Método de descomposición de Adomian

El método de descomposición de Adomian (ADM) es un método semi-analítico para resolver ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias y parciales . El método fue desarrollado desde la década de 1970 hasta la de 1990 por George Adomian , presidente del Centro de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Georgia . ^[1] Es más extensible a los sistemas estocásticos mediante el uso de la integral Ito . ^[2] El objetivo de este método es lograr una teoría unificada para la solución de ecuaciones diferenciales parciales (PDE); un objetivo que ha sido reemplazado por la teoría más general de la método de análisis de homotopía . ^[3] El aspecto crucial del método es el empleo de los "polinomios de Adomian" que permiten la convergencia de la solución de la parte no lineal de la ecuación, sin simplemente linealizar el sistema. Estos polinomios se generalizan matemáticamente a una serie de Maclaurin sobre un parámetro externo arbitrario; lo que da al método de solución más flexibilidad que la expansión directa en serie de Taylor . ^[4]

Ecuaciones diferenciales ordinarias

El método Adomian es muy adecuado para resolver problemas de Cauchy , una clase importante de problemas que incluye problemas de condiciones iniciales .

Aplicación a un sistema no lineal de primer orden

Un ejemplo de problema de condición inicial para una ecuación diferencial ordinaria es el siguiente:

${\displaystyle y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,}$

${\displaystyle y(0)=0.}$

Para resolver el problema, el operador diferencial de mayor grado (escrito aquí como L ) se coloca en el lado izquierdo, de la siguiente manera:

${\displaystyle Ly=-1-y^{2},}$

con L = d / d t y . Ahora se supone que la solución es una serie infinita de contribuciones:${\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t}()}$

${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}$

Reemplazando en la expresión anterior, obtenemos:

${\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].}$

Ahora identificamos y ₀ con alguna expresión explícita a la derecha, y y _i , i = 1, 2, 3, ..., con alguna expresión a la derecha que contiene términos de orden inferior a i . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{aligned}}}$

De esta forma, cualquier contribución puede calcularse explícitamente en cualquier orden. Si nos conformamos con los cuatro primeros términos, el aproximado es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

Aplicación a la ecuación de Blasius

Un segundo ejemplo, con condiciones de contorno más complejas es la ecuación de Blasius para un flujo en una capa límite :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0}$

Con las siguientes condiciones en los límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}}$

Los operadores lineales y no lineales ahora se llaman y , respectivamente. Entonces, la expresión se convierte en:${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$${\displaystyle N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

${\displaystyle Lu+Nu=0}$

y la solución puede expresarse, en este caso, de la siguiente manera simple:

${\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu}$

donde: Si:${\displaystyle L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle {\begin{aligned}&u^{0}&=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\&u^{1}&=&-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{1}A_{0}\\&u^{2}&=&-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{1}A_{1}\\&u^{3}&=&-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{1}A_{2}\\&&\cdots &\end{aligned}}}$

Los polinomios de Adomian para linealizar el término no lineal se pueden obtener sistemáticamente usando la siguiente regla:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},}$

dónde: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}}$

Las condiciones de contorno deben aplicarse, en general, al final de cada aproximación. En este caso, las constantes de integración deben agruparse en tres constantes independientes finales. Sin embargo, en nuestro ejemplo, las tres constantes aparecen agrupadas desde el principio en la forma que se muestra en la solución formal anterior. Tras aplicar las dos primeras condiciones de contorno obtenemos la denominada serie de Blasius:

${\displaystyle u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots }$

Para obtener γ tenemos que aplicar condiciones de contorno en ∞, lo que se puede hacer escribiendo la serie como una aproximación de Padé :

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}$

donde L = M . El límite en de esta expresión es un _L / b _M .${\displaystyle \infty }$

Si elegimos b ₀ = 1, se obtienen M ecuaciones lineales para los coeficientes b :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}$

Entonces, se obtienen las unas coeficientes por medio de la siguiente secuencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}}$

En nuestro ejemplo:

${\displaystyle u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)}$

Que cuando γ = 0.0408 se convierte en:

${\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}$

con el limite:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.}$

Que es aproximadamente igual a 1 (de la condición de contorno (3)) con una precisión de 4/1000.

Ecuaciones diferenciales parciales

Aplicación a un sistema rectangular con no linealidad

Uno de los problemas más frecuentes en las ciencias físicas es obtener la solución de una ecuación diferencial parcial (lineal o no lineal) que satisfaga un conjunto de valores funcionales en una frontera rectangular. Un ejemplo es el siguiente problema:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)}$

con las siguientes condiciones de contorno definidas en un rectángulo:

${\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{and}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}}$

${\displaystyle u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{and}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}}$

Este tipo de ecuación diferencial parcial aparece frecuentemente junto con otras en ciencia e ingeniería . Por ejemplo, en el problema del flujo de fluido incompresible , las ecuaciones de Navier-Stokes deben resolverse en paralelo con una ecuación de Poisson para la presión.

