En matemáticas, una pila o 2 gavillas es, en términos generales, una gavilla que toma valores en categorías en lugar de conjuntos. Las pilas se utilizan para formalizar algunas de las principales construcciones de la teoría de la descendencia y para construir pilas de módulos finos cuando no existen espacios de módulos finos .
La teoría de la descendencia se ocupa de generalizaciones de situaciones en las que los objetos geométricos compatibles isomorfos (como los paquetes de vectores en los espacios topológicos ) se pueden "pegar" dentro de una restricción de la base topológica. En una configuración más general, las restricciones se reemplazan con retrocesos ; Las categorías fibradas constituyen un buen marco para discutir la posibilidad de dicho encolado. El significado intuitivo de una pila es que es una categoría de fibras de modo que "funcionan todos los pegados posibles". La especificación de pegados requiere una definición de recubrimientos con respecto a los cuales se pueden considerar los pegados. Resulta que el lenguaje general para describir estos revestimientos es el de unTopología de Grothendieck . Así, una pila se da formalmente como una categoría fibrada sobre otra categoría base , donde la base tiene una topología de Grothendieck y donde la categoría fibrada satisface algunos axiomas que aseguran la existencia y unicidad de ciertos pegados con respecto a la topología de Grothendieck.
Descripción general
Las pilas son la estructura subyacente de las pilas algebraicas (también llamadas pilas de Artin) y las pilas Deligne-Mumford, que generalizan esquemas y espacios algebraicos y que son particularmente útiles en el estudio de espacios de módulos . Hay inclusiones: esquemas ⊆ espacios algebraicos ⊆ pilas de Deligne-Mumford ⊆ pilas algebraicas (pilas de Artin) ⊆ pilas.
Edidin (2003) y Fantechi (2001) dan una breve introducción a las pilas, Gómez (2001) , Olsson (2007) y Vistoli (2005) dan introducciones más detalladas, y Laumon y Moret-Bailly (2000) describen la teoría más avanzada. .
Motivación e historia
Carta de Grothendieck a Serre, 5 de noviembre de 1959.
El concepto de pilas tiene su origen en la definición de datos de descenso efectivos en Grothendieck (1959) . En una carta de 1959 a Serre, Grothendieck observó que una obstrucción fundamental para construir buenos espacios de módulos es la existencia de automorfismos. Una motivación importante para las pilas es que si no existe un espacio de módulos para algún problema debido a la existencia de automorfismos, aún puede ser posible construir una pila de módulos.
Mumford (1965) estudió el grupo Picard de la pila de módulos de curvas elípticas , antes de que se definieran las pilas. Las pilas fueron definidas por primera vez por Giraud ( 1966 , 1971 ), y el término "pila" fue introducido por Deligne & Mumford (1969) para el término francés original "campeón" que significa "campo". En este artículo también introdujeron las pilas de Deligne-Mumford , a las que llamaron pilas algebraicas, aunque el término "pila algebraica" ahora generalmente se refiere a las pilas de Artin más generales introducidas por Artin ( 1974 ).
Cuando se definen cocientes de esquemas por acciones grupales, a menudo es imposible que el cociente sea un esquema y aún satisfaga propiedades deseables para un cociente. Por ejemplo, si algunos puntos tienen estabilizadores no triviales, entonces el cociente categórico no existirá entre los esquemas.
De la misma manera, los espacios modulos de curvas, paquetes vectoriales u otros objetos geométricos se definen mejor como pilas en lugar de esquemas. Las construcciones de espacios de módulos a menudo proceden construyendo primero un espacio más grande parametrizando los objetos en cuestión, y luego cociente por acción de grupo para dar cuenta de los objetos con automorfismos que se han contado en exceso.
Definiciones
Pilas abstractas
Una categoría con un functor a una categoría se llama una categoría de fibra sobre si por algun morfismo en y cualquier objeto de con imagen (bajo el functor), hay un retroceso de por . Esto significa un morfismo con imagen. tal que cualquier morfismo con imagen se puede factorizar como por un morfismo único en tal que el functor mapea a . El elementose llama el retroceso de a lo largo de y es único hasta el isomorfismo canónico.
