En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de centroides a espacios métricos , dando un único punto representativo o tendencia central para un grupo de puntos. Lleva el nombre de Maurice Fréchet . El significado de Karcher es el cambio de nombre del Centro de construcción de masas Riemannian desarrollado por Karsten Grove y Hermann Karcher. [1] [2] En los números reales, la media aritmética , la mediana , la media geométrica y la media armónica todos pueden interpretarse como medios de Fréchet para diferentes funciones de distancia.
Definición
Sea ( M , d ) un espacio métrico completo. Deje x 1 , x 2 , ..., x N sea puntos aleatorios en M . Para cualquier punto p en M , defina la varianza de Fréchet como la suma de las distancias al cuadrado desde p hasta x i :
Las medias de Karcher son entonces aquellos puntos, m de M , que minimizan localmente Ψ: [2]
Si hay una m de M que minimiza globalmente Ψ, entonces es la media de Fréchet .
A veces, a las x i se les asignan pesos w i . Luego, la varianza de Fréchet se calcula como una suma ponderada,
Ejemplos de Fréchet significa
Media y mediana aritmética
Para números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, utilizando la distancia euclidiana habitual como función de distancia.
La mediana también es una media de Fréchet, si la definición de la función Ψ se generaliza a la no cuadrática
dónde y la distancia euclidiana es la función de distancia d . [3] En espacios de dimensiones superiores, esto se convierte en la mediana geométrica .
Significado geometrico
En los números reales positivos, la función de distancia (hiperbólica) Puede ser definido. La media geométrica es la media de Fréchet correspondiente. En efecto es entonces una isometría del espacio euclidiano a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet del es la imagen de del significado de Fréchet (en el sentido euclidiano) del , es decir, debe ser:
- .
Significado armonico
Sobre los números reales positivos , la métrica (función de distancia):
Puede ser definido. La media armónica es la media de Fréchet correspondiente. [ cita requerida ]
Medios de poder
Dado un número real distinto de cero , la media de potencia se puede obtener como media de Fréchet introduciendo la métrica [ cita requerida ]
f-me refiero
Dada una función invertible y continua , la media f se puede definir como la media de Fréchet obtenida mediante el uso de la métrica: [ cita requerida ]
Esto a veces se denomina media f generalizada o media cuasi aritmética .
Medias ponderadas
La definición general de la media de Fréchet que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones se puede utilizar para derivar versiones ponderadas de todos los tipos de media anteriores.
Referencias
- ^ Grove, Karsten; Karcher, Hermann (1973), "Cómo conjugar C1-acciones de grupo cerrado, Math.Z. 132", Mathematische Zeitschrift , 132 (1): 11-20, doi : 10.1007 / BF01214029.
- ^ a b Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012), Geometría de información matricial , Springer, p. 171, ISBN 9783642302329.
- ^ Nielsen y Bhatia (2012) , p. 136 .