En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo izquierdo simple fiel . Ejemplos bien conocidos incluyen anillos de endomorfismo de espacios vectoriales y álgebras de Weyl sobre campos de característica cero.
Definición
Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si tiene un módulo R izquierdo simple fiel . Un anillo primitivo derecho se define de manera similar con los módulos R derechos. Hay anillos que son primitivos en un lado pero no en el otro. El primer ejemplo fue construido por George M. Bergman en ( Bergman 1964 ). Otro ejemplo encontrado por Jategaonkar que muestra la distinción se puede encontrar en ( Rowen & 1988, p.159 ) .
Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y solo si hay un ideal izquierdo máximo que no contiene ideales bilaterales distintos de cero . La definición análoga para anillos primitivos derechos también es válida.
La estructura de los anillos primitivos izquierdos está completamente determinada por el teorema de densidad de Jacobson : un anillo se deja primitivo si y solo si es isomorfo a un subanillo denso del anillo de endomorfismos de un espacio vectorial izquierdo sobre un anillo de división .
Otra definición equivalente establece que un anillo se deja primitivo si y sólo si es un anillo principal con un módulo izquierdo fiel de longitud finita ( Lam 2001 , Ex. 11.19, p. 191 ).
Propiedades
Los anillos primitivos de un solo lado son anillos semiprimitivos y anillos primarios . Dado que el anillo producto de dos o más anillos distintos de cero no es primo, está claro que el producto de anillos primitivos nunca es primitivo.
Para un anillo Artiniano izquierdo , se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y " simple " son todas equivalentes, y en este caso es un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división. De manera más general, en cualquier anillo con un ideal mínimo unilateral, "primitivo izquierdo" = "primitivo derecho" = "primitivo".
Un anillo conmutativo se deja primitivo si y solo si es un campo .
Ser primitivo es una propiedad invariante de Morita .
Ejemplos de
Cada anillo simple R con unidad es primitivo a la izquierda y a la derecha. (Sin embargo, un anillo no unital simple no puede ser primitivo.) Esto se deduce del hecho de que R tiene una máxima dejó ideales M , y el hecho de que el módulo cociente R / M es un simple izquierda R -módulo, y que su aniquilador es un ideal a doble cara adecuada en R . Dado que R es un anillo simple, este aniquilador es {0} y, por lo tanto, R / M es un módulo R izquierdo fiel .
Las álgebras de Weyl sobre campos de característica cero son primitivas y, dado que son dominios , son ejemplos sin ideales unilaterales mínimos.
Anillos lineales completos
Un caso especial de anillos primitivos es el de los anillos lineales completos . Un anillo lineal completo izquierdo es el anillo de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial izquierdo de dimensión infinita sobre un anillo de división. (Un anillo lineal completo derecho se diferencia al usar un espacio vectorial derecho en su lugar.) En símbolos,donde V es un espacio vectorial sobre un anillo de división D . Se sabe que R es un anillo lineal completo izquierdo si y solo si R es regular de von Neumann , autoinyectivo izquierdo con zócalo soc ( R R ) ≠ {0}. ( Goodearl 1991 , pág.100 ) Mediante argumentos de álgebra lineal , se puede demostrar quees isomorfo al anillo de matrices finitas por filas , Donde I es un conjunto de índices cuyo tamaño es la dimensión de V sobre D . Asimismo anillos lineales derecho completos se pueden realizar como matrices columna finitos más de D .
Usando esto podemos ver que hay anillos primitivos izquierdos no simples. Según la caracterización de densidad de Jacobson, un anillo lineal completo izquierdo R siempre se deja primitivo. Cuando dim D V es finito, R es un anillo de matriz cuadrada sobre D , pero cuando dim D V es infinito, el conjunto de transformaciones lineales de rango finito es un ideal bilateral apropiado de R , y por lo tanto R no es simple.
Ver también
- ideal primitivo
Referencias
- Bergman, GM (1964), "Un anillo primitivo a la derecha pero no a la izquierda", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 15 (3): 473–475, doi : 10.1090 / S0002-9939-1964 -0167497-4 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2034527 , Sr. 0167497 pag. 1000 erratas
- Goodearl, KR (1991), anillos regulares de von Neumann (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., págs. Xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975
- Lam, Tsi-Yuen (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, 131 (2a ed.), Springer, ISBN 9781441986160, Señor 1838439
- Rowen, Louis H. (1988), teoría del anillo. Vol. I , Matemáticas puras y aplicadas, 127 , Boston, MA: Academic Press Inc., págs. Xxiv + 538, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245