En álgebra abstracta , el álgebra de Weyl es el anillo de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales (en una variable), es decir, expresiones de la forma
Más precisamente, dejar que F sea el subyacente campo , y dejar que F [ X ] ser el anillo de polinomios en una variable, X , con coeficientes en F . Entonces cada f i se encuentra en F [ X ].
∂ X es el derivado con respecto a X . El álgebra es generado por X y ∂ X .
El álgebra de Weyl es un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo de matriz sobre un anillo de división . También es un ejemplo no conmutativo de un dominio y un ejemplo de una extensión de Ore .
El álgebra de Weyl es isomórfica al cociente del álgebra libre en dos generadores, X e Y , por el ideal generado por el elemento
El álgebra de Weyl es el primero de una familia infinita de álgebras, también conocidas como álgebras de Weyl. La n -ésima álgebra de Weyl , A n , es el anillo de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales en n variables. Es generado por X i y ∂ X i , i = 1, ..., n .
Las álgebras de Weyl llevan el nombre de Hermann Weyl , quien las introdujo para estudiar el principio de incertidumbre de Heisenberg en mecánica cuántica . Es un cociente del álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg , el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , estableciendo el elemento central del álgebra de Heisenberg (es decir, [ X , Y ]) igual a la unidad del álgebra envolvente universal (llamada 1 arriba).
El álgebra de Weyl también se conoce como el álgebra de Clifford simpléctica . [1] [2] [3] Las álgebras de Weyl representan la misma estructura para las formas bilineales simplécticas que las álgebras de Clifford representan para las formas bilineales simétricas no degeneradas. [1]
Generadores y relaciones
Se puede dar una construcción abstracta de las álgebras A n en términos de generadores y relaciones. Comience con un espacio vectorial abstracto V (de dimensión 2 n ) equipado con una forma simpléctica ω . Defina el álgebra de Weyl W ( V ) como
donde T ( V ) es el álgebra tensorial de V , y la notaciónsignifica "el ideal generado por".
En otras palabras, W ( V ) es el álgebra generada por V sujeto solo a la relación vu - uv = ω ( v , u ) . Entonces, W ( V ) es isomorfo a A n mediante la elección de una base Darboux para ω .
Cuantización
El álgebra W ( V ) es una cuantificación del álgebra simétrica Sym ( V ). Si V está sobre un campo de característica cero, entonces W ( V ) es naturalmente isomórfico al espacio vectorial subyacente del álgebra simétrica Sym ( V ) equipado con un producto deformado - llamado el producto de Groenewold - Moyal (considerando que el álgebra simétrica es funciones polinomiales en V ∗ , donde las variables abarcan el espacio vectorial V , y reemplazando iħ en la fórmula del producto Moyal con 1).
El isomorfismo viene dado por el mapa de simetrización de Sym ( V ) a W ( V )
Si uno prefiere tener iħ y trabajar con números complejos, podría haber definido el álgebra de Weyl anterior como generado por X i e iħ∂ X i (según el uso de la mecánica cuántica ).
Así, el álgebra de Weyl es una cuantificación del álgebra simétrica, que es esencialmente la misma que la cuantificación de Moyal (si para la última se restringe a funciones polinómicas), pero la primera es en términos de generadores y relaciones (considerados operadores diferenciales ) y este último en términos de una multiplicación deformada.
En el caso de las álgebras exteriores , la cuantificación análoga a la de Weyl es el álgebra de Clifford , que también se conoce como álgebra ortogonal de Clifford . [2] [4]
Propiedades del álgebra de Weyl
En el caso de que el campo de tierra F tenga una característica cero, el n- ésimo álgebra de Weyl es un dominio noetheriano simple . Tiene dimensión global n , en contraste con el anillo que deforma, Sym ( V ), que tiene dimensión global 2 n .
No tiene representaciones de dimensión finita. Aunque esto se deduce de la simplicidad, se puede mostrar más directamente tomando la traza de σ ( X ) y σ ( Y ) para alguna representación de dimensión finita σ (donde [ X , Y ] = 1 ).
