Ecuación integral de Fredholm

En matemáticas , la ecuación integral de Fredholm es una ecuación integral cuya solución da lugar a la teoría de Fredholm , el estudio de los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm . La ecuación integral fue estudiada por Ivar Fredholm . Un método útil para resolver tales ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .

Una ecuación de Fredholm es una ecuación integral en la que el término que contiene la función kernel (definida a continuación) tiene constantes como límites de integración. Una forma estrechamente relacionada es la ecuación integral de Volterra que tiene límites integrales variables.

y el problema es, dada la función kernel continua y la función , encontrar la función . ${\ estilo de visualización K}$ ${\ estilo de visualización g}$ ${\ estilo de visualización f}$

Un caso importante de este tipo de ecuaciones es cuando el kernel es una función solo de la diferencia de sus argumentos, es decir , y los límites de integración son ±∞, entonces el lado derecho de la ecuación se puede reescribir como una convolución. de las funciones y por tanto, formalmente, la solución viene dada por $K(t,s)=K(t{-}s)$ ${\ estilo de visualización K}$ ${\ estilo de visualización f}$

donde y son las transformadas de Fourier directa e inversa , respectivamente. Este caso normalmente no se incluiría bajo el paraguas de las ecuaciones integrales de Fredholm, un nombre que generalmente se reserva para cuando el operador integral define un operador compacto (los operadores de convolución en grupos no compactos no son compactos, ya que, en general, el espectro del operador de convolución con contiene el rango de , que suele ser un conjunto no contable, mientras que los operadores compactos tienen espectros contables discretos). ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$ ${\ estilo de visualización K}$ ${\mathcal {F}}{K}$

$\varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.$