Campos de marco en la relatividad general

El espacio-tiempo modelado por cuatro campos vectoriales ortonormales puntuales

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En la relatividad general , un campo de trama (también llamado una tétrada o vierbein ) es un conjunto de cuatro puntual - ortonormales campos de vectores , uno de tipo temporal y tres spacelike , definida en un colector de Lorentz que se interpreta físicamente como un modelo de espacio-tiempo . El campo de vector unitario en forma de tiempo a menudo se denota por y los tres campos de vector unitario en forma de espacio por . Todas las cantidades tensoriales definidas en la variedad se pueden expresar utilizando el campo de marco y su campo de marco doble .${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Los marcos fueron introducidos en la relatividad general por Albert Einstein en 1928 ^[1] y por Hermann Weyl en 1929. ^[2]

La notación índice para tétradas se explica en tétrada (notación índice) .

Interpretación física

Los campos de cuadro siempre corresponden a una familia de observadores ideales inmersos en el espacio-tiempo dado; las curvas integrales del campo vectorial unitario en forma de tiempo son las líneas de mundo de estos observadores, y en cada evento a lo largo de una línea de mundo dada, los tres campos de vector unitario en forma de espacio especifican la tríada espacial llevada por el observador. Se puede pensar que la tríada define los ejes de coordenadas espaciales de un marco de laboratorio local , que es válido muy cerca de la línea de mundo del observador.

En general, las líneas de mundo de estos observadores no tienen por qué ser geodésicas temporales . Si alguna de las líneas de mundo se desvía de una trayectoria geodésica en alguna región, podemos pensar en los observadores como partículas de prueba que aceleran mediante el uso de motores de cohetes ideales con un empuje igual a la magnitud de su vector de aceleración . Alternativamente, si nuestro observador está unido a un poco de materia en una bola de fluido en equilibrio hidrostático , este pedacito de materia en general será acelerado hacia afuera por el efecto neto de la presión que sostiene la bola de fluido contra la atracción de su propia gravedad. Otras posibilidades incluyen un observador adjunto a una partícula de prueba cargada libre en unsolución de electrovacío , que por supuesto será acelerada por la fuerza de Lorentz , o un observador unido a una partícula de prueba giratoria , que puede ser acelerada por una fuerza de giro-giro.

Es importante reconocer que los marcos son objetos geométricos . Es decir, los campos vectoriales tienen sentido (en una variedad suave) independientemente de la elección de un gráfico de coordenadas y (en una variedad de Lorentz), también lo tienen las nociones de ortogonalidad y longitud. Por lo tanto, al igual que los campos vectoriales y otras cantidades geométricas, los campos de marco se pueden representar en varios gráficos de coordenadas. Los cálculos de los componentes de las cantidades tensoriales, con respecto a un marco dado, siempre producirán el mismo resultado, cualquiera que sea la tabla de coordenadas que se utilice para representar el marco.

Estos campos son necesarios para escribir la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo .

Especificando un marco

Para escribir un marco, se debe elegir un gráfico de coordenadas en la variedad de Lorentz. Luego, cada campo vectorial en la variedad se puede escribir como una combinación lineal de los cuatro campos vectoriales de base de coordenadas :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Aquí, se utiliza la convención de suma de Einstein y los campos vectoriales se consideran operadores diferenciales lineales de primer orden , y los componentes a menudo se denominan componentes contravariantes . Esto sigue las convenciones de notación estándar para secciones de un paquete tangente . Las notaciones alternativas para los campos vectoriales de base de coordenadas de uso común son ${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

En particular, los campos vectoriales en el marco se pueden expresar de esta manera:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Al "diseñar" un marco, uno naturalmente necesita asegurarse, usando la métrica dada , que los cuatro campos vectoriales sean ortonormales en todas partes.

