Fórmulas de Frenet-Serret

"Binormal" vuelve a dirigir aquí. Para conocer el significado teórico de categorías de esta palabra, consulte morfismo normal .

Una curva espacial; los vectores T , N y B ; y el plano osculador atravesado por T y N

En geometría diferencial , las fórmulas de Frenet-Serret describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva diferenciable continua en el espacio euclidiano tridimensional R ³ , o las propiedades geométricas de la curva misma independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen las derivadas de los llamados vectores unitarios tangentes, normales y binormales entre sí. Las fórmulas llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet , en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret. en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal que se utilizan actualmente para escribir estas fórmulas aún no estaban en uso en el momento de su descubrimiento.

Los vectores unitarios tangente, normal y binormal, a menudo llamados T , N y B , o colectivamente el marco Frenet-Serret o marco TNB , juntos forman una base ortonormal que abarca R ³ y se definen de la siguiente manera:

• T es el vector unitario tangente a la curva, que apunta en la dirección del movimiento.
• N es el vector unitario normal , la derivada de T con respecto al parámetro de longitud de arco de la curva, dividido por su longitud.
• B es el vector unitario binormal, el producto cruzado de T y N .

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}$

donde d / ds es la derivada con respecto a la longitud del arco, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva. Los dos escalares κ y τ definen efectivamente la curvatura y torsión de una curva espacial. La colección asociada, T , N , B , κ y τ , se denomina aparato de Frenet-Serret . Intuitivamente, la curvatura mide la falla de una curva para que sea una línea recta, mientras que la torsión mide la falla de una curva para que sea plana.

Definiciones

Los vectores T y N en dos puntos de una curva plana, una versión traducida del segundo cuadro (punteado) y el cambio en T : δ T ' . δs es la distancia entre los puntos. En el límite estará en la dirección N y la curvatura describe la velocidad de rotación del marco.${\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}}$

Sea r ( t ) una curva en el espacio euclidiano , que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a curvas que no son degeneradas , lo que aproximadamente significa que tienen una curvatura distinta de cero . Más formalmente, en esta situación se requiere que el vector de velocidad r ′ ( t ) y el vector de aceleración r ′ ′ ( t ) no sean proporcionales.

Sea s ( t ) la longitud del arco que la partícula se ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t . La cantidad s se usa para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por longitud de arco, ya que muchas trayectorias de partículas diferentes pueden trazar la misma curva geométrica atravesándola a diferentes velocidades. En detalle, s viene dado por

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .}$

Además, dado que asumimos que r ′ ≠ 0, se deduce que s ( t ) es una función estrictamente creciente monótona. Por lo tanto, es posible resolver t como una función de s , y así escribir r ( s ) = r ( t ( s )). Por tanto, la curva se parametriza de manera preferida por su longitud de arco.

Con una curva r ( s ) no degenerada , parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir la trama Frenet-Serret (o trama TNB ):

• El vector unitario tangente T se define como

  ${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}}$

  ( 1 )

• El vector unitario normal N se define como

  ${\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.}$

  ( 2 )

Tenga en cuenta que al llamar a curvatura obtenemos automáticamente la primera relación.${\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}$

• El vector unitario binormal B se define como el producto cruzado de T y N :

  ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .}$

  ( 3 )

El marco Frenet-Serret se mueve a lo largo de una hélice . La T está representada por la flecha azul, N está representada por la flecha roja mientras que B está representada por la flecha negra.

De la ecuación ( 2 ) que sigue, ya que T siempre tiene unidad de magnitud , que N (el cambio de T ) es siempre perpendicular a T , ya que no hay cambio en la longitud de T . De la ecuación ( 3 ) se deduce que B siempre es perpendicular tanto T y N . Por tanto, los tres vectores unitarios T , N y B son todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}}$

donde está la curvatura y es la torsión .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como teorema de Frenet-Serret y se pueden enunciar de forma más concisa mediante la notación matricial: ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Esta matriz es simétrica sesgada .

Fórmulas en n dimensiones

Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizadas a espacios euclidianos de dimensiones superiores por Camille Jordan en 1874.

Suponga que r ( s ) es una curva suave en R ⁿ , y que las primeras n derivadas de r son linealmente independientes. ^[2] Los vectores en el marco Frenet-Serret son una base ortonormal construida aplicando el proceso de Gram-Schmidt a los vectores ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ^{( n )} ( s )).

