En matemáticas , un núcleo de Fredholm es un cierto tipo de núcleo en un espacio de Banach , asociado con operadores nucleares en el espacio de Banach. Son una abstracción de la idea de la ecuación integral de Fredholm y el operador de Fredholm , y son uno de los objetos de estudio en la teoría de Fredholm . Los núcleos de Fredholm reciben su nombre en honor a Erik Ivar Fredholm . Gran parte de la teoría abstracta de los núcleos de Fredholm fue desarrollada por Alexander Grothendieck y publicada en 1955.
Definición
Deje que B sea un arbitraria espacio de Banach , y sea B * ser su doble, es decir, el espacio de acotado lineal funcionales en B . El producto tensorial tiene una terminación bajo la norma
donde el mínimo se toma sobre todas las representaciones finitas
La terminación, bajo esta norma, a menudo se denota como
y se denomina producto tensorial topológico proyectivo . Los elementos de este espacio se denominan núcleos de Fredholm .
Propiedades
Cada kernel de Fredholm tiene una representación en la forma
con y tal que y
Asociado con cada uno de estos núcleos hay un operador lineal
que tiene la representación canónica
Asociado con cada kernel de Fredholm hay un rastro, definido como
p -granos acumulables
Se dice que un kernel de Fredholm es p -sumible si
Se dice que un núcleo de Fredholm es de orden q si q es el mínimo de todospara todo p para el que es p -sumible.
Operadores nucleares en espacios de Banach
Un operador L : B → B se dice que es un operador nuclear si existe una X ∈tal que L = L X . Se dice que tal operador es p- sumable y de orden q si X lo es. En general, puede haber más de una X asociada con dicho operador nuclear, por lo que la traza no está definida de forma única. Sin embargo, si el orden q ≤ 2/3, entonces hay una traza única, según lo dado por un teorema de Grothendieck.
Teorema de Grothendieck
Si es un operador de orden entonces se puede definir una traza, con
dónde son los valores propios de. Además, el determinante de Fredholm
es una función completa de z . La formula
sostiene también. Finalmente, siestá parametrizado por algún parámetro w de valor complejo , es decir,, y la parametrización es holomórfica en algún dominio, entonces
es holomórfico en el mismo dominio.
Ejemplos de
Un ejemplo importante es el espacio de Banach de funciones holomorfas sobre un dominio . En este espacio, cada operador nuclear es de orden cero y, por lo tanto, es de clase traza .
Espacios nucleares
La idea de un operador nuclear se puede adaptar a los espacios de Fréchet . Un espacio nuclear es un espacio de Fréchet donde cada mapa acotado del espacio a un espacio arbitrario de Banach es nuclear.
Referencias
- Grothendieck A (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Matemáticas. Soc . 16 .
- Grothendieck A (1956). "La théorie de Fredholm". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 84 : 319–84.
- BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Fréchet M (noviembre de 1932). "Sobre el comportamiento de la enésima iteración de un núcleo de Fredholm cuando n se vuelve infinita" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 18 (11): 671–3. doi : 10.1073 / pnas.18.11.671 . PMC 1076308 . PMID 16577494 .