En matemáticas , más específicamente no conmutativo teoría del anillo , álgebra moderna , y la teoría de módulo , la densidad Jacobson teorema es un teorema relativo módulos simples sobre un anillo R . [1]
El teorema se puede aplicar para mostrar que cualquier anillo primitivo puede verse como un subanillo "denso" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. [2] [3] Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Teoría de la estructura de anillos simples sin supuestos de finitud" de Nathan Jacobson . [4] Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .
Motivación y declaración formal
Sea R un anillo y sea U un módulo R simple a la derecha . Si u es un elemento distinto de cero de U , u • R = U (donde u • R es el submódulo cíclico de U generado por u ). Por lo tanto, si u, v son elementos distintos de cero de U , hay un elemento de R que induce un endomorfismo de U transformando u en v . La pregunta natural ahora es si esto se puede generalizar a tuplas de elementos arbitrarias (finitas). Más precisamente, encuentre las condiciones necesarias y suficientes en la tupla ( x 1 , ..., x n ) y ( y 1 , ..., y n ) por separado, de modo que haya un elemento de R con la propiedad de que x i • r = y i para todo i . Si D es el conjunto de todos los R endomorfismos -Módulo de U , entonces el Lema de Schur afirma que D es un anillo de división, y la densidad Jacobson teorema responde a la pregunta de tuplas en la afirmativa, siempre que el x i son linealmente independientes sobre D .
Teniendo en cuenta lo anterior, el teorema se puede enunciar de esta manera:
- El teorema de la densidad de Jacobson. Sea U un módulo R recto simple , D = Fin ( U R ) y X ⊂ U un conjunto finito y D- linealmente independiente. Si A es un D transformación -linear en U entonces existe r ∈ R tal que A ( x ) = x • r para todo x en X . [5]
Prueba
En el teorema de la densidad de Jacobson, el módulo R derecho U se ve simultáneamente como un módulo D izquierdo donde D = Fin ( U R ) , de forma natural: g • u = g ( u ) . Se puede verificar que efectivamente es una estructura de módulo de la izquierda en U . [6] Como se señaló antes, el lema de Schur demuestra D es un anillo de división si U es simple, y por lo tanto U es un espacio vectorial sobre D .
La prueba también se basa en el siguiente teorema probado en ( Isaacs 1993 ) pag. 185:
- Teorema. Sea U un módulo R simple derecho , D = Fin ( U R ) y X ⊂ U un conjunto finito. Write I = ann R ( X ) para el aniquilador de X en R . Sea u en U con u • I = 0 . Entonces u está en XD ; la D - lapso de X .
Prueba del teorema de la densidad de Jacobson
Usamos inducción en | X | . Si X está vacío, entonces el teorema es vacuamente cierto y se verifica el caso base para la inducción.
Suponga que X no está vacío, sea x un elemento de X y escriba Y = X \ { x }. Si A es cualquier D transformación -linear en U , por la hipótesis de inducción existe s ∈ R tal que A ( y ) = y • es para todos y en Y . Escriba I = ann R ( Y ) . Se ve fácilmente que x • I es un submódulo de U . Si x • I = 0 , entonces el teorema anterior implica que x estaría en el intervalo D de Y , contradiciendo la independencia D- lineal de X , por lo tanto x • I ≠ 0 . Puesto que T es simple, tenemos: x • I = T . Dado que A ( x ) - x • s ∈ U = x • I , existe i en I tal que x • i = A ( x ) - x • s .
Defina r = s + i y observe que para todo y en Y tenemos:
Ahora hacemos el mismo cálculo para x :
Por lo tanto, A ( z ) = z • r para todo z en X , como se desee. Esto completa el paso inductivo de la demostración. De la inducción matemática se deduce ahora que el teorema es verdadero para conjuntos finitos X de cualquier tamaño.
Caracterización topológica
Se dice que un anillo R actúa densamente sobre un módulo R derecho simple U si satisface la conclusión del teorema de densidad de Jacobson. [7] Existe una razón topológica para describir R como "denso". En primer lugar, R se puede identificar con un subanillo de Fin ( D U ) identificando cada elemento de R con la transformación lineal D que induce mediante la multiplicación por la derecha. Si a U se le da la topología discreta , y si a U U se le da la topología del producto , y End ( D U ) se ve como un subespacio de U U y se le da la topología del subespacio , entonces R actúa densamente sobre U si y solo si R es un conjunto denso en End ( D U ) con esta topología. [8]
Consecuencias
El teorema de la densidad de Jacobson tiene varias consecuencias importantes en la teoría de la estructura de los anillos. [9] En particular, se recupera la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos rectos simples . El teorema de la densidad de Jacobson también caracteriza los anillos primitivos derecho o izquierdo como subanillos densos del anillo de transformaciones lineales D en algún espacio U de vectores D , donde D es un anillo de división. [3]
Relaciones con otros resultados
Este resultado está relacionado con el teorema del bicomutante de Von Neumann , que establece que, para un * -álgebra A de operadores en un espacio de Hilbert H , el doble conmutador A ′ ′ puede aproximarse mediante A en cualquier conjunto finito dado de vectores. En otras palabras, el conmutador doble es el cierre de A en la topología de operador débil. Véase también el teorema de densidad de Kaplansky en la configuración del álgebra de von Neumann.
Notas
- ^ Isaacs, pág. 184
- ^ Estos anillos de transformaciones lineales también se conocen como anillos lineales completos .
- ↑ a b Isaacs, Corolario 13.16, p. 187
- ^ Jacobson, Nathan "Teoría de la estructura de anillos simples sin supuestos de finitud"
- ↑ Isaacs, Teorema 13.14, p. 185
- ^ Por cierto, también es unaestructura de bimódulo D - R.
- ^ Herstein, Definición, p. 40
- ^ Resulta que esta topología es la misma que la topología compacta-abierta en este caso. Herstein, pág. 41 usa esta descripción.
- ^ Herstein, pág. 41
Referencias
- EN Herstein (1968). Anillos no conmutativos (1ª ed.). La Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-015-X.
- I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
- Jacobson, N. (1945), "Teoría de la estructura de anillos simples sin supuestos de finitud", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 57 : 228–245, doi : 10.1090 / s0002-9947-1945-0011680-8 , ISSN 0002-9947 , MR 0011680
enlaces externos
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