Los textos más modernos adoptan la notación para y o para . Esto permite el truco visualmente inteligente de escribir la métrica del espacio-tiempo como el producto interno de los vectores tangentes de coordenadas:${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\cdot \mathbf {g} _{\nu }}$

y la métrica de Minkowski de espacio plano como el producto de los gammas:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\cdot \gamma _{b}}$

La elección de para la notación es una combinación intencional con la notación utilizada para las matrices de Dirac ; permite que se tomen no solo como vectores, sino como elementos de un álgebra, el álgebra del espacio-tiempo . Si se usa apropiadamente, esto puede simplificar parte de la notación utilizada al escribir una conexión de espín .${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$

Una vez que se adopta una firma, por la dualidad cada vector de la base tiene un doble covector en el cobasis ya la inversa. Por lo tanto, cada campo de fotograma está asociado con un campo de fotograma único y viceversa; un campo de coframe es un conjunto de cuatro secciones ortogonales del paquete cotangente .

Especificar la métrica mediante un coframe

Alternativamente, el tensor métrico se puede especificar escribiendo un coframe en términos de una base de coordenadas y estipulando que el tensor métrico está dado por

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

donde denota producto tensorial . Esta es solo una forma elegante de decir que el coframe es ortonormal . Ya sea que se use para obtener el tensor métrico después de escribir el marco (y pasar al coframe dual), o comenzar con el tensor métrico y usarlo para verificar que se ha obtenido un marco por otros medios, siempre debe ser verdadero.${\displaystyle \otimes }$

Relación con el tensor métrico, en una base de coordenadas

El campo vierbein,, tiene dos tipos de índices: etiqueta la coordenada del espacio-tiempo general y etiqueta el espacio-tiempo de Lorentz local o las coordenadas del laboratorio local.${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle a\,}$

El campo vierbein o campos de la trama pueden ser considerados como la “matriz raíz cuadrada” del tensor métrico , ya que en una base de coordenadas,${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

donde es la métrica de Lorentz .${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

Los índices de Lorentz locales aumentan y disminuyen con la métrica de Lorentz de la misma manera que las coordenadas espaciales-temporales generales aumentan y disminuyen con el tensor métrico. Por ejemplo:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

El campo vierbein permite la conversión entre el espacio-tiempo y los índices de Lorentz locales. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

El propio campo vierbein se puede manipular de la misma manera:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, desde ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

Y estos se pueden combinar.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Algunos ejemplos más: el espacio-tiempo y las coordenadas locales de Lorentz se pueden combinar:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Las coordenadas locales de Lorentz se transforman de manera diferente a las coordenadas espaciales-temporales generales. Bajo una transformación de coordenadas general tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

mientras que bajo una transformación de Lorentz local tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Comparación con base de coordenadas

Los vectores de base de coordenadas tienen la propiedad especial de que sus paréntesis de Lie en pares desaparecen. Excepto en regiones localmente planas, al menos algunos corchetes de Lie de campos vectoriales de un marco no desaparecerán. El bagaje resultante necesario para calcular con ellos es aceptable, ya que los componentes de los objetos tensoriales con respecto a un marco (pero no con respecto a una base de coordenadas) tienen una interpretación directa en términos de mediciones realizadas por la familia de observadores ideales correspondientes al marco .

Los vectores de base de coordenadas pueden ser nulos , lo que, por definición, no puede suceder para los vectores de marco.

Marcos inerciales y no giratorios

Algunos marcos son más bonitos que otros. Particularmente en las soluciones de vacío o electrovacío , la experiencia física de los observadores inerciales (que no sienten fuerzas) puede ser de particular interés. La caracterización matemática de un marco inercial es muy simple: las curvas integrales del campo de vector unitario temporal deben definir una congruencia geodésica , o en otras palabras, su vector de aceleración debe desaparecer:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

A menudo, también es deseable asegurarse de que la tríada espacial llevada por cada observador no gire . En este caso, la tríada puede verse como giroestabilizada . El criterio para un marco inercial no giratorio (NSI) es nuevamente muy simple:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Esto dice que a medida que nos movemos a lo largo de la línea de mundo de cada observador, su tríada espacial se transporta en paralelo . Los marcos inerciales no giratorios ocupan un lugar especial en la relatividad general, porque están lo más cerca que podemos estar en una variedad Lorentziana curvada de los marcos de Lorentz utilizados en la relatividad especial (estos son marcos inerciales especiales no giratorios en el vacío de Minkowski ).

