En la teoría de la probabilidad , un proceso de Lévy , llamado así por el matemático francés Paul Lévy , es un proceso estocástico con incrementos estacionarios independientes: representa el movimiento de un punto cuyos sucesivos desplazamientos son aleatorios , en el que los desplazamientos en intervalos de tiempo disjuntos por pares son independientes, y los desplazamientos en diferentes intervalos de tiempo de la misma longitud tienen distribuciones de probabilidad idénticas. Por tanto, un proceso de Lévy puede verse como el análogo de tiempo continuo de un paseo aleatorio .
Los ejemplos más conocidos de procesos de Lévy son el proceso de Wiener , a menudo llamado proceso de movimiento browniano , y el proceso de Poisson . Otros ejemplos importantes incluyen el proceso Gamma , el proceso Pascal y el proceso Meixner. Aparte del movimiento browniano con deriva, todos los demás procesos de Lévy propios (es decir, no deterministas) tienen trayectorias discontinuas . Todos los procesos de Lévy son procesos aditivos . [1]
Definición matemática
Un proceso estocástico se dice que es un proceso de Lévy si satisface las siguientes propiedades:
- casi seguro ;
- Independencia de incrementos : para cualquier, son mutuamente independientes ;
- Incrementos estacionarios: para cualquier, es igual en distribución a
- Continuidad en probabilidad: Para cualquier y sostiene eso
Si es un proceso de Lévy, entonces uno puede construir una versión de tal que Es casi seguro que sea continuo a la derecha con límites izquierdos .
Propiedades
Incrementos independientes
Un proceso estocástico de tiempo continuo asigna una variable aleatoria X t a cada punto t ≥ 0 en el tiempo. En efecto, es una función aleatoria de t . Los incrementos de tal proceso son las diferencias X s - X t entre sus valores en diferentes momentos t < s . Llamar a los incrementos de un proceso independientes significa que los incrementos X s - X t y X u - X v son variables aleatorias independientes siempre que los dos intervalos de tiempo no se superponen y, de manera más general, cualquier número finito de incrementos asignados a pares no superpuestos los intervalos de tiempo son independientes entre sí (no solo por parejas ).
Incrementos estacionarios
Llamar a los incrementos estacionarios significa que la distribución de probabilidad de cualquier incremento X t - X s depende sólo de la longitud t - s del intervalo de tiempo; los incrementos en intervalos de tiempo igualmente largos se distribuyen de forma idéntica.
Si es un proceso de Wiener , la distribución de probabilidad de X t - X s es normal con valor esperado 0 y varianza t - s .
Si es el proceso de Poisson , la distribución de probabilidad de X t - X s es una distribución de Poisson con valor esperado λ ( t - s ), donde λ> 0 es la "intensidad" o "tasa" del proceso.
Divisibilidad infinita
La distribución de un proceso de Lévy tiene la propiedad de divisibilidad infinita : dado cualquier número entero n , la ley de un proceso de Lévy en el tiempo t se puede representar como la ley de n variables aleatorias independientes, que son precisamente los incrementos del proceso de Lévy a lo largo del tiempo. intervalos de longitud t / n, que son independientes e idénticamente distribuidos por los supuestos 2 y 3. A la inversa, para cada distribución de probabilidad infinitamente divisible, hay un proceso Lévy tal que la ley de es dado por .