Dado que el rastro de un conmutador es cero y el rastro de la identidad es la dimensión de la representación, la representación debe ser de dimensión cero.
De hecho, hay afirmaciones más fuertes que la ausencia de representaciones de dimensión finita. Para cualquier módulo M de A n generado de forma finita , existe una subvariedad correspondiente Char ( M ) de V × V ∗ denominada 'variedad característica' [ aclaración necesaria ] cuyo tamaño corresponde aproximadamente al tamaño [ aclaración necesaria ] de M (una -el módulo dimensional tendría una variedad característica de dimensión cero). Entonces, la desigualdad de Bernstein establece que para M distinto de cero,
Una declaración aún más fuerte es el teorema de Gabber , que establece que Char ( M ) es un co-isotrópico subvariedad de V × V * para la forma simpléctica natural.
Característica positiva
La situación es considerablemente diferente en el caso de un álgebra de Weyl sobre un campo de característica p > 0 .
En este caso, para cualquier elemento D del álgebra de Weyl, el elemento D p es central, por lo que el álgebra de Weyl tiene un centro muy grande. De hecho, es un módulo finitamente generado sobre su centro; más aún, es un álgebra de Azumaya sobre su centro. Como consecuencia, hay muchas representaciones de dimensión finita que se construyen a partir de representaciones simples de dimensión p .
Centro constante
El centro del álgebra de Weyl es el campo de constantes. Para cualquier elemento en el centro, implica para todos y implica por . Por lo tanto es una constante.
Generalizaciones
Para obtener más detalles sobre esta cuantificación en el caso n = 1 (y una extensión que usa la transformada de Fourier a una clase de funciones integrables más grande que las funciones polinomiales), consulte Transformada de Wigner-Weyl .
Las álgebras de Weyl y las de Clifford admiten una estructura adicional de un * -álgebra , y pueden unificarse como términos pares e impares de una superalgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .
Variedades afines
Las álgebras de Weyl también se generalizan en el caso de variedades algebraicas. Considere un anillo polinomial
entonces un operador diferencial se define como una composición -derivaciones lineales de . Esto se puede describir explícitamente como el anillo del cociente
Referencias
- de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, MJ; Tanasa, A. (2006). "Subálgebras de Lie de dimensión finita del álgebra de Weyl". J. Teoría de la mentira . 16 : 427–454. arXiv : matemáticas / 0504224 . (Clasifica las subálgebras del álgebra de Weyl unidimensional sobre los números complejos; muestra la relación con SL (2, C) )
- Tsit Yuen Lam (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas . 131 (2ª ed.). Saltador. pag. 6. ISBN 978-0-387-95325-0.
- Coutinho, SC (1997). "Los muchos avatares de un álgebra simple" . American Mathematical Monthly . 104 (7): 593–604. doi : 10.1080 / 00029890.1997.11990687 .
- Traves, Will (2010). "Operaciones diferenciales en variedades de Grassmann". En Campbell, H .; Helminck, A .; Kraft, H .; Wehlau, D. (eds.). Simetría y espacios . Progreso en Matemáticas. 278 . Birkhäuse. págs. 197–207. doi : 10.1007 / 978-0-8176-4875-6_10 . ISBN 978-0-8176-4875-6.
- ^ a b Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). "Introducción: álgebras de Weyl" . Mapeos cuadráticos y álgebras de Clifford . Birkhäuser. pag. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4.
- ^ a b Abłamowicz, Rafał (2004). "Prólogo" . Álgebras de Clifford: aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería . Progreso en Física Matemática. Birkhäuser. págs. xvi. ISBN 0-8176-3525-4.
- ^ Oziewicz, Z .; Sitarczyk, Cz. (1989). "Tratamiento paralelo de álgebras de Clifford simplécticas y riemannianas" . En Micali, A .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Kluwer. págs. 83–96 ver pág. 92. ISBN 0-7923-1623-1.
- ^ Oziewicz y Sitarczyk , 1989 , p. 83