La categoría c se denomina preapilado sobre una categoría C con una topología de Grothendieck si está fibrada sobre C y para cualquier objeto U de C y objetos x , y de c con imagen U , el functor de la categoría superior C / U a conjuntos tomando F : V → U a Hom ( F * x , F * y ) es una gavilla. Esta terminología no es coherente con la terminología para las gavillas: los apilamientos previos son los análogos de los premontados separados en lugar de los premontados. Algunos autores requieren esto como una propiedad de las pilas, más que de las pilas.
La categoría c se denomina pila sobre la categoría C con una topología de Grothendieck si es un apilamiento previo sobre C y cada dato de descenso es efectivo. Un dato de descenso consiste aproximadamente en un recubrimiento de un objeto V de C por una familia V i , elementos x i en la fibra sobre V i , y morfismos f ji entre las restricciones de x i y x j a V ij = V i × V V j satisfaciendo la condición de compatibilidad f ki = f kj f ji . El dato descenso se llama eficaz si los elementos de x i son esencialmente los retrocesos de un elemento x con la imagen V .
Una pila se llama pila en groupoids o una (2,1) -heaf si también está fibrada en groupoids, lo que significa que sus fibras (las imágenes inversas de los objetos de C ) son groupoids. Algunos autores usan la palabra "pila" para referirse a la noción más restrictiva de pila en los grupos.
Pilas algebraicas
Una pila algebraica o pila de Artin es una pila en groupoids X sobre el sitio fppf de manera que el mapa diagonal de X es representable y existe una sobreyección suave desde (la pila asociada a) un esquema a X. Un morfismo Y X de pilas es representable si, para cada morfismo S X de (la pila asociada a) un esquema a X, el producto de fibra Y × X S es isomorfo a (la pila asociada a) un espacio algebraico . El producto de fibra de las pilas se define utilizando la propiedad universal habitual y cambiando el requisito de que los diagramas se conmuten al requisito de que se conmuten 2 veces . Consulte también morfismo de pilas algebraicas para obtener más información.
La motivación detrás de la representabilidad de la diagonal es la siguiente: el morfismo diagonal es representable si y solo si para cualquier par de morfismos de espacios algebraicos , su producto de fibra es representable.
Una pila Deligne-Mumford es una pila de algebraica X de tal manera que hay un surjection étale de un esquema para X . En términos generales, las pilas de Deligne-Mumford se pueden considerar como pilas algebraicas cuyos objetos no tienen automorfismos infinitesimales.
Estructura local de pilas algebraicas
Desde el inicio de las pilas algebraicas, se esperaba que fueran pilas de cociente local de la forma dónde es un grupo algebraico linealmente reductivo . Recientemente se demostró que este es el caso: [1] dada una pila algebraica cuasi separada localmente de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado cuyos estabilizadores son afines, y un punto liso y cerrado con grupo estabilizador linealmente reductor , existe una cobertura etale del cociente GIT , dónde , tal que el diagrama
es cartesiano, y existe un morfismo etale
induciendo un isomorfismo de los grupos estabilizadores en y .
Ejemplos de
Ejemplos elementales
- Cada gavilla de una categoría con una topología de Grothendieck se puede convertir canónicamente en una pila. Por un objeto, en lugar de un conjunto hay un grupoide cuyos objetos son los elementos de y las flechas son el morfismo de identidad.
- Más concretamente, dejemos ser un functor contravariante
- Entonces, este funtor determina la siguiente categoría
- un objeto es un par que consiste en un esquema en y un elemento
- un morfismo consiste en un morfismo en tal que .
- A través del functor olvidadizo , la categoría es una categoría sobre fibra. Por ejemplo, si es un esquema en , luego determina el functor contravariante y la categoría de fibra correspondiente es la apilar asociado a X . Los apilamientos (o apilamientos) se pueden construir como una variante de esta construcción. De hecho, cualquier esquema con una diagonal cuasi-compacta es una pila algebraica asociada al esquema.
Pilas de objetos
- Una pila de grupo .
