da log log n .