Álgebra de Frobenius
En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de la representación y la teoría de módulos , un álgebra de Frobenius es un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita con un tipo especial de forma bilineal que le da a las álgebras teorías de dualidad particularmente agradables. Las álgebras de Frobenius comenzaron a ser estudiadas en la década de 1930 por Richard Brauer y Cecil Nesbitt y recibieron su nombre de Ferdinand Frobenius . Tadashi Nakayama descubrió los comienzos de una rica teoría de la dualidad ( Nakayama 1939 ), ( Nakayama 1941 ). Jean Dieudonné usó esto para caracterizar las álgebras de Frobenius ( Dieudonné 1958 ). Las álgebras de Frobenius se generalizaron a anillos cuasi-Frobenius , aquellos anillos de Noether cuya representación regular correcta es inyectiva . En los últimos tiempos, se ha renovado el interés por las álgebras de Frobenius debido a las conexiones con la teoría topológica cuántica de campos .
Se dice que un álgebra A asociativa unitaria de dimensión finita definida sobre un campo k es un álgebra de Frobenius si A está equipada con una forma bilineal no degenerada σ : A × A → k que satisface la siguiente ecuación: σ ( a · b , do ) = σ ( un , segundo · do ) . Esta forma bilineal se llama la forma de Frobenius del álgebra.
De manera equivalente, uno puede equipar a A con un funcional lineal λ : A → k tal que el núcleo de λ no contiene un ideal izquierdo distinto de cero de A .
Un álgebra de Frobenius se llama simétrica si σ es simétrica , o equivalentemente λ satisface λ ( a · b ) = λ ( b · a ) .
Para un álgebra A de Frobenius con σ como arriba, el automorfismo ν de A tal que σ ( a , b ) = σ ( ν ( b ), a ) es el automorfismo de Nakayama asociado a A y σ .
En la teoría de categorías , la noción de objeto de Frobenius es una definición abstracta de un álgebra de Frobenius en una categoría. Un objeto de Frobenius en una categoría monoidal consta de un objeto A de C junto con cuatro morfismos
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