En detalle, el vector tangente unitario es el primer vector Frenet e ₁ ( s ) y se define como

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}}$

donde

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}$

El vector normal , a veces llamado vector de curvatura , indica la desviación de la curva de ser una línea recta. Se define como

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}$

Su forma normalizada, el vector normal unitario , es el segundo vector Frenet e ₂ ( s ) y se define como

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}}$

La tangente y el vector normal en el punto s definen el plano osculante en el punto r ( s ).

Los vectores restantes en el marco (el binormal, trinormal, etc.) se definen de manera similar por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}}{\mbox{, }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}}$

El último vector en el marco está definido por el producto cruzado de los primeros n-1 vectores:

${\displaystyle {\mathbf {e} _{n}}(s)={\mathbf {e} _{1}}(s)\times {\mathbf {e} _{2}}(s)\times \dots \times {\mathbf {e} _{n-2}}(s)\times {\mathbf {e} _{n-1}}(s)}$

Las funciones de valor real utilizadas debajo de χ _i ( s ) se denominan curvatura generalizada y se definen como

${\displaystyle \chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}}$

Las fórmulas de Frenet-Serret , expresadas en lenguaje matricial, son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\\\end{aligned}}\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1}(s)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que, como se define aquí, las curvaturas generalizadas y el marco pueden diferir ligeramente de la convención que se encuentra en otras fuentes. La curvatura superior (también llamada torsión, en este contexto) y el último vector en el marco , se diferencian por un signo${\displaystyle \chi _{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)}$

(la orientación de la base) de la torsión habitual. Las fórmulas de Frenet-Serret son invariantes al cambiar el signo de ambos y , y este cambio de signo hace que el marco esté orientado positivamente. Como se definió anteriormente, el marco hereda su orientación del chorro de .${\displaystyle \chi _{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Prueba

Considere la matriz de 3 por 3

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$

Las filas de esta matriz son vectores unitarios perpendiculares entre sí: una base ortonormal de . Como resultado, la transpuesta de Q es igual a la inversa de Q : Q es una matriz ortogonal . Basta mostrar que${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que la primera fila de esta ecuación ya se cumple, por definición de la normal N y la curvatura κ , así como la última fila por la definición de torsión. Por tanto, basta con mostrar que dQ / ds Q ^T es una matriz de simetría sesgada . Como I = QQ ^T , tomando una derivada y aplicando la regla del producto se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI}{ds}}=\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }+Q\left({\frac {dQ}{ds}}\right)^{\top }\\\implies \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }=-\left(\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{\top }\right)^{\top }\\\end{aligned}}}$

que establece la simetría oblicua requerida. ^[3]

Aplicaciones e interpretación

Cinemática del cuadro

El marco Frenet-Serret moviéndose a lo largo de una hélice en el espacio

El marco Frenet-Serret que consta de la tangente T , N normal y B binormal forma colectivamente una base ortonormal de espacio tridimensional. En cada punto de la curva, esto adjunta un marco de referencia o un sistema de coordenadas rectilíneas (ver imagen).

Las fórmulas de Frenet-Serret admiten una interpretación cinemática . Imagine que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, utilizando el marco adjunto en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas de Frenet-Serret significan que este sistema de coordenadas gira constantemente a medida que un observador se mueve a lo largo de la curva. Por tanto, este sistema de coordenadas siempre es no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector Darboux del marco.

Se observa que una peonza cuyo eje se sitúa a lo largo de la binormal gira con rapidez angular κ. Si el eje está a lo largo de la tangente, se observa que gira con rapidez angular τ.

Concretamente, suponga que el observador lleva consigo una parte superior ( inercial) (o giroscopio ) a lo largo de la curva. Si el eje de la parte superior apunta a lo largo de la tangente a la curva, entonces se observará que gira alrededor de su eje con velocidad angular -τ relativa al sistema de coordenadas no inercial del observador. Si, por el contrario, el eje de la parte superior apunta en la dirección binormal, entonces se observa que gira con velocidad angular -κ. Esto se visualiza fácilmente en el caso de que la curvatura sea una constante positiva y la torsión desaparezca. El observador se encuentra entonces en un movimiento circular uniforme . Si la parte superior apunta en la dirección de la binormal, entonces, por conservación del momento angular , debe girar en el sentido opuesto.dirección del movimiento circular. En el caso límite en que la curvatura desaparece, la normal del observador precesa alrededor del vector tangente y, de manera similar, la parte superior rotará en la dirección opuesta a esta precesión.

El caso general se ilustra a continuación . Hay más ilustraciones en Wikimedia.

Aplicaciones. La cinemática del marco tiene muchas aplicaciones en las ciencias.

