máximos y mínimos
En análisis matemático , los máximos y mínimos (los respectivos plurales de máximo y mínimo ) de una función , conocidos colectivamente como extremos (el plural de extremum ), son el valor más grande y más pequeño de la función, ya sea dentro de un rango dado (el local o extremos relativos ), o en todo el dominio (los extremos globales o absolutos ). [1] [2] [3] Pedro de Fermatfue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la adecuación , para encontrar los máximos y mínimos de las funciones.
Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados , como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.
Una función de valor real f definida en un dominio X tiene un punto máximo global (o absoluto )en x ∗ , si f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X . De manera similar, la función tiene un punto mínimo global (o absoluto )en x ∗ , si f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X . El valor de la función en un punto máximo se llamavalor máximo de la función, denotado, y el valor de la función en un punto mínimo se llama elvalor mínimo de la función. Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:
Si el dominio X es un espacio métrico , entonces se dice que f tiene un punto máximo local (o relativo )en el punto x ∗ , si existe algún ε > 0 tal que f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ∗ . De manera similar, la función tiene un punto mínimo localen x ∗ , si f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ∗ . Se puede usar una definición similar cuando X es un espacio topológico , ya que la definición que se acaba de dar se puede reformular en términos de vecindades. Matemáticamente, la definición dada se escribe de la siguiente manera:
Tanto en el caso global como en el local, el concepto dese puede definir el extremo estricto . Por ejemplo,x∗es unpunto máximo global estricto si para todoxenXcon x ≠ x ∗ , tenemos f ( x ∗ ) > f ( x ), yx∗es unpunto máximo local estricto si existe algún ε > 0tal que, para todoxenXdentro de la distanciaεdex∗con x ≠ x ∗ , tenemos f ( x ∗ ) > f ( x ). Tenga en cuenta que un punto es un punto máximo global estricto si y solo si es el punto máximo global único, y de manera similar para los puntos mínimos.
Una función continua de valor real con un dominio compacto siempre tiene un punto máximo y un punto mínimo. Un ejemplo importante es una función cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado de números reales (ver el gráfico anterior).
