En matemáticas , un supermódulo es un módulo de grado Z 2 sobre un superanillo o superálgebra . Los supermódulos surgen en el álgebra superlineal, que es un marco matemático para estudiar el concepto de supersimetría en la física teórica .
Los supermódulos sobre una superálgebra conmutativa pueden verse como generalizaciones de superespacios vectoriales sobre un campo K (puramente par) . Los supermódulos suelen desempeñar un papel más destacado en el álgebra superlineal que los superespacios vectoriales. Esta razón es que a menudo es necesario o útil ampliar el campo de los escalares para incluir variables impares. Al hacerlo, se pasa de los campos a las superálgebras conmutativas y de los espacios vectoriales a los módulos.
Sea A una superálgebra fija . Un supermódulo derecho sobre A es un módulo derecho E sobre A con una descomposición de suma directa (como un grupo abeliano )
Se dice que los elementos de E i son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo x , denotada por | x |, es 0 o 1 según esté en E 0 o E 1 . Se dice que los elementos de paridad 0 son pares y los de paridad 1 impares . Si a es un escalar homogéneo yx es un elemento homogéneo de E entonces | x · un | es homogénea y | x · un | = | x | + | un |.
Asimismo, los supermódulos y superbimódulos izquierdos se definen como módulos o bimódulos izquierdos sobre A cuyas multiplicaciones escalares respetan las graduaciones de manera obvia. Si A es superconmutativo , entonces cada supermódulo izquierdo o derecho sobre A puede considerarse como un superbimódulo estableciendo
para elementos homogéneos a ∈ A y x ∈ E , y extendiéndose por linealidad. Si A es puramente par esto se reduce a la definición ordinaria.