- La pila de módulos de paquetes del vector : la categoría de vector lía V → S es una pila sobre la categoría de espacios topológicos S . Un morfismo de V → S a W → T consiste en mapas continuos de S a T y de V a W (lineal en fibras) de modo que el cuadrado obvio conmuta. La condición de que esta es una categoría con fibra se sigue porque se pueden tomar retrocesos de paquetes de vectores sobre mapas continuos de espacios topológicos, y la condición de que un dato de descenso es efectivo se sigue porque se puede construir un paquete de vectores sobre un espacio pegando paquetes de vectores en elementos de una cubierta abierta.
- La pila de roldanas cuasi-coherentes en esquemas (con respecto a la topología fpqc y topologías más débiles)
- La pila de esquemas afines en un esquema base (nuevamente con respecto a la topología fpqc o una más débil)
Construcciones con pilas
Cocientes de pila
Si es un esquema y es un esquema de grupo afín suave que actúa sobre , entonces hay una pila algebraica de cociente , [2] tomando un esquema al grupoide de -tores sobre el -esquema con -mapas equivalentes a . Explícitamente, dado un espacio con un -acción, formar la pila que (intuitivamente hablando) envía un espacio al grupo de diagramas de retroceso
dónde es un -Morfismo equivariante de espacios y es un director -manojo. Los morfismos en esta categoría son solo morfismos de diagramas donde las flechas en el lado derecho son iguales y las flechas en el lado izquierdo son morfismos principales.-manojos.
Clasificación de pilas
Un caso especial de esto cuando X es un punto da la pila de clasificación BG de un esquema de grupo afín suave G : Se llama así porque la categoría , la fibra sobre Y , es precisamente la categoría de principal -paquetes sobre . Tenga en cuenta queen sí mismo puede ser considerado como una pila, la pila de módulos de los principales G -bundles en Y .
Un subejemplo importante de esta construcción es que es la pila de módulos de principal -manojos. Dado que los datos de un principal-bundle es equivalente a los datos de un rango paquete de vectores, esto es isomorfo a la pila de módulos de rango norte {\ Displaystyle n} paquetes de vectores V mi C t norte {\ Displaystyle Vect_ {n}} .
Pila de módulos de paquetes de líneas
La pila de módulos de paquetes de líneas es ya que cada paquete de líneas es canónicamente isomorfo a un principal -manojo. Dado un paquete de líneas la especificación relativa
da un paquete de líneas geométricas. Después de eliminar la sección cero, hay un asociado-manojo. Por el contrario, de la representación, se puede reconstruir el paquete de líneas asociado.
Gerbes
Un gerbe es una pila de grupos que siempre tiene una categoría no vacía. por ejemplo el gerbe trivial que asigna a cada esquema el grupoide de principal -paquetes sobre el esquema, para algún grupo .
Especificaciones y proyectos relativos
Si A es un cuasi-coherente gavilla de álgebra en una pila algebraica X sobre un sistema de S , entonces hay una pila Spec ( A ) la generalización de la construcción del espectro Spec ( A ) de un anillo conmutativo A . Un objeto de Spec ( A ) está dada por una S -Esquema T , un objeto x de X ( T ), y un morfismo de gavillas de álgebra de x * ( A ) a la coordenada anillo O ( T ) de T .
Si A es un haz cuasi-coherente de álgebras graduadas en una pila algebraica X sobre un sistema de S , entonces hay una pila Proj ( A ) la generalización de la construcción del esquema proyectivo Proj ( A ) de un anillo graduado A .
Pilas de módulos
Módulos de curvas
- Mumford (1965) estudió la pila de módulos M 1,1 de curvas elípticas y mostró que su grupo Picard es cíclico de orden 12. Para curvas elípticas sobre los números complejos, la pila correspondiente es similar a un cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular .
