En matemáticas y estadísticas , el cuasi-media aritmética o generalizada f -mean es una generalización de los más familiares medios tales como la media aritmética y la media geométrica , utilizando una función. También se llama Kolmogorov significa en honor al matemático ruso Andrey Kolmogorov . Es una generalización más amplia que la media generalizada regular .
Definición
Si f es una función que mapea un intervalode la recta real a los números reales , y es tanto continua como inyectiva , la f -media de números Se define como , que también se puede escribir
Requerimos que f sea inyectiva para que la función inversa existir. Desde se define en un intervalo, se encuentra dentro del dominio de .
Dado que f es inyectiva y continua, se deduce que f es una función estrictamente monótona y, por lo tanto, la f -media no es mayor que el número más grande de la tupla ni más pequeño que el número más pequeño en .
Ejemplos de
- Si = ℝ, la línea real , y, (o de hecho cualquier función lineal , no igual a 0) entonces la media f corresponde a la media aritmética .
- Si = ℝ + , los números reales positivos y, entonces la f -media corresponde a la media geométrica . Según las propiedades f -medias, el resultado no depende de la base del logaritmo siempre que sea positivo y no 1.
- Si = ℝ + y, entonces la media f corresponde a la media armónica .
- Si = ℝ + y, entonces la media de f corresponde a la media de potencia con exponente.
- Si = ℝ y , entonces f -mean es la media en el logaritmo de semiring , que es una versión con desplazamiento constante de la función LogSumExp (LSE) (que es la suma logarítmica),. Lacorresponde a dividir por n , ya que la división logarítmica es una resta lineal. La función LogSumExp es un máximo suave : una aproximación suave a la función máxima.
Propiedades
Las siguientes propiedades son válidas para para cualquier función :
Simetría: el valor deno cambia si sus argumentos están permutados.
Idempotencia: para todo x ,.
Monotonicidad : es monótona en cada uno de sus argumentos (ya que es monótono ).
Continuidad : es continuo en cada uno de sus argumentos (ya que es continuo).
Reemplazo : Se pueden promediar subconjuntos de elementos a priori, sin alterar la media, dado que se mantiene la multiplicidad de elementos. Con se mantiene:
Partición : el cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño:
Autodistribución : para cualquier media cuasi aritmética de dos variables: .
Medialidad : para cualquier media cuasi aritmética de dos variables:.
Equilibrio : para cualquier media cuasi aritmética de dos variables:.
Teorema del límite central : en condiciones de regularidad, para una muestra suficientemente grande,es aproximadamente normal. [1] Un resultado similar está disponible para las medias de Bajraktarević, que son generalizaciones de medias cuasi aritméticas. [2]
Invarianza de escala : La media cuasi aritmética es invariante con respecto a las compensaciones y la escala de: .
Caracterización
Hay varios conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan la media cuasi aritmética (es decir, cada función que satisface estas propiedades es una f -media para alguna función f ).
- La medialidad es esencialmente suficiente para caracterizar los medios cuasi aritméticos. [3] : capítulo 17
- La autodistribución es esencialmente suficiente para caracterizar las medias cuasi aritméticas. [3] : capítulo 17
- Reemplazo : Kolmogorov demostró que las cinco propiedades de simetría, punto fijo, monotonicidad, continuidad y reemplazo caracterizan completamente los medios cuasi aritméticos. [4]
- Equilibrio : un problema interesante es si esta condición (junto con las propiedades de simetría, punto fijo, monotonicidad y continuidad) implica que la media es cuasi aritmética. Georg Aumann demostró en la década de 1930 que la respuesta es no en general, [5] pero que si se asume adicionalmentepara ser una función analítica , la respuesta es positiva. [6]
Homogeneidad
Las medias suelen ser homogéneas , pero para la mayoría de funciones, la f -mean no lo es. De hecho, los únicos medios cuasiaritméticos homogéneos son los medios de potencia (incluida la media geométrica ); véase Hardy – Littlewood – Pólya, página 68.
La propiedad de homogeneidad se puede lograr normalizando los valores de entrada por alguna media (homogénea) .
Sin embargo, esta modificación puede violar la monotonicidad y la propiedad de partición de la media.
Referencias
- ↑ de Carvalho, Miguel (2016). "¿A qué te refieres?" . El estadístico estadounidense . 70 (3): 764‒776. doi : 10.1080 / 00031305.2016.1148632 .
- ^ Barczy, M. y Burai, P. (2019). "Teoremas de límite para Bajraktarević y cociente de Cauchy medias de variables aleatorias distribuidas idénticamente independientes". arXiv : 1909.02968 [ math.PR ].CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b Aczél, J .; Dhombres, JG (1989). Ecuaciones funcionales en varias variables. Con aplicaciones a las matemáticas, la teoría de la información y las ciencias naturales y sociales. Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 31 . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Grudkin, Anton (2019). "Caracterización de la media cuasi-aritmética" . Intercambio de pila matemática .
- ^ Aumann, Georg (1937). "Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1937 (176): 49–55. doi : 10.1515 / crll.1937.176.49 . S2CID 115392661 .
- ^ Aumann, Georg (1934). "Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte". Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften : 45–81.
- Andrey Kolmogorov (1930) "Sobre la noción de media", en "Matemáticas y mecánica" (Kluwer 1991) - págs. 144-146.
- Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, págs. 388–391.
- John Bibby (1974) "Axiomatizaciones del promedio y una mayor generalización de secuencias monotónicas", Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, págs. 63–65.
- Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Desigualdades. 2ª ed. Cambridge Univ. Prensa, Cambridge, 1952.
Ver también
- Media generalizada
- La desigualdad de Jensen