En matemáticas , un super espacio vectorial es un- espacio vectorial graduado , es decir, un espacio vectorial sobre un campo con una descomposición dada de subespacios de grado y grado . El estudio de los super espacios vectoriales y sus generalizaciones a veces se denomina álgebra super lineal . Estos objetos encuentran su aplicación principal en la física teórica, donde se utilizan para describir los diversos aspectos algebraicos de la supersimetría .
Definiciones
Un super espacio vectorial es un -espacio vectorial graduado con descomposición [1]
Vectores que son elementos de cualquiera o se dice que son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo distinto de cero, denotado por, es o según esté en o ,
Los vectores de paridad 0 se denominan pares y los de paridad 1 se denominan impares . En física teórica, los elementos pares a veces se denominan elementos de Bose o bosónicos , y los elementos impares, elementos de Fermi o fermiónicos. Las definiciones de los espacios supervectoriales a menudo se dan solo en términos de elementos homogéneos y luego se extienden a elementos no homogéneos por linealidad.
Si es de dimensión finita y las dimensiones de y están y respectivamente, entonces se dice que tiene dimensión . El espacio de supercoordenadas estándar, denotado, es el espacio de coordenadas ordinario donde el subespacio par está atravesado por el primer vectores de base de coordenadas y el espacio impar es atravesado por el último .
Un subespacio homogéneo de un superespacio vectorial es un subespacio lineal que está atravesado por elementos homogéneos. Los subespacios homogéneos son super espacios vectoriales por derecho propio (con la gradación obvia).
Para cualquier super espacio vectorial , se puede definir el espacio invertido de paridad para ser el super espacio vectorial con los subespacios pares e impares intercambiados. Es decir,
Transformaciones lineales
Un homomorfismo , un morfismo en la categoría de super espacios vectoriales, de un super espacio vectorial a otro es una transformación lineal que conserva el grado . Una transformación lineal entre espacios super vectoriales preserva el grado si
Es decir, mapea los elementos pares de incluso elementos de y elementos extraños de a elementos extraños de . Un isomorfismo de super espacios vectoriales es un homomorfismo biyectivo . El conjunto de todos los homomorfismos. se denota . [2]
Cada transformación lineal, no necesariamente de conservación de la calificación, de un superespacio vectorial a otro se puede escribir de forma única como la suma de una transformación de conservación de la calificación y una de inversión de la calificación, es decir, una transformación. tal que
Declarar que las transformaciones que conservan el grado son pares y que las que invierten el grado son impares da el espacio de todas las transformaciones lineales de a , denotado y llamado interno , la estructura de un super espacio vectorial. En particular, [3]
Una transformación de inversión de grado de a puede considerarse como un homomorfismo de al espacio invertido de paridad , así que eso
Operaciones en super espacios vectoriales
Las construcciones algebraicas habituales para espacios vectoriales ordinarios tienen su contraparte en la configuración del super espacio vectorial.
Espacio dual
El espacio dual de un super espacio vectorial puede ser considerado como un superespacio vectorial al considerar que los funcionales pares son aquellos que desaparecen en y los funcionales impares son los que se desvanecen en . [4] De manera equivalente, se puede definir para ser el espacio de mapas lineales de a (el campo base considerado como un espacio supervectorial puramente uniforme) con la gradación dada en la sección anterior.
Suma directa
Las sumas directas de espacios super vectoriales se construyen como en el caso sin clasificar con la clasificación dada por
Producto tensor
También se pueden construir productos tensoriales de espacios super vectoriales. Aquí la estructura aditiva deentra en juego. El espacio subyacente es como en el caso sin clasificar con la calificación dada por
donde están los índices . Específicamente, uno tiene
Supermódulos
Así como se pueden generalizar espacios vectoriales sobre un campo a módulos sobre un anillo conmutativo , se pueden generalizar espacios super vectoriales sobre un campo a supermódulos sobre un álgebra (o anillo) superconmutativa .
Una construcción común cuando se trabaja con espacios super vectoriales es ampliar el campo de escalares a un álgebra de Grassmann superconmutativa . Dado un campo dejar
denotar el álgebra de Grassmann generada por anticonmutación de elementos impares . Cualquier super vector espacio terminado se puede incrustar en un módulo sobre considerando el producto tensorial (graduado)
La categoría de super espacios vectoriales
La categoría de super espacios vectoriales , denotada por, es la categoría cuyos objetos son super espacios vectoriales (sobre un campo fijo) y cuyos morfismos son incluso transformaciones lineales (es decir, las que conservan el grado).
El enfoque categórico del álgebra súper lineal consiste en formular primero definiciones y teoremas con respecto a los objetos algebraicos ordinarios (sin clasificar) en el lenguaje de la teoría de categorías y luego transferirlos directamente a la categoría de espacios súper vectoriales. Esto conduce a un tratamiento de "superobjetos" como superalgebras , superalgebras de Lie , supergrupos , etc. que es completamente análogo a sus contrapartes no calificadas.
La categoría es una categoría monoidal con el producto super tensor como producto monoidal y el espacio supervectorial puramente uniformecomo el objeto de la unidad. El operador de trenzado involutivo
dada por
sobre elementos homogéneos, vueltas en una categoría monoidal simétrica . Este isomorfismo de conmutatividad codifica la "regla de los signos" que es esencial para el álgebra súper lineal. Efectivamente dice que se toma un signo menos cada vez que se intercambian dos elementos impares. No es necesario preocuparse por los signos en la configuración categórica siempre que se utilice el operador anterior cuando sea apropiado.
es también una categoría monoidal cerrada con el objeto Hom interno ,, dado por el super espacio vectorial de todos los mapas lineales de a . Lo ordinario colocar es el subespacio par en el mismo:
El hecho de que está cerrado significa que el funtor se deja adjunto al functor, dada una biyección natural
Superalgebra
Una superalgebra sobre se puede describir como un super espacio vectorial con un mapa de multiplicación
eso es un homomorfismo de super espacio vectorial. Esto equivale a exigir [5]
La asociatividad y la existencia de una identidad se pueden expresar con los diagramas conmutativos habituales, de modo que una superalgebra asociativa unital sobrees un monoide en la categoría.
Notas
- ^ Varadarajan 2004 , p. 83
- ^ Varadarajan 2004 , p. 83
- ^ Varadarajan 2004 , p. 83
- ^ Varadarajan 2004 , p. 84
- ^ Varadarajan 2004 , p. 87
Referencias
- Deligne, P .; Morgan, JW (1999). "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)" . Cuerdas y campos cuánticos: un curso para matemáticos . 1 . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5- a través de IAS .
- Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. 11 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3574-6.