- El espacio de módulos de curvas algebraicas definido como una familia universal de curvas suaves de un género dado no existe como variedad algebraica porque en particular hay curvas que admiten automorfismos no triviales. Sin embargo, hay una pila de módulos que es un buen sustituto del inexistente espacio de módulos finos del género suave curvas. De manera más general, hay una pila de módulos de género curvas con puntos marcados. En general, esta es una pila algebraica y es una pila de Deligne-Mumford para o o (en otras palabras, cuando los grupos de automorfismos de las curvas son finitos). Esta pila de módulos tiene una terminación que consiste en la pila de módulos de curvas estables (para y ) Que es adecuado sobre Spec Z . Por ejemplo, es la pila de clasificación del grupo lineal general proyectivo. (Hay una sutileza en definir, ya que uno tiene que usar espacios algebraicos en lugar de esquemas para construirlo).
Espacios de módulos de Kontsevich
Otra clase de espacios de módulos ampliamente estudiada son los espacios de módulos de Kontsevich que parametrizan el espacio de mapas estables entre curvas de un género fijo a un espacio fijo.cuya imagen representa una clase de cohomología fija. Estos espacios de módulos se denotan [3]
y puede tener un comportamiento salvaje, como ser pilas reducibles cuyos componentes no tienen la misma dimensión. Por ejemplo, [3] la pila de módulos
tiene curvas suaves parametrizadas por un subconjunto abierto . En el límite del espacio de módulos, donde las curvas pueden degenerar en curvas reducibles, hay una subestación que parametriza curvas reducibles con un género componente y un género componente que se cruza en un punto, y el mapa envía el género curva a un punto. Dado que todo ese género las curvas están parametrizadas por , y hay un adicional elección dimensional de dónde se cruzan estas curvas en el género curva, el componente de límite tiene dimensión .
Otras pilas de módulos
- Una pila de Picard generaliza una variedad de Picard .
- La pila de módulos de leyes de grupo formales clasifica las leyes de grupo formales .
- Un esquema ind , como un espacio proyectivo infinito y un esquema formal, es una pila.
- En el programa geométrico de Langlands se utiliza una pila de módulos de shtukas . (Véase también shtukas .)
Pilas geométricas
Pilas proyectivas ponderadas
La construcción de espacios proyectivos ponderados implica tomar la variedad cociente de algunos por un -acción. En particular, la acción envía una tupla.
y el cociente de esta acción da el espacio proyectivo ponderado . Dado que esto puede tomarse como un cociente de pila, la pila proyectiva ponderada [4] pg 30 es
Tomando el lugar geométrico de fuga de un polinomio ponderado en un paquete de líneas da una variedad proyectiva ponderada apilada.
Curvas apiladas
Las curvas de apilamiento , u orbicurvas, se pueden construir tomando el cociente de apilamiento de un morfismo de curvas por el grupo de monodromía de la cubierta sobre los puntos genéricos. Por ejemplo, tome un morfismo proyectivo
que es genéricamente etale . El cociente de pila del dominio por da un stacky con puntos de apilamiento que tienen grupo estabilizador en la quinta raíz de la unidad en el -gráfico. Esto se debe a que estos son los puntos donde se ramifica la cobertura. [ cita requerida ]
Pila no afín
Un ejemplo de una pila no afín lo da la media línea con dos orígenes apilados. Esto se puede construir como el colimit de dos inclusiones de.
Gavillas cuasi coherentes en pilas algebraicas
En una pila algebraica se puede construir una categoría de haces cuasi coherentes similar a la categoría de haces cuasi coherentes en un esquema.
Un haz cuasi coherente es aproximadamente uno que se parece localmente al haz de un módulo sobre un anillo. El primer problema es decidir qué se entiende por "localmente": esto implica la elección de una topología de Grothendieck, y hay muchas opciones posibles para esto, todas las cuales tienen algunos problemas y ninguna parece completamente satisfactoria. La topología de Grothendieck debe ser lo suficientemente fuerte para que la pila sea localmente afín en esta topología: los esquemas son localmente afines en la topología de Zariski, por lo que esta es una buena opción para esquemas como descubrió Serre, los espacios algebraicos y las pilas Deligne-Mumford son localmente afines en el topología etale, por lo que generalmente se usa la topología etale para estos, mientras que las pilas algebraicas son afines localmente en