Ecuación funcional

---

En matemáticas , una ecuación funcional ^{[1] [2] [ cita irrelevante ]} es, en el sentido más amplio, una ecuación en la que una o varias funciones aparecen como incógnitas . Entonces, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones integrales son ecuaciones funcionales. Sin embargo, suele utilizarse un significado más restringido, donde una ecuación funcional es una ecuación que relaciona varios valores de una misma función. Por ejemplo, las funciones logarítmicas se caracterizan esencialmente por la ecuación funcional logarítmica ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y).}$

Si se supone que el dominio de la función desconocida son los números naturales , la función generalmente se considera una secuencia y, en este caso, una ecuación funcional (en el sentido más estricto) se denomina relación de recurrencia . Así, el término ecuación funcional se utiliza principalmente para funciones reales y funciones complejas . Además, a menudo se supone una condición de suavidad para las soluciones, ya que sin tal condición, la mayoría de las ecuaciones funcionales tienen soluciones muy irregulares. Por ejemplo, la función gamma es una función que satisface la ecuación funcional y el valor inicial${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$${\displaystyle f(1)=1.}$Hay muchas funciones que satisfacen estas condiciones, pero la función gamma es la única que es meromorfa en todo el plano complejo, y logarítmicamente convexa para x real y positiva ( teorema de Bohr-Mollerup ).

Una característica que todos los ejemplos enumerados anteriormente ^{[ se necesita aclaración ]} tienen en común es que, en cada caso, dos o más funciones conocidas (a veces la multiplicación por una constante, a veces la suma de dos variables, a veces la función identidad ) están dentro del argumento. de las funciones desconocidas a resolver. ^{[ cita necesaria ]}

Cuando se trata de preguntar por todas las soluciones, puede darse el caso de que se deban aplicar condiciones del análisis matemático ; por ejemplo, en el caso de la ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, las soluciones que son funciones continuas son las "razonables", mientras que se pueden construir otras soluciones que probablemente no tengan una aplicación práctica (utilizando una base de Hamel para los números reales como espacio vectorial sobre los números racionales ). El teorema de Bohr-Mollerup es otro ejemplo bien conocido.

Las involuciones se caracterizan por la ecuación funcional . Estos aparecen en la ecuación funcional de Babbage (1820), ^[3]${\displaystyle f(f(x))=x}$

Algunas soluciones a ecuaciones funcionales han explotado la sobreyectividad , la inyectividad , la imparidad y la uniformidad . ^{[ cita necesaria ]}

---