• En las ciencias de la vida , particularmente en modelos de movimiento microbiano, se han utilizado consideraciones del marco Frenet-Serret para explicar el mecanismo por el cual un organismo en movimiento en un medio viscoso cambia su dirección. ^[4]
• En física, el marco Frenet-Serret es útil cuando es imposible o inconveniente asignar un sistema de coordenadas natural para una trayectoria. Tal es a menudo el caso, por ejemplo, de la teoría de la relatividad . Dentro de este entorno, los marcos de Frenet-Serret se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitacional. ^[5]

Ilustraciones gráficas

1. Ejemplo de una base de Frenet en movimiento ( T en azul, N en verde, B en violeta) a lo largo de la curva de Viviani .

2. En el ejemplo de un nudo toroidal , se muestran el vector tangente T , el vector normal N y el vector binormal B , junto con la curvatura κ (s) y la torsión τ (s).
   En los picos de la función de torsión, la rotación del marco Frenet-Serret ( T , N , B ) alrededor del vector tangente es claramente visible.

3. El significado cinemático de la curvatura se ilustra mejor con curvas planas (que tienen una torsión constante igual a cero). Consulte la página sobre la curvatura de las curvas planas .

Fórmulas de Frenet-Serret en cálculo

Las fórmulas de Frenet-Serret se introducen con frecuencia en los cursos de cálculo multivariable como un complemento al estudio de las curvas espaciales como la hélice . Una hélice se puede caracterizar por la altura 2π hy el radio r de un solo giro. La curvatura y torsión de una hélice (con radio constante) están dadas por las fórmulas

${\displaystyle \kappa ={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \tau =\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.}$

Dos hélices (slinkies) en el espacio. (a) Una hélice más compacta con mayor curvatura y menor torsión. (b) Una hélice estirada con una torsión ligeramente mayor pero una curvatura menor.

El signo de la torsión se determina por el diestro o zurdo sentido en el que los giros de hélice alrededor de su eje central. Explícitamente, la parametrización de un solo giro de una hélice derecha con altura 2π hy radio r es

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

y, para una hélice para zurdos,

x = r cos t

y = - r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π).

Tenga en cuenta que estas no son las parametrizaciones de la longitud del arco (en cuyo caso, cada una de las x , y y z deberían dividirse entre ).${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

En sus escritos expositivos sobre la geometría de las curvas, Rudy Rucker ^[6] emplea el modelo de un slinky para explicar el significado de la torsión y la curvatura. El furtivo, dice, se caracteriza por la propiedad de que la cantidad

${\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}$

permanece constante si el slinky se estira verticalmente a lo largo de su eje central. (Aquí 2π h es la altura de un solo giro del slinky y r el radio.) En particular, la curvatura y la torsión son complementarias en el sentido de que la torsión se puede incrementar a expensas de la curvatura estirando el slinky.

Expansión de Taylor

Diferenciar repetidamente la curva y aplicar las fórmulas de Frenet-Serret da la siguiente aproximación de Taylor a la curva cerca de s  = 0: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{4}).}$

Para una curva genérica con torsión que no desaparece, la proyección de la curva en varios planos de coordenadas en el sistema de coordenadas T , N , B en s = 0 tiene las siguientes interpretaciones:

• El plano osculador es el plano que contiene T y N . La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).}$$
  Se trata de una parábola hasta términos de orden o ( s ² ), cuya curvatura en 0 es igual a κ (0).
• El plano normal es el plano que contiene N y B . La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$
  que es un cúspide cúbico de orden o ( s ³ ).
• El plano de rectificación es el plano que contiene T y B . La proyección de la curva sobre este plano es:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$
  que traza la gráfica de un polinomio cúbico hasta el orden o ( s ³ ).

Cintas y tubos

Una cinta definida por una curva de torsión constante y una curvatura muy oscilante. La parametrización de la longitud del arco de la curva se definió mediante la integración de las ecuaciones de Frenet-Serret.

El aparato de Frenet-Serret permite definir ciertas cintas y tubos óptimos centrados alrededor de una curva. Estos tienen diversas aplicaciones en la ciencia de los materiales y la teoría de la elasticidad , ^[8] así como en los gráficos por computadora . ^[9]

La cinta de Frenet ^{[10] a lo} largo de una curva C es la superficie trazada al barrer el segmento de línea [- N , N ] generado por la unidad normal a lo largo de la curva. Esta superficie es a veces confundido con el desarrollable tangente , que es la envolvente E de los planos osculadores de C . Esto es quizás porque tanto la cinta Frenet y E exhiben propiedades similares a lo largo de C . Es decir, los planos tangentes de ambas hojas de E , cerca del lugar singular C donde se cruzan estas hojas, se acercan a los planos osculantes de C; los planos tangentes de la cinta de Frenet a lo largo de C son iguales a estos planos osculantes. La cinta Frenet, en general, no se puede desarrollar.