Momentos
En cualquier proceso de Lévy con momentos finitos , el n- ésimo momento, es una función polinomial de t ; estas funciones satisfacen una identidad binomial :
Representación de Lévy – Khintchine
La distribución de un proceso de Lévy se caracteriza por su función característica , que viene dada por la fórmula de Lévy-Khintchine (general para todas las distribuciones infinitamente divisibles ): [2]
Si es un proceso de Lévy, entonces su función característica es dado por
dónde , , y es una medida σ -finita llamada medida de Lévy de, satisfaciendo la propiedad
En lo anterior, es la función del indicador . Debido a que las funciones características determinan de forma única sus distribuciones de probabilidad subyacentes, cada proceso de Lévy está determinado de forma única por el "triplete Lévy-Khintchine". Los términos de este triplete sugieren que se puede considerar que un proceso de Lévy tiene tres componentes independientes: una deriva lineal, un movimiento browniano y un proceso de salto de Lévy , como se describe a continuación. Esto da inmediatamente que el único proceso de Lévy continuo (no determinista) es un movimiento browniano con deriva; del mismo modo, cada proceso de Lévy es una semimartingala . [3]
Descomposición de Lévy-Itô
Debido a que las funciones características de las variables aleatorias independientes se multiplican, el teorema de Lévy-Khintchine sugiere que cada proceso de Lévy es la suma del movimiento browniano con deriva y otra variable aleatoria independiente. La descomposición de Lévy-Itô describe este último como una suma (estocástica) de variables aleatorias independientes de Poisson.
Dejar - es decir, la restricción de a , renormalizado para ser una medida de probabilidad; de manera similar, deja(pero no cambie la escala). Luego
La primera es la función característica de un proceso de Poisson compuesto con intensidad y distribución infantil . El último es el de un proceso de Poisson generalizado compensado (CGPP): un proceso con innumerables discontinuidades de salto en cada intervalo como , pero tales que esas discontinuidades son de magnitud menor que. Si, entonces el CGPP es un proceso de salto puro . [4] [5]
Generalización
Un campo aleatorio de Lévy es una generalización multidimensional del proceso de Lévy. [6] [7] Aún más generales son los procesos descomponibles. [8]
Ver también
- Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
- Proceso de salchicha
- Proceso de Poisson
- Proceso gamma
- Proceso de Markov
- Vuelo de Lévy
Referencias
- ^ Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
- ^ Zolotarev, Vladimir M. Distribuciones estables unidimensionales. Vol. 65. American Mathematical Soc., 1986.
- ^ Protter PE Integración estocástica y ecuaciones diferenciales. Springer, 2005.
- ^ Kyprianou, Andreas E. (2014), "The Lévy-Itô Decomposition and Path Structure", Fluctuations of Lévy Processes with Applications , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, págs. 35–69, doi : 10.1007 / 978-3-642-37632 -0_2 , ISBN 9783642376313
- ^ Lawler, Gregory (2014). "Cálculo estocástico: una introducción a las aplicaciones" (PDF) . Departamento de Matemáticas (Universidad de Chicago) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de marzo de 2018 . Consultado el 3 de octubre de 2018 .
- ^ Wolpert, Robert L .; Ickstadt, Katja (1998), "Simulación de campos aleatorios de Lévy", Estadísticas bayesianas prácticas no paramétricas y semiparamétricas , Lecture Notes in Statistics, Springer, Nueva York, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9
- ^ Wolpert, Robert L. (2016). "Campos aleatorios de Lévy" (PDF) . Departamento de Ciencia Estadística (Universidad de Duke) .
- ^ Feldman, Jacob (1971). "Procesos descomponibles y productos continuos de espacios de probabilidad". Revista de análisis funcional . 8 (1): 1–51. doi : 10.1016 / 0022-1236 (71) 90017-6 . ISSN 0022-1236 .
- Applebaum, David (diciembre de 2004). "Procesos de Lévy: de probabilidad a finanzas y grupos cuánticos" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (11): 1336-1347. ISSN 1088-9477 .
- Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Modelado financiero con procesos de salto . Prensa CRC. ISBN 978-1584884132..
- Sato, Ken-Iti (2011). Procesos Lévy y Distribuciones Infinitamente Divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521553025..
- Kyprianou, Andreas E. (2014). Fluctuaciones de los procesos de Lévy con las aplicaciones. Conferencias introductorias. Segunda edición . Saltador. ISBN 978-3642376313..