En álgebra abstracta , un distinto de cero anillo R es un anillo primo si para cualquier par de elementos de una y b de R , arb = 0 para todos r en R implica que ya sea a = 0 o b = 0 . Esta definición puede considerarse como una generalización simultánea de dominios integrales y anillos simples .
Aunque este artículo analiza la definición anterior, el anillo principal también puede referirse al subanillo mínimo distinto de cero de un campo , que es generado por su elemento de identidad 1 y determinado por su característica . Para un campo característico 0, el anillo primo son los enteros , para un campo característico p (con p un número primo ) el anillo primo es el campo finito de orden p (cf. campo primo ). [1]
Definiciones equivalentes
Un anillo R es primo si y solo si el ideal cero {0} es un ideal primo en el sentido no conmutativo.
Siendo este el caso, las condiciones equivalentes para ideales primos producen las siguientes condiciones equivalentes para que R sea un anillo primario:
- Para dos ideales cualesquiera A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
- Para dos ideales rectos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
- Para dos ideales de izquierda A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
Usando estas condiciones, se puede verificar que lo siguiente sea equivalente a que R sea un anillo primario:
- Todos los ideales correctos distintos de cero son fieles como módulos R correctos .
- Todos los ideales izquierdos distintos de cero son fieles como módulos R izquierdos .
Ejemplos de
- Cualquier dominio es un anillo principal.
- Cualquier anillo simple es un anillo primario y, de manera más general, todo anillo primitivo izquierdo o derecho es un anillo primario.
- Cualquier anillo de matriz sobre un dominio integral es un anillo principal. En particular, el anillo de matrices enteras de 2 por 2 es un anillo principal.
Propiedades
- Un anillo conmutativo es un anillo principal si y solo si es un dominio integral .
- Un anillo es primo si y solo si su ideal cero es un ideal primo .
- Un anillo distinto de cero es primo si y solo si el monoide de sus ideales carece de divisores cero .
- El anillo de matrices sobre un anillo primario es nuevamente un anillo primario.
Notas
- ^ Página 90 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Lectura, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Referencias
- Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, Señor 1838439