Congruencia de curvas

En la geometría euclidiana clásica , uno está interesado en estudiar las propiedades de las figuras en el plano que son invariantes bajo congruencia, de modo que si dos figuras son congruentes, entonces deben tener las mismas propiedades. El aparato de Frenet-Serret presenta la curvatura y la torsión como invariantes numéricos de una curva espacial.

En términos generales, dos curvas C y C ′ en el espacio son congruentes si una se puede mover rígidamente a la otra. Un movimiento rígido consiste en una combinación de traslación y rotación. Una traslación mueve un punto de C a un punto de C ′. La rotación luego ajusta la orientación de la curva C para alinearse con la de C ′. Esta combinación de traslación y rotación se denomina movimiento euclidiano . En términos de la parametrización r ( t ) que define la primera curva C , un movimiento euclidiano general de C es un compuesto de las siguientes operaciones:

• ( Traslación ) r ( t ) → r ( t ) + v , donde v es un vector constante.
• ( Rotación ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ), donde M es la matriz de una rotación.

El marco Frenet-Serret se comporta particularmente bien con respecto a los movimientos euclidianos. Primero, dado que T , N y B se pueden dar como derivadas sucesivas de la parametrización de la curva, cada una de ellas es insensible a la adición de un vector constante a r ( t ). Intuitivamente, el marco TNB adjunto a r ( t ) es el mismo que el marco TNB adjunto a la nueva curva r ( t ) + v .

Esto deja solo las rotaciones a considerar. Intuitivamente, si aplicamos una rotación M a la curva, entonces el marco TNB también gira. Más precisamente, la matriz Q cuyas filas son los vectores TNB del marco Frenet-Serret cambia por la matriz de una rotación

${\displaystyle Q\rightarrow QM.}$

A fortiori , la matriz dQ / ds Q ^T no se ve afectada por una rotación:

${\displaystyle {\frac {d(QM)}{ds}}(QM)^{\top }={\frac {dQ}{ds}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {dQ}{ds}}Q^{\top }}$

ya que MM ^T = I para la matriz de una rotación.

Por lo tanto, las entradas κ y τ de dQ / ds Q ^T son invariantes de la curva bajo movimientos euclidianos: si se aplica un movimiento euclidiano a una curva, la curva resultante tiene la misma curvatura y torsión.

Además, utilizando el marco de Frenet-Serret, también se puede probar lo contrario: dos curvas cualesquiera que tengan la misma función de curvatura y torsión deben ser congruentes mediante un movimiento euclidiano. En términos generales, las fórmulas de Frenet-Serret expresan la derivada de Darboux del marco TNB . Si las derivadas de Darboux de dos marcos son iguales, entonces una versión del teorema fundamental del cálculo afirma que las curvas son congruentes. En particular, la curvatura y la torsión son un conjunto completo de invariantes para una curva en tres dimensiones.

Otras expresiones del marco

Las fórmulas dadas anteriormente para T , N y B dependen de la curva dada en términos del parámetro de longitud de arco. Esta es una suposición natural en la geometría euclidiana, porque la longitud de arco es una invariante euclidiana de la curva. En la terminología de la física, la parametrización de arclength es una elección natural de gauge . Sin embargo, puede resultar incómodo trabajar con él en la práctica. Hay disponibles otras expresiones equivalentes.

Suponga que la curva viene dada por r ( t ), donde el parámetro t ya no necesita ser arclength. Entonces, el vector unitario tangente T puede escribirse como

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}.}$

El vector normal N toma la forma

${\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}.}$

El binormal B es entonces

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}.}$

Una forma alternativa de llegar a las mismas expresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ) y aplicar el proceso de Gram-Schmidt . La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco TNB . Este procedimiento también se generaliza para producir marcos Frenet en dimensiones más altas.

En términos del parámetro t , las fórmulas de Frenet-Serret recogen un factor adicional de || r ′ ( t ) || debido a la regla de la cadena :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Pueden calcularse expresiones explícitas para la curvatura y la torsión. Por ejemplo,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}.}$

La torsión se puede expresar usando un producto triple escalar de la siguiente manera,

${\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}.}$

Casos especiales

Si la curvatura es siempre cero, la curva será una línea recta. Aquí los vectores N , B y la torsión no están bien definidos.

