En matemáticas , el teorema de Darboux-Froda , que lleva el nombre de Alexandru Froda , un matemático rumano, describe el conjunto de discontinuidades de una función monótona de valor real de una variable real. Por lo general, este teorema aparece en la literatura sin nombre. Fue escrito en la tesis de Froda en 1929. [1] [2] [ dudoso ] . Como se reconoce en la tesis, el teorema se debe de hecho a Jean Gaston Darboux . [3]
Definiciones
- Considere una función f de variable real x con valores reales definidos en una vecindad de un puntoy la función f es discontinua en el punto del eje real. Llamaremos discontinuidad removible o discontinuidad de salto una discontinuidad del primer tipo . [4]
- Denotar y . Entonces sí y son finitos llamaremos la diferencia el salto [5] de f en.
Si la función es continua en luego el salto en es cero. Además, si no es continuo en , el salto puede ser cero en Si .
Declaración precisa
Deje que f sea un valor real- monótona función definida en un intervalo I . Entonces, el conjunto de discontinuidades del primer tipo es, como mucho, contable .
Se puede probar [6] [7] que todos los puntos de discontinuidad de una función monótona de valor real definida en un intervalo son discontinuidades de salto y, por lo tanto, según nuestra definición, del primer tipo. Con esta observación, el teorema de Froda toma la forma más fuerte:
Sea f una función monótona definida en un intervalo. Entonces, el conjunto de discontinuidades es, como mucho, contable.
Prueba
Dejar ser un intervalo y , definido en , una función creciente . Tenemos
para cualquier . Dejar y deja ser puntos adentro en el que el salto de es mayor o igual a :
Tenemos o . Luego
y por lo tanto: .
Desde tenemos que el número de puntos en los que el salto es mayor que es finito o cero.
Definimos los siguientes conjuntos:
- ,
Tenemos que cada conjunto es finito o el conjunto vacío . La Unioncontiene todos los puntos en los que el salto es positivo y, por tanto, contiene todos los puntos de discontinuidad. Dado que cada es como mucho contable, tenemos que es como mucho contable.
Si está disminuyendo la prueba es similar.
Si el intervalo no es cerrado y acotado (y por lo tanto, según el teorema de Heine-Borel, no es compacto ), entonces el intervalo se puede escribir como una unión contable de intervalos cerrados y acotadoscon la propiedad de que dos intervalos consecutivos cualesquiera tienen un punto final en común:
Si luego dónde es una secuencia estrictamente decreciente tal que De manera similar si o si .
En cualquier intervalo tenemos como mucho muchos puntos contables de discontinuidad, y dado que una unión contable de como mucho conjuntos contables es como mucho contable, se sigue que el conjunto de todas las discontinuidades es como mucho contable.
Ver también
Notas
- ^ Alexandre Froda , Sur la Distribution des Propriétés de Voisinage des Fonctions de Variables Réelles , Thèse, Éditions Hermann , París, 3 de diciembre de 1929
- ↑ Alexandru Froda - Collected Papers (Opera Matematica), Vol.1 , Editor Academiei Române, 2000
- ↑ Jean Gaston Darboux , Mémoire sur les fonctions discontinues , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2-ème série, t. IV, 1875, Cap. VI.
- ^ Walter Rudin , Principios de análisis matemático , McGraw-Hill 1964, (Def. 4.26, págs. 81-82)
- ^ Miron Nicolescu , Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus , Análisis matemático (Bucarest 1971), vol. 1, pág. 213, [en rumano]
- ^ Walter Rudin , Principios del análisis matemático , McGraw-Hill 1964 (Corolario, p. 83)
- ^ Miron Nicolescu , Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus , Análisis matemático (Bucarest 1971), Vol. 1, p. 213, [en rumano]
Referencias
- Bernard R. Gelbaum, John MH Olmsted, Contraejemplos en análisis , Holden – Day, Inc., 1964. (18. Página 28)
- John MH Olmsted, Variables reales , Appleton – Century – Crofts, Inc., Nueva York (1956), (página 59, ejemplo 29).