Descomposición del sistema

Usemos la siguiente notación para el problema (1):

${\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)}$

donde L _x , L _y son operadores derivados dobles y N es un operador no lineal.

La solución formal de (2) es:

${\displaystyle u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}$

Expandiendo ahora u como un conjunto de contribuciones a la solución tenemos:

${\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }$

Sustituyendo en (3) y haciendo una correspondencia biunívoca entre las contribuciones del lado izquierdo y los términos del lado derecho obtenemos el siguiente esquema iterativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}$

donde el par { a _n ( y ), b _n ( y )} es la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}}$

aquí está la aproximación de n -ésimo orden a la solución y N u se ha expandido consistentemente en polinomios Adomianos:${\displaystyle \varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}$

donde y f ( u ) = u ² en el ejemplo (1).${\displaystyle A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})}$

Aquí C (ν, n ) son productos (o suma de productos) de ν componentes de u cuyos subíndices suman n , dividido por el factorial del número de subíndices repetidos. Es sólo una regla general ordenar sistemáticamente la descomposición para asegurarse de que todas las combinaciones que aparecen se utilizan tarde o temprano.

El es igual a la suma de una serie de Taylor generalizada alrededor de u ₀ . ^[1]${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}$

Para el ejemplo (1) los polinomios de Adomian son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}}$

También son posibles otras elecciones posibles para la expresión de A _n .

Soluciones en serie

Cherruault estableció que los términos de la serie obtenidos por el método de Adomian se acercan a cero como 1 / ( mn )! si m es el orden del operador diferencial lineal más alto y eso . ^[5] Con este método la solución se puede encontrar integrando sistemáticamente a lo largo de cualquiera de las dos direcciones: en la dirección x usaríamos la expresión (3); en la dirección y alternativa usaríamos la siguiente expresión:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi ^{n}=u}$

${\displaystyle u=c(x)+d(x)y+L_{y}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu}$

donde: c ( x ), d ( x ) se obtiene de las condiciones de contorno en y = - y _l y y = y _l :

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\end{aligned}}}$

Si llamamos las dos soluciones respectivas x-parcial solución y solución y-parcial , una de las consecuencias más interesantes del método es que el x-parcial solución utiliza sólo las dos condiciones de contorno (1-a) y la solución y-parcial usa solo las condiciones (1-b).

Por lo tanto, uno de los dos conjuntos de funciones de frontera { f ₁ , f ₂ } o { g ₁ , g ₂ } es redundante, y esto implica que una ecuación diferencial parcial con condiciones de frontera en un rectángulo no puede tener condiciones de frontera arbitrarias en las fronteras. , dado que las condiciones en x = x ₁ , x = x ₂ deben ser consistentes con las impuestas en y = y ₁ e y = y ₂ .

Un ejemplo para aclarar este punto es la solución del problema de Poisson con las siguientes condiciones de contorno:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end{aligned}}}$

Al usar el método de Adomian y un procesador simbólico (como Mathematica o Maple ) es fácil obtener la aproximación de tercer orden a la solución. Esta aproximante tiene un error menor a 5 × 10 ⁻¹⁶ en cualquier punto, como se puede demostrar mediante sustitución en el problema inicial y mostrando el valor absoluto del residual obtenido en función de ( x , y ). ^[6]

La solución en y = -0.25 ey = 0.25 viene dada por funciones específicas que en este caso son:

${\displaystyle g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\times 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.555556\,x^{6}}$

y g ₂ ( x ) = g ₁ ( x ) respectivamente.

Si ahora se realiza una integración (doble) en la dirección y usando estas dos funciones de frontera, se obtendrá la misma solución, que satisface u ( x = 0, y ) = 0 y u ( x = 0.5, y ) = 0 y no puede satisfacer ninguna otra condición en estas fronteras.

Algunas personas se sorprenden con estos resultados; Parece extraño que no todas las condiciones de frontera iniciales deban usarse explícitamente para resolver un sistema diferencial. Sin embargo, es un hecho bien establecido que cualquier ecuación elíptica tiene una y solo una solución para cualquier condición funcional en los cuatro lados de un rectángulo, siempre que no haya discontinuidad en los bordes. La causa del concepto erróneo es que los científicos e ingenieros normalmente piensan en una condición de frontera en términos de convergencia débil en un espacio de Hilbert.(la distancia a la función de límite es lo suficientemente pequeña para fines prácticos). En contraste, los problemas de Cauchy imponen una convergencia de punto a punto a una función de frontera dada y a todas sus derivadas (¡y esta es una condición bastante fuerte!). Para los primeros, una función satisface una condición de frontera cuando el área (u otra distancia funcional) entre ella y la función verdadera impuesta en la frontera es tan pequeña como se desea; para los segundos, sin embargo, la función debe tender a la función verdadera impuesta en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