Si la torsión es siempre cero, entonces la curva estará en un plano.

Una curva puede tener una curvatura distinta de cero y una torsión cero. Por ejemplo, el círculo de radio R dado por r ( t ) = ( R cos t , R pecado t , 0) en la z = 0 avión tiene cero torsión y la curvatura igual a 1 / R . Sin embargo, lo contrario es falso. Es decir, una curva regular con torsión distinta de cero debe tener una curvatura distinta de cero. (Esto es solo lo contrario del hecho de que la curvatura cero implica una torsión cero).

Una hélice tiene una curvatura y una torsión constantes.

Curvas planas

Dada una curva contenida en el plano x - y , su vector tangente T también está contenido en ese plano. Su vector binormal B puede postularse naturalmente para que coincida con la normal al plano (a lo largo del eje z ). Por último, la curva normal se puede encontrar de completar el sistema de mano derecha, N = B × T . ^[11] Esta forma está bien definida incluso cuando la curvatura es cero; por ejemplo, la normal a una línea recta en un plano será perpendicular a la tangente, todo coplanar.

Ver también

• Geometría afín de curvas
• Geometría diferencial de curvas
• Marco Darboux
• Cinemática
• Marco móvil

Notas

1. Kühnel , 2002 , §1.9
2.  realidad,sólo el primer n - 1 debe ser linealmente independiente, ya que el vector de fotograma restante final e _n se puede elegir como vector unitario ortogonal al intervalo de los demás, de modo que el fotograma resultante esté orientado positivamente.
3. Esta prueba es probablemente debido a Élie Cartan . Ver Griffiths (1974) donde se da la misma prueba, pero utilizando el formulario de Maurer-Cartan . Nuestra descripción explícita de la forma Maurer-Cartan usando matrices es estándar. Véase, por ejemplo, Spivak, Volumen II, pág. 37. Una generalización de este prueba para n dimensiones no es difícil, pero se omitió en aras de la exposición. Nuevamente, consulte Griffiths (1974) para obtener más detalles.
4. Crenshaw (1993).
5. Iyer y Vishveshwara (1993).
6. Rucker, Rudy (1999). "Observación de moscas volar: curvas del espacio de Kappatau" . Universidad Estatal de San José. Archivado desde el original el 15 de octubre de 2004.
7. Kühnel 2002 , p. 19
8. Goriely y col. (2006).
9. Hanson.
10. Para conocer la terminología, consulte Sternberg (1964). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Englewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall. pag. 252 -254..
11. Weisstein, Eric W. "Vector normal" . MathWorld . Wolfram.

Referencias

• Crenshaw, HC; Edelstein-Keshet, L. (1993), "Orientación por movimiento helicoidal II. Cambio de la dirección del eje del movimiento", Boletín de Biología Matemática , 55 (1): 213-230, doi : 10.1016 / s0092-8240 (05 ) 80070-9
• Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino (1995), Cálculo de Salas y Hille - Una y varias variables (7ª ed.), John Wiley & Sons, p. 896
• Frenet, F. (1847), Sur les courbes à double courbure (PDF) , Thèse, Toulouse. Resumen en Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
• Goriely, A .; Robertson-Tessi, M .; Tabor, M .; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models", BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2006-12-29.
• Griffiths, Phillip (1974), "Sobre el método de Cartan de grupos de mentiras y marcos móviles aplicados a cuestiones de unicidad y existencia en geometría diferencial", Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775-814, doi : 10.1215 / S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID  12966544.
• Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometría diferencial , Dover, ISBN 0-486-63433-7
• Hanson, AJ (2007), "Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves" (PDF) , Informe técnico de la Universidad de Indiana
• Iyer, BR; Vishveshwara, CV (1993), "Descripción de Frenet-Serret de la precesión giroscópica", Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc / 9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I , doi : 10.1103 / physrevd.48.5706 , PMID  10016237
• Jordan, Camille (1874), "Sur la théorie des courbes dans l'espace à n Dimensions", CR Acad. Sci. París , 79 : 795–797
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• Struik, Dirk J. (1961), Conferencias sobre geometría diferencial clásica , lectura, masa: Addison-Wesley.

enlaces externos

• Cree sus propias ilustraciones animadas de marcos Frenet-Serret en movimiento, funciones de curvatura y torsión ( Maple -Worksheet)
• Papel KappaTau de Rudy Rucker .
• Muy buena representación visual del trihedro.