En matemáticas , se espera que las funciones L de la teoría de números tengan varias propiedades características, una de las cuales es que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales . Existe una teoría elaborada de lo que deberían ser estas ecuaciones, muchas de las cuales todavía son conjeturas.
Un ejemplo prototípico, la función zeta de Riemann tiene una ecuación funcional que relaciona su valor en el número complejo s con su valor en 1 - s . En todos los casos, esto se relaciona con algún valor ζ ( s ) que solo se define mediante la continuación analítica de la definición de serie infinita . Es decir, escribiendo - como es convencional - σ para la parte real de s , la ecuación funcional relaciona los casos
en la franja crítica a otro caso similar, reflejado en la línea σ = ½. Por tanto, el uso de la ecuación funcional es básico para estudiar la función zeta en todo el plano complejo .
donde Z ( s ) es ζ ( s ) multiplicado por un factor gamma , que involucra la función gamma . Esto ahora se lee como un factor 'extra' en el producto de Euler para la función zeta, correspondiente al primo infinito . La misma forma de ecuación funcional es válida para la función zeta de Dedekind de un campo numérico K , con un factor gamma apropiado que depende solo de las incrustaciones de K (en términos algebraicos, del producto tensorial de K con el campo real ).
con χ un carácter de Dirichlet primitivo , χ * su conjugado complejo, Λ la función L multiplicada por un factor gamma, y ε un número complejo de valor absoluto 1, de forma
donde G (χ) es una suma de Gauss formada a partir de χ. Esta ecuación tiene la misma función en ambos lados si y solo si χ es un carácter real , tomando valores en {0,1, −1}. Entonces ε debe ser 1 o −1, y el caso del valor −1 implicaría un cero de Λ ( s ) en s = ½. Según la teoría (de Gauss, en efecto) de las sumas de Gauss, el valor es siempre 1, por lo que no puede existir un cero tan simple (la función es par sobre el punto).