En matemáticas , y específicamente en el campo de la teoría de la homotopía , el teorema de la suspensión de Freudenthal es el resultado fundamental que conduce al concepto de estabilización de los grupos de homotopía y, en última instancia, a la teoría de la homotopía estable . Explica el comportamiento de tomar suspensiones y aumentar simultáneamente el índice de los grupos de homotopía del espacio en cuestión. Fue probado en 1937 por Hans Freudenthal .
El teorema es un corolario del teorema de escisión de homotopía .
Declaración del teorema
Sea X un espacio puntiagudo conectado con n (un complejo CW puntiagudo o un conjunto simplicial puntiagudo ). El mapa
induce un mapa
en grupos de homotopía, donde Ω denota el functor de bucle y Σ denota el functor de suspensión reducido . El teorema de la suspensión establece que el mapa inducido en grupos de homotopía es un isomorfismo si k ≤ 2 n y un epimorfismo si k = 2 n + 1.
Un resultado básico en espacios de bucle da la relación
por lo que el teorema podría expresarse de otra manera en términos del mapa
con la pequeña salvedad de que en este caso hay que tener cuidado con la indexación.
Prueba
Como se mencionó anteriormente, el teorema de la suspensión de Freudenthal se sigue rápidamente de la escisión de homotopía ; esta prueba es en términos del mapa natural. Si un espacio es -conectado, luego el par de espacios es -conectado, donde es el cono reducido sobre; esto se sigue de la secuencia exacta larga de homotopía relativa . Podemos descomponernos como dos copias de , decir , cuya intersección es . Luego, la escisión de homotopía dice el mapa de inclusión:
induce isomorfismos en y una sobreyección en . De la misma secuencia exacta relativamente larga, y dado que además los conos son contráctiles,
Poniendo todo esto junto, obtenemos
por , es decir , como se afirmó anteriormente; por los mapas de la izquierda y la derecha son isomorfismos, independientemente de lo conectados es, y el del medio es una sobreyección por escisión, por lo que la composición es una sobreyección como se afirma.
Corolario 1
Sea S n la n- esfera y observe que está ( n - 1) -conectada de modo que los grupos estabilizar para por el teorema de Freudenthal. Estos grupos representan el k- ésimo grupo de esferas de homotopía estable .
Corolario 2
Más en general, para fijo k ≥ 1, k ≤ 2 n para suficientemente grande n , de modo que cualquier n comunicado con los espacio X se habrá estabilizado correspondientes grupos de homotopía. Estos grupos son en realidad los grupos de homotopía de un objeto correspondiente a X en la categoría de homotopía estable .
Referencias
- Freudenthal, H. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen" , Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
- Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en matemáticas, 174 , Basilea-Boston-Berlín: Birkhäuser.
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
- Whitehead, GW (1953), "Sobre los teoremas de Freudenthal", Annals of Mathematics , 57 (2): 209-228, doi : 10.2307 / 1969855 , JSTOR 1969855 , MR 0055683.