Red distributiva
En matemáticas , un retículo distributivo es un retículo en el que las operaciones de unir y encontrarse se distribuyen entre sí. Los ejemplos prototípicos de tales estructuras son colecciones de conjuntos para los cuales las operaciones de celosía se pueden dar mediante la unión y la intersección de conjuntos . De hecho, estos retículos de conjuntos describen completamente el paisaje: cada retículo distributivo es —salvo el isomorfismo— dado como tal retículo de conjuntos.
Como en el caso de los retículos arbitrarios, se puede optar por considerar un retículo distributivo L como una estructura de teoría del orden o de álgebra universal . Ambos puntos de vista y su correspondencia mutua se discuten en el artículo sobre celosías . En la situación actual, la descripción algebraica parece ser más conveniente.
Una red ( L ,∨,∧) es distributiva si la siguiente identidad adicional se cumple para todas las x , y y z en L :
Al ver los retículos como conjuntos parcialmente ordenados, esto dice que la operación de reunión conserva uniones finitas no vacías. Es un hecho básico de la teoría de la red que la condición anterior es equivalente a su dual : [1]
En cada red, definiendo p ≤ q como de costumbre para significar p ∧ q = p , la desigualdad x ∧ ( y ∨ z ) ≥ ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) se cumple tan bien como su desigualdad dual x ∨ ( y ∧ z ) ≤ ( X ∨ y ) ∧ ( X ∨ z). Una red es distributiva si también se cumple una de las desigualdades inversas. Se puede encontrar más información sobre la relación de esta condición con otras condiciones de distributividad de la teoría del orden en el artículo sobre distributividad (teoría del orden) .
Un morfismo de retículos distributivos es simplemente un homomorfismo de retículos como se indica en el artículo sobre retículos , es decir, una función que es compatible con las dos operaciones de retículos. Debido a que tal morfismo de retículas conserva la estructura de la retícula, en consecuencia también preservará la distributividad (y por lo tanto será un morfismo de retículas distributivas).