De manera más general, si la aceleración de nuestros observadores es distinta de cero , podemos reemplazar las derivadas covariantes${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

con las derivadas de Fermi-Walker (proyectadas espacialmente) para definir un marco no giratorio .

Dada una variedad de Lorentz, podemos encontrar infinitos campos de marco, incluso si necesitamos propiedades adicionales como el movimiento inercial. Sin embargo, un campo de trama dado muy bien podría definirse solo en una parte de la variedad.

Ejemplo: observadores estáticos en el vacío de Schwarzschild

Será instructivo considerar con cierto detalle algunos ejemplos simples. Considere el famoso vacío de Schwarzschild que modela el espacio-tiempo fuera de un objeto masivo esféricamente simétrico que no gira, como una estrella. En la mayoría de los libros de texto, se encuentra el tensor métrico escrito en términos de una gráfica esférica polar estática, de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Más formalmente, el tensor métrico se puede expandir con respecto a la cobase de coordenadas como

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Se puede leer un coframe a partir de esta expresión:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Para ver que este coframe realmente corresponde al tensor métrico de Schwarzschild, simplemente conecte este coframe en

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

El marco dual es el coframe transpuesto invertido como

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(El signo más en asegura que es el futuro que apunta .) Este es el marco que los modelos de la experiencia de los observadores estáticos que utilizan los motores de cohetes a "flotar" sobre el objeto masivo . El empuje que necesitan para mantener su posición viene dado por la magnitud del vector de aceleración${\displaystyle \sigma ^{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Esto apunta radialmente hacia adentro, ya que los observadores necesitan acelerar alejándose del objeto para evitar caer hacia él. Por otro lado, las derivadas de Fermi proyectadas espacialmente de los vectores de base espacial (con respecto a ) se desvanecen, por lo que este es un marco no giratorio.${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Ahora se pueden calcular los componentes de varias cantidades tensoriales con respecto a nuestro marco y su coframe dual.

Por ejemplo, el tensor de mareas para nuestros observadores estáticos se define usando notación tensorial (para una base de coordenadas) como

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Sus únicos componentes distintos de cero con respecto a nuestro coframe resultan ser${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Los componentes de base de coordenadas correspondientes son

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Una nota rápida sobre la notación: muchos autores colocan signos de intercalación sobre índices abstractos que se refieren a un marco. Al escribir componentes específicos , es conveniente denotar los componentes del marco con 0,1,2,3 y coordinar los componentes con . Dado que una expresión como no no tiene sentido como una ecuación tensorial , no debería haber posibilidad de confusión).${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Compare el tensor de mareas de la gravedad newtoniana, que es la parte sin trazas del hessiano del potencial gravitacional . Usando la notación tensorial para un campo tensorial definido en el espacio euclidiano tridimensional, esto se puede escribir${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

Es posible que el lector desee analizar esto (observe que el término de rastreo en realidad desaparece de manera idéntica cuando U es armónico) y comparar los resultados con el siguiente enfoque elemental: podemos comparar las fuerzas gravitacionales en dos observadores cercanos que se encuentran en la misma línea radial:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Debido a que al discutir los tensores estamos tratando con álgebra multilineal , solo retenemos términos de primer orden, entonces . De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitacional en dos observadores cercanos que se encuentran en la misma esfera . Usando algo de trigonometría elemental y la aproximación de ángulo pequeño, encontramos que los vectores de fuerza difieren por un vector tangente a la esfera que tiene magnitud${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Al usar la aproximación de ángulo pequeño, hemos ignorado todos los términos del orden , por lo que las componentes tangenciales son . Aquí, nos referimos al marco obvio obtenido de la carta esférica polar para nuestro espacio euclidiano tridimensional:${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Claramente, los componentes de coordenadas calculados anteriormente ni siquiera se escalan de la manera correcta, por lo que claramente no pueden corresponder a lo que un observador medirá ni siquiera aproximadamente. (Por coincidencia, los componentes del tensor de mareas de Newton concuerdan exactamente con los componentes del tensor de mareas relativista que escribimos anteriormente).${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

