En álgebra abstracta , un bimódulo es un grupo abeliano que es tanto un módulo izquierdo como un módulo derecho , de modo que las multiplicaciones izquierda y derecha son compatibles. Además de aparecer de forma natural en muchas partes de las matemáticas, los bimódulos juegan un papel clarificador, en el sentido de que muchas de las relaciones entre los módulos izquierdo y derecho se vuelven más simples cuando se expresan en términos de bimódulos.
Definición
Si R y S son dos anillos , entonces un bimódulo R - S - es un grupo abeliano tal que:
- M es un módulo R izquierdo y un módulo S derecho .
- Por todo r en R , s en S y m en M :
Un R - R -bimodule también se conoce como R -bimodule.
Ejemplos de
- Para los números enteros positivos n y m , el conjunto M n , m ( R ) de n × m matrices de números reales es un R - S -bimodule, donde R es el anillo M n ( R ) de n × n matrices, y S es el anillo M m ( R ) de las matrices m × m . La suma y la multiplicación se llevan a cabo utilizando las reglas habituales de suma y multiplicación de matrices ; las alturas y anchos de las matrices se han elegido de modo que se defina la multiplicación. Tenga en cuenta que M n , m ( R ) en sí mismo no es un anillo (a menos que n = m ), porque multiplicar una matriz n × m por otra matriz n × m no está definido. La propiedad crucial del bimódulo, que ( rx ) s = r ( xs ) , es el enunciado de que la multiplicación de matrices es asociativa .
- Si R es un anillo, entonces el propio R puede considerarse un R - R -bimódulo al considerar que las acciones izquierda y derecha son una multiplicación: las acciones conmutan por asociatividad. Esto se puede extender a R n (el producto directo n veces mayor de R ).
- Cualquier ideal de dos lados de un anillo R es un R - R -bimódulo.
- Cualquier módulo sobre un anillo conmutativo R es automáticamente un bimódulo. Por ejemplo, si M es un módulo de la izquierda, podemos definir que la multiplicación de la derecha sea lo mismo que la multiplicación de la izquierda. (Sin embargo, no todos los bimódulos R surgen de esta manera).
- Si M es un módulo R izquierdo , entonces M es un módulo b R - Z , donde Z es el anillo de números enteros . De manera similar, los módulos R derechos se pueden interpretar como bimódulos Z - R y, de hecho, un grupo abeliano puede tratarse como un bimódulo Z - Z.
- Si R es un subanillo de S , entonces S es un R - R -bimódulo. También es un módulo R - S - y S - R -bimodule.
- Si M es un bimódulo S - R y N es un bimódulo R - T , entonceses un S - T -bimodule.
Más nociones y hechos
Si M y N son bimódulos R - S , entonces un mapa f : M → N es un homomorfismo bimódulo si es tanto un homomorfismo de los módulos R izquierdos como de los módulos S derechos.
Un módulo R - S es en realidad lo mismo que un módulo izquierdo sobre el anillo, dónde es el anillo opuesto de S (con la multiplicación invertida). Los homomorfismos de bimódulo son los mismos que los homomorfismos de izquierda.módulos. Usando estos hechos, muchas definiciones y declaraciones sobre módulos se pueden traducir inmediatamente en definiciones y declaraciones sobre bimodules. Por ejemplo, la categoría de todos los bimódulos R - S es abeliana , y los teoremas de isomorfismo estándar son válidos para los bimódulos.
Sin embargo, hay algunos efectos nuevos en el mundo de los bimódulos, especialmente cuando se trata del producto tensorial : si M es un bimódulo R - S y N es un bimódulo S - T , entonces el producto tensorial de M y N (tomado sobre el anillo S ) es un bimódulo R - T de forma natural. Este producto tensorial de bimódulos es asociativo ( hasta un isomorfismo canónico único), por lo que se puede construir una categoría cuyos objetos son los anillos y cuyos morfismos son los bimódulos. De hecho, esta es una categoría 2 , de manera canónica: 2 morfismos entre R - S -bimódulos M y N son exactamente homomorfismos bimódulos, es decir, funciones
satisfactorio
- ,
para m ∈ M , r ∈ R , y s ∈ S . Uno verifica inmediatamente la ley de intercambio para homomorfismos bimódulos, es decir
Se cumple siempre que se defina uno de los lados (y por lo tanto el otro) de la ecuación, y donde ∘ es la composición habitual de los homomorfismos. En esta interpretación, la categoría Fin ( R ) = Bimod ( R , R ) es exactamente la categoría monoidal de R - R -bimódulos con el producto tensorial habitual sobre R el producto tensorial de la categoría. En particular, si R es un anillo conmutativo , cada módulo R izquierdo o derecho es canónicamente un bimódulo R - R , lo que da una incrustación monoidal de la categoría R - Mod en Bimod ( R , R ) . El caso de que R sea un campo K es un ejemplo motivador de una categoría monoidal simétrica, en cuyo caso R - Mod = K - Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre K , con el producto tensorial habitualdando a la estructura monoidal, y con la unidad de K . También vemos que un monoide en Bimod ( R , R ) es exactamente un R -álgebra. Ver (Calle 2003). [1] Además, si M es un módulo B R - S y L es un módulo b T - S , entonces el conjunto Hom S ( M , L ) de todos los homomorfismos del módulo S de M a L se convierte en un T - R - módulo de forma natural. Estas declaraciones se extienden a los functores derivados Ext y Tor .
Los profunctores pueden verse como una generalización categórica de los bimódulos.
Tenga en cuenta que los bimódulos no están relacionados en absoluto con las bialgebras .
Ver también
Referencias
- ^ Street, Ross (20 de marzo de 2003). "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia". arXiv : matemáticas / 0303175 .
- Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman and Company. págs. 133-136. ISBN 0-7167-1933-9.