En los campos de los sistemas dinámicos y la teoría de control , un sistema de orden fraccionario es un sistema dinámico que puede modelarse mediante una ecuación diferencial fraccionaria que contiene derivadas de orden no entero . [1] Se dice que estos sistemas tienen dinámica fraccionaria . Las derivadas e integrales de órdenes fraccionarios se utilizan para describir objetos que se pueden caracterizar por la no localidad de la ley de potencias , [2] dependencia de largo alcance de la ley de potencias o fractalpropiedades. Los sistemas de orden fraccional son útiles para estudiar el comportamiento anómalo de sistemas dinámicos en física, electroquímica , biología, viscoelasticidad y sistemas caóticos . [1]
Definición
Un sistema dinámico general de orden fraccionario se puede escribir en la forma [3]
dónde y son funciones del operador de derivada fraccionaria de pedidos y y y son funciones del tiempo. Un caso especial común de esto es el sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) en una variable:
Las ordenes y son en general cantidades complejas, pero dos casos interesantes son cuando los pedidos son proporcionales
y cuando también son racionales :
Cuándo , las derivadas son de orden entero y el sistema se convierte en una ecuación diferencial ordinaria . Por lo tanto, al aumentar la especialización, los sistemas LTI pueden ser de orden general, orden proporcional, orden racional o orden entera.
Función de transferencia
Al aplicar una transformada de Laplace al sistema LTI anterior, la función de transferencia se convierte en
Para pedidos generales y esta es una función de transferencia no racional. Las funciones de transferencia no racionales no pueden escribirse como una expansión en un número finito de términos (por ejemplo, una expansión binomial tendría un número infinito de términos) y, en este sentido, se puede decir que los sistemas de órdenes fraccionales tienen el potencial de memoria ilimitada. [3]
Motivación para estudiar sistemas de orden fraccionario
Las leyes exponenciales son un enfoque clásico para estudiar la dinámica de las densidades de población, pero hay muchos sistemas en los que la dinámica se somete a leyes más rápidas o más lentas que las exponenciales. En tal caso, las funciones de Mittag-Leffler pueden describir mejor los cambios anómalos en la dinámica . [4]
La difusión anómala es un sistema dinámico más en el que los sistemas de orden fraccionario juegan un papel importante para describir el flujo anómalo en el proceso de difusión.
La viscoelasticidad es la propiedad del material en el que el material exhibe su naturaleza entre puramente elástico y puro fluido. En el caso de los materiales reales de la relación entre el estrés y la tensión dada por la ley de Hooke y la ley de Newton ambos tienen disadvances obvias. Entonces, GW Scott Blair introdujo una nueva relación entre estrés y tensión dada por
- [ cita requerida ]
En la teoría del caos , se ha observado que el caos ocurre en sistemas dinámicos de orden 3 o más. Con la introducción de los sistemas de orden fraccionario, algunos investigadores estudian el caos en el sistema de orden total inferior a 3. [5]
Análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias
Considere un problema de valor inicial de orden fraccionario :
Existencia y singularidad
Aquí, bajo la condición de continuidad de la función f, se puede convertir la ecuación anterior en la ecuación integral correspondiente.
Se puede construir un espacio de solución y definir, mediante esa ecuación, un automapa continuo en el espacio de solución, luego aplicar un teorema de punto fijo , para obtener un punto fijo , que es la solución de la ecuación anterior.
Simulación numérica
Para la simulación numérica de la solución de las ecuaciones anteriores, Kai Diethelm ha sugerido el método de Adams-Bashforth lineal fraccional de múltiples pasos o métodos de cuadratura . [6]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Monje, Concepción A. (2010). Sistemas y controles de orden fraccional: fundamentos y aplicaciones . Saltador. ISBN 9781849963350.
- ^ Cattani, Carlo; Srivastava, Hari M .; Yang, Xiao-Jun (2015). Dinámica fraccional . Walter de Gruyter KG. pag. 31. ISBN 9783110472097.
- ^ a b Vinagre, Blas M .; Monje, CA; Calderon, Antonio J. "Sistemas de orden fraccional y acciones de control de orden fraccional" (PDF) . 41ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control .
- ^ Rivero, M. (2011). "Dinámica fraccional de poblaciones". Apl. Matemáticas. Computación . 218 (3): 1089–95. doi : 10.1016 / j.amc.2011.03.017 .
- ^ Petras, Ivo; Bednarova, Dagmar (2009). "Sistemas caóticos de orden fraccionario". Conferencia IEEE de 2009 sobre tecnologías emergentes y automatización de fábricas . págs. 1–8. doi : 10.1109 / ETFA.2009.5347112 . ISBN 978-1-4244-2727-7.
- ^ Diethelm, Kai. "Una encuesta de métodos numéricos en cálculo fraccional" (PDF) . CNAM . Consultado el 6 de septiembre de 2017 .
Otras lecturas
- West, Bruce; Bolonia, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). "3. Dinámica fraccional" . Física de operadores fractales . Saltador. págs. 77-120. ISBN 978-0-387-95554-4.
- Zaslavsky, George M. (23 de diciembre de 2004). Caos hamiltoniano y dinámica fraccional . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-852604-9.
- Lakshmikantham, V .; Leela, S .; Devi, J. Vasundhara (2009). Teoría de los sistemas dinámicos fraccionales . Cambridge Scientific.[ enlace muerto permanente ]
- Tarasov, VE (2010). Dinámica fraccional: Aplicaciones del cálculo fraccional a la dinámica de partículas, campos y medios . Saltador. ISBN 978-3-642-14003-7.
- Caponetto, R .; Dongola, G .; Fortuna, L .; Petras, I. (2010). Sistemas de orden fraccional: aplicaciones de modelado y control . World Scientific. Bibcode : 2010fosm.book ..... C . Archivado desde el original el 25 de marzo de 2012 . Consultado el 17 de octubre de 2016 .
- Klafter, J .; Lim, SC; Metzler, R., eds. (2011). Dinámica fraccional. Avances recientes . World Scientific. doi : 10.1142 / 8087 . ISBN 978-981-4340-58-8.
- Li, Changpin; Wu, Yujiang; Ye, Ruisong, eds. (2013). Avances recientes en dinámica no lineal aplicada con análisis numérico: dinámica fraccional, dinámica de redes, dinámica clásica y dinámica fractal con sus simulaciones numéricas . Ciencias Matemáticas Interdisciplinarias. 15 . World Scientific. doi : 10.1142 / 8637 . ISBN 978-981-4436-45-8.
- Igor Podlubny (27 de octubre de 1998). Ecuaciones diferenciales fraccionales: una introducción a las derivadas fraccionales, ecuaciones diferenciales fraccionales, a los métodos de su solución y algunas de sus aplicaciones . Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4.
- Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). Introducción al cálculo fraccional y ecuaciones diferenciales fraccionales . Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
- Oldham, Keith B .; Spanier, Jerome (1974). El cálculo fraccional; Teoría y aplicaciones de la diferenciación e integración al orden arbitrario . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. V . Prensa académica. ISBN 0-12-525550-0.
enlaces externos
- Aplicaciones del cálculo fraccional en control automático y robótica Un tutorial sobre cálculo fraccionario, sistemas de orden fraccionario y teoría del control de orden fraccional.