En matemáticas , el teorema espectral de Freudenthal es un resultado de la teoría del espacio de Riesz probada por Hans Freudenthal en 1936. Establece aproximadamente que cualquier elemento dominado por un elemento positivo en un espacio de Riesz con la propiedad de proyección principal puede, en cierto sentido, aproximarse uniformemente por simple funciones .
Se pueden derivar numerosos resultados bien conocidos del teorema espectral de Freudenthal. Se puede demostrar que el conocido teorema de Radon-Nikodym , la validez de la fórmula de Poisson y el teorema espectral de la teoría de los operadores normales siguen como casos especiales del teorema espectral de Freudenthal.
Declaración
Deje que e sea elemento positivo alguno en un espacio de Riesz E . Un elemento positivo de p en E se llama componente de e si. Sison componentes disjuntos por pares de e , cualquier combinación lineal real dese llama función e -simple.
El Freudenthal espectral teorema: Sea E ser cualquier espacio de Riesz con la propiedad principal proyección y ae cualquier elemento positivo en E . Entonces, para cualquier elemento f en el ideal principal generado por e , existen secuencias y de e -funciones simples, tales queestá aumentando monótona y converge ae -uniformly a f , yes monótono decreciente y converge e -uniformemente af .
Relación con el teorema Radon-Nikodym
Dejar ser un espacio de medida yel espacio real de firmado-medidas aditivas sobre. Se puede demostrar quees un Dedekind completo Banach Lattice con la norma de variación total y, por lo tanto, tiene la propiedad de proyección principal . Para cualquier medida positiva, -Se puede mostrar que las funciones simples (como se definen anteriormente) corresponden exactamente a -funciones simples medibles en(en el sentido habitual). Además, dado que según el teorema espectral de Freudenthal, cualquier medidaen la banda generada por puede aproximarse monótonamente desde abajo por -funciones simples medibles en , por el teorema de convergencia monótona de Lebesgue puede mostrarse que corresponde a un función y establece un isomorfismo de celosía isométrica entre la banda generada por y la celosía de Banach .
Ver también
Referencias
- Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5
- Zaanen, Adriaan C .; Luxemburgo, WAJ (1971), espacios de Riesz I , Holanda Septentrional , ISBN 0-7204-2451-8