El problema de Poisson comentado no tiene solución para ninguna condición de contorno funcional f ₁ , f ₂ , g ₁ , g ₂ ; sin embargo, dado f ₁ , f ₂ siempre es posible encontrar funciones de frontera g ₁ ^* , g ₂ ^* tan cerca de g ₁ , g ₂como se desee (en el sentido de convergencia débil) para el que el problema tiene solución. Esta propiedad hace posible resolver los problemas de Poisson y muchos otros con condiciones de contorno arbitrarias, pero nunca para funciones analíticas especificadas exactamente en los límites. El lector puede convencerse a sí mismo (a sí mismo) de la alta sensibilidad de las soluciones PDE a pequeños cambios en las condiciones de contorno resolviendo este problema integrando a lo largo de la dirección x , con funciones de contorno ligeramente diferentes aunque visualmente no distinguibles. Por ejemplo, la solución con las condiciones de contorno:

${\displaystyle f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.260416\,y^{4}-0.277778\,y^{6}}$

en x = 0 y x = 0.5, y la solución con las condiciones de contorno:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

en x = 0 y x = 0.5, producen funciones laterales con convexidad de signo diferente, aunque ambas funciones no son visualmente distinguibles.

Las soluciones de problemas elípticos y otras ecuaciones diferenciales parciales son muy sensibles a pequeños cambios en la función de límite impuesta cuando solo se utilizan dos lados. Y esta sensibilidad no es fácilmente compatible con modelos que se supone representan sistemas reales, que se describen mediante medidas que contienen errores experimentales y que normalmente se expresan como problemas de valor de frontera inicial en un espacio de Hilbert.

Mejoras en el método de descomposición

Se han informado al menos tres métodos ^{[6] [7] [8]} para obtener las funciones de frontera g ₁ ^* , g ₂ ^* que son compatibles con cualquier conjunto lateral de condiciones { f ₁ , f ₂ } impuestas. Esto hace posible encontrar la solución analítica de cualquier problema de límite de PDE en un rectángulo cerrado con la precisión requerida, lo que permite resolver una amplia gama de problemas que el método estándar de Adomian no pudo abordar.

El primero perturba las dos funciones de frontera impuestas en x = 0 y x = x ₁ (condición 1-a) con un polinomio de orden N en y : p ₁ , p ₂ de tal manera que: f ₁ '= f ₁ + p ₁ , f ₂ '= f ₂ + p ₂ , donde la norma de las dos funciones de perturbación es menor que la precisión necesaria en los límites. Estos p ₁ , p ₂dependerá de un conjunto de coeficientes polinómicos c _i , i = 1, ..., N . Entonces, el método Adomian se aplica y se obtienen funciones en los cuatro límites que dependen de la serie de c _i , i = 1, ..., N . Finalmente, una función de frontera F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) se define como la suma de estas cuatro funciones, y la distancia entre F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N) y las funciones de contorno reales ((1-a) y (1-b)) se minimizan. El problema se ha reducido, de esta manera, a la minimización global de la función F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) que tiene un mínimo global para alguna combinación de los parámetros c _i , i = 1, ..., N . Este mínimo se puede encontrar mediante un algoritmo genético o utilizando algún otro método de optimización, como el propuesto por Cherruault (1999). ^[9]

Un segundo método para obtener aproximaciones analíticas de problemas de límites iniciales es combinar la descomposición de Adomian con métodos espectrales. ^[7]

Finalmente, el tercer método propuesto por García-Olivares se basa en imponer soluciones analíticas en los cuatro límites, pero modificando el operador diferencial original de tal manera que se diferencie del original solo en una región estrecha cercana a los límites, y obliga a la solución a satisfacer exactamente las condiciones analíticas en los cuatro límites. ^[8]

Galería

Referencias

1. Adomian, G. (1994). Resolución de problemas de Física de Frontier: El método de descomposición . Editores académicos de Kluwer.
2. Adomian, G. (1986). Ecuaciones de operadores estocásticos no lineales . Editores académicos de Kluwer. ISBN 978-0-12-044375-8. [1]
3. Liao, SJ (2012), Método de análisis de homotopía en ecuación diferencial no lineal , Berlín y Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3642251313 [2]
4. Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Teoría de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Ondas Solitarias . Prensa de educación superior. pag. 15. ISBN 978-90-5809-369-1.
5. Cherruault, Y. (1989), "Convergencia del método de Adomian", Kybernetes , 18 (2): 31–38, doi : 10.1108 / eb005812
6. García-Olivares, A. (2003), "Solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales con descomposición de Adomian", Kybernetes , 32 (3): 354–368, doi : 10.1108 / 03684920310458584 [3]
7. García-Olivares, A. (2002), "Aproximaciones analíticas de ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo con métodos tau", Matemáticas y computadoras en simulación , 61 : 35–45, doi : 10.1016 / s0378-4754 (02) 00133-7 , hdl : 10261/51182 [4]
8. García-Olivares, A. (2003), "Solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de la física", Kybernetes , 32 (4): 548–560, doi : 10.1108 / 03684920310463939 , hdl : 10261/51176[DOI: 10.1108 / 03684920310463939] [5]
9. Cherruault, Y. (1999). Optimización, métodos locales y globales . Prensas Universitaires de France. ISBN 978-2-13-049910-7.