donde el producto se toma sobre números primos , y es la suma
De hecho, si las consideramos como funciones generadoras formales , la existencia de tal expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que ser multiplicativo: esto dice exactamente que es el producto de la cuando sea factores como el producto de los poderes de primos distintos .
como es el caso de la función zeta de Riemann, donde y, de forma más general, para los personajes de Dirichlet .
Convergencia
En la práctica, todos los casos importantes son tales que las series infinitas y las expansiones infinitas de productos son absolutamente convergentes en alguna región.
es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos. Esto ya da alguna información, ya que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en tal semiplano.
En la teoría de formas modulares es típico tener aquí productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado my la teoría de representación para GL m .
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos usarán la notación
El producto de Euler adjunto a la función zeta de Riemann usando también la suma de la serie geométrica, es
Usando sus recíprocos, dos productos de Euler para la función de Möbius están
y
Tomando la proporción de estos dos da
Dado que para s pares la función zeta de Riemanntiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional deluego, para exponentes pares, este producto infinito se evalúa como un número racional. Por ejemplo, desde y luego
y así sucesivamente, con el primer resultado conocido por Ramanujan . Esta familia de infinitos productos también equivale a
dónde cuenta el número de factores primos distintos de n , yes el número de divisores libres de cuadrados .
Si es un personaje de Dirichlet de director así que eso es totalmente multiplicativo y solo depende de n módulo N , ysi n no es coprimo de N , entonces
Aquí es conveniente omitir los números primos p que dividen el conductor N del producto. En sus cuadernos, Ramanujan generalizó el producto de Euler para la función zeta como
por dónde es el polilogaritmo . Para el producto de arriba es solo
Constantes notables
Muchas constantes bien conocidas tienen expansiones de productos de Euler.
Constante de número de clase cuadrática OEIS : A065465 :
Constante sumatoria total OEIS : A065483 :
OEIS constante de Sarnak : A065476 :
OEIS constante despreocupada : A065464 :
OEIS constante muy despreocupado : A065473 :
OEIS constante de Stephens : A065478 :
OEIS constante de Barban : A175640 :
OEIS constante de Taniguchi : A175639 :
OEIS constante de Heath-Brown y Moroz : A118228 :
Notas
^ Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: Un tributo tricentenario , World Scientific, p. 214, ISBN 9781848165267.
Referencias
G. Polya , Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) LC Card 53-6388 (Una traducción al inglés muy accesible de las memorias de Euler sobre esta "Ley más extraordinaria de los números" aparece a partir de la página 91)
Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001 (Proporciona una discusión introductoria del producto de Euler en el contexto de la teoría de números clásica).
GH Hardy y EM Wright , Introducción a la teoría de los números , 5a ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (el capítulo 17 ofrece más ejemplos).
George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
G. Niklasch, Algunas constantes teóricas numéricas: valores de 1000 dígitos "