En la teoría algebraica de números , una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de unidad , típicamente
donde la suma es sobre los elementos r de algún anillo conmutativo finito R , ψ es un homomorfismo de grupo del grupo aditivo R + en el círculo unitario , y χ es un homomorfismo de grupo del grupo unitario R × en el círculo unitario, extendido a no -unidad r , donde toma el valor 0. Las sumas de Gauss son los análogos de los campos finitos de la función Gamma . [1]
Tales sumas son omnipresentes en la teoría de números . Se producen, por ejemplo, en las ecuaciones funcionales de Dirichlet L -Funciones , donde por un carácter de Dirichlet χ la ecuación que relaciona L ( s , chi ) y L (1 - s , χ ) (donde χ es el complejo conjugado de χ ) implica un factor [ aclaración necesaria ]
Historia
El caso considerado originalmente por Carl Friedrich Gauss fue la suma cuadrática de Gauss , para R el campo de residuos módulo un número primo p , y χ el símbolo de Legendre . En este caso, Gauss demostró que G ( χ ) = p 1 ⁄ 2 o ip1 ⁄ 2 parapcongruente con 1 o 3 módulo 4 respectivamente (la suma cuadrática de Gauss también se puede evaluar mediante análisis de Fourier así como medianteintegración de contorno).
Una forma alternativa para esta suma de Gauss es:
Las sumas cuadráticas de Gauss están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones theta .
La teoría general de las sumas de Gauss se desarrolló a principios del siglo XIX, con el uso de sumas de Jacobi y su descomposición principal en campos ciclotómicos . Las sumas de Gauss sobre un anillo de residuos de números enteros mod N son combinaciones lineales de sumas estrechamente relacionadas llamadas períodos gaussianos .
El valor absoluto de las sumas de Gauss se suele encontrar como una aplicación del teorema de Plancherel en grupos finitos. En el caso donde R es un campo de p elementos y χ no es trivial, el valor absoluto es p1 ⁄ 2 . La determinación del valor exacto de las sumas generales de Gauss, siguiendo el resultado de Gauss en el caso cuadrático, es un problema de larga data. Para algunos casos, consulte lasuma de Kummer.
Propiedades de las sumas de Gauss de los caracteres de Dirichlet
La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo N es
Si χ también es primitivo , entonces
en particular, es distinto de cero. De manera más general, si N 0 es el conductor de χ y χ 0 es el carácter de Dirichlet primitivo módulo N 0 que induce χ , entonces la suma de Gauss de χ está relacionada con la de χ 0 por
donde μ es la función de Möbius . En consecuencia, G ( χ ) es distinto de cero precisamente cuandonorte/N 0es libre de cuadrados y relativamente primo con respecto a N 0 . [2]
Otras relaciones entre G ( χ ) y las sumas de Gauss de otros caracteres incluyen
donde χ es el carácter de Dirichlet conjugado complejo, y si χ ′ es un carácter de Dirichlet módulo N ′ tal que N y N ′ son primos relativos, entonces
La relación entre G ( χχ ′) , G ( χ ) y G ( χ ′) cuando χ y χ ′ son del mismo módulo (y χχ ′ es primitivo) se mide mediante la suma de Jacobi J ( χ , χ ′) . Específicamente,
Otras propiedades
- Las sumas de Gauss se pueden utilizar para probar la reciprocidad cuadrática , la reciprocidad cúbica y la reciprocidad cuártica
- Las sumas de Gauss se pueden usar para calcular el número de soluciones de ecuaciones polinomiales sobre campos finitos y, por lo tanto, se pueden usar para calcular ciertas funciones zeta
Ver también
- Teorema de Chowla-Mordell
- Suma elíptica de Gauss
- Período gaussiano
- Relación Hasse-Davenport
- Suma de Jacobi
- Teorema de stickelberger
- Suma cuadrática de Gauss
- Suma Kummer
Referencias
- ^ RESUMEN DE GAUSS SOBRE CAMPOS FINITOS Y RAÍCES DE UNIDAD ROBERT J. LEMKE OLIVER PROCEDIMIENTOS DE LA SOCIEDAD MATEMÁTICA AMERICANA Volumen 139, Número 4, abril de 2011, páginas 1273-1276 S 0002-9939 (2010) 10662-7.
- ^ Teorema 9.10 en HL Montgomery, RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006).
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Serie de monografías y textos avanzados de la Canadian Mathematical Society. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001 .
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Textos de Posgrado en Matemáticas . 84 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001 .
- Sección 3.4 de Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Teoría analítica de números , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 53 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0, MR 2061214 , Zbl 1059.11001