Ejemplo: observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild

Para encontrar un marco inercial, podemos aumentar nuestro marco estático en la dirección mediante un parámetro de impulso indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración del nuevo marco indeterminado, establecerlo en cero y resolver el impulso desconocido. parámetro. El resultado será un marco que podremos utilizar para estudiar la experiencia física de los observadores que caen libre y radialmente hacia el objeto masivo. Al elegir adecuadamente una constante de integración, obtenemos el marco de los observadores de Lemaître , que caen desde el reposo en el infinito espacial . (Esta frase no tiene sentido, pero el lector sin duda no tendrá dificultad en comprender nuestro significado). En la carta esférica polar estática, este marco se obtiene de las coordenadas de Lemaître${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$ y se puede escribir como

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Tenga en cuenta que , y que "se inclina hacia adentro", como debería, ya que sus curvas integrales son geodésicas temporales que representan las líneas del mundo de los observadores que caen . De hecho, dado que las derivadas covariantes de los cuatro vectores base (tomadas con respecto a ) se desvanecen de manera idéntica, nuestro nuevo marco es un marco inercial no giratorio .${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Si nuestro objeto masivo es de hecho un agujero negro (no giratorio) , probablemente deseemos seguir la experiencia de los observadores de Lemaître a medida que caen a través del horizonte de eventos en . Dado que las coordenadas esféricas polares estáticas tienen una singularidad de coordenadas en el horizonte, tendremos que cambiar a un gráfico de coordenadas más apropiado. La opción más simple posible es definir una nueva coordenada de tiempo mediante${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Esto da la tabla de Painlevé . El nuevo elemento de línea es

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Con respecto a la carta Painlevé, el marco Lemaître es

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Observe que su tríada espacial se ve exactamente como el marco del espacio euclidiano tridimensional que mencionamos anteriormente (cuando calculamos el tensor de mareas newtoniano). De hecho, ¡las hiperslices espaciales resultan ser localmente isométricas al espacio euclidiano tridimensional plano! (Esta es una propiedad notable y bastante especial del vacío de Schwarzschild; la mayoría de los espaciotiempos no admiten un corte en secciones espaciales planas).${\displaystyle T=T_{0}}$

El tensor de mareas tomado con respecto a los observadores de Lemaître es

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Este es un tensor diferente al que obtuvimos anteriormente, porque se define usando una familia diferente de observadores . No obstante, sus componentes no evanescentes parecen familiares: . (Esta es nuevamente una propiedad bastante especial del vacío de Schwarzschild).${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Observe que simplemente no hay forma de definir observadores estáticos dentro o dentro del horizonte de eventos. Por otro lado, los observadores de Lemaître tampoco están definidos en toda la región exterior cubierta por la carta esférica polar estática, por lo que en estos ejemplos, ni el marco de Lemaître ni el marco estático están definidos en toda la variedad.

Ejemplo: observadores de Hagihara en el vacío de Schwarzschild

De la misma manera que encontramos los observadores de Lemaître, podemos impulsar nuestro marco estático en la dirección mediante un parámetro indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración y requerir que este desaparezca en el plano ecuatorial . El nuevo marco de Hagihara describe la experiencia física de los observadores en órbitas circulares estables alrededor de nuestro objeto masivo. Aparentemente, fue discutido por primera vez por el astrónomo Yusuke Hagihara .${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

En la carta esférica polar estática, el marco de Hagihara es

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

que en el plano ecuatorial se convierte en

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

El tensor de mareas donde resulta estar dado (en el plano ecuatorial) por${\displaystyle E[Z]_{ab}}$${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Por lo tanto, en comparación con un observador estático que se desplaza en un radio de coordenadas dado, un observador de Hagihara en una órbita circular estable con el mismo radio de coordenadas medirá las fuerzas de marea radiales que son ligeramente mayores en magnitud, y las fuerzas de marea transversales que ya no son isotrópicas (pero un poco más grande ortogonal a la dirección del movimiento).

Tenga en cuenta que el marco de Hagihara solo se define en la región . De hecho, las órbitas circulares estables solo existen , por lo que el marco no debe usarse dentro de este locus.${\displaystyle r>3m}$${\displaystyle r>6m}$

El cálculo de las derivadas de Fermi muestra que el campo de cuadro que se acaba de dar está girando con respecto a un cuadro giroestabilizado. La razón principal por la que es fácil de detectar: ​​en este marco, cada observador de Hagihara mantiene sus vectores espaciales alineados radialmente , de modo que gire mientras el observador orbita alrededor del objeto masivo central. Sin embargo, después de corregir esta observación, todavía queda una pequeña precesión del eje de giro de un giroscopio llevado por un observador de Hagihara; este es el efecto de precesión de De Sitter (también llamado efecto de precesión geodésica ).${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

Generalizaciones

Este artículo se ha centrado en la aplicación de marcos a la relatividad general y, en particular, en su interpretación física. Aquí esbozamos muy brevemente el concepto general. En una variedad riemanniana n- dimensional o una variedad pseudo-riemanniana , un campo marco es un conjunto de campos vectoriales ortonormales que forman una base para el espacio tangente en cada punto de la variedad. Esto es posible globalmente de manera continua si y solo si el colector es paralelizable . Como antes, los fotogramas se pueden especificar en términos de una base de coordenadas dada, y en una región no plana, algunos de sus paréntesis de Lie por pares no desaparecerán.

De hecho, dado cualquier espacio de producto interno , podemos definir un nuevo espacio que consta de todas las tuplas de bases ortonormales para . Al aplicar esta construcción a cada espacio tangente se obtiene el haz de marcos ortonormal de una variedad (pseudo) riemanniana y un campo de marcos es una sección de este paquete. De manera más general, podemos considerar paquetes de tramas asociados a cualquier paquete de vectores , o incluso paquetes de fibras principales arbitrarios . La notación se vuelve un poco más complicada porque es más difícil evitar distinguir entre índices que se refieren a la base e índices que se refieren a la fibra. Muchos autores hablan de componentes internos cuando se refieren a componentes indexados por la fibra.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Ver también

• Soluciones exactas en relatividad general
• Georges Lemaître
• Karl Schwarzschild
• Método de fotogramas en movimiento
• Paul Painlevé
• Vierbein
• Yusuke Hagihara

Referencias

1. Albert Einstein "de Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des des Begriffes Fernparallelismus", Sitzungsberichte der Wissenschaften Preußischen Akademieder, Physikalisch- MathematischeKlasse , p217-221, 06/07/1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP5DFQU1 . Traducción al inglés disponible en Jeffrey Yepez, "Einstein's vierbein field theory of curved space", https://arxiv.org/abs/1106.2037 .
2. Hermann Weyl "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik , 56, p330–352, 1929.

• Flandes, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66169-5.Vea el Capítulo IV para los marcos en E ³ , luego vea el Capítulo VIII para los campos de marco en las variedades de Riemann . Este libro no cubre realmente las variedades de Lorentz, pero con estos antecedentes en la mano, el lector está bien preparado para la siguiente cita.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.En este libro, un campo marco (campo coframe) se denomina base anholonómica de vectores (covectores) . La información esencial está muy dispersa, pero se puede encontrar fácilmente utilizando el índice extenso.
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980). La teoría clásica de los campos (4ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.En este libro, un campo de marco se denomina tétrada (que no debe confundirse con el término ahora estándar NP tétrada utilizado en el formalismo de Newman-Penrose ). Consulte la Sección 98 .
• De Felice, F .; Clarke, CJ (1992). Relatividad en colectores curvos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42908-0.Consulte el Capítulo 4 para los marcos y coframes. Si alguna vez necesita más información sobre los campos de marcos, este podría ser un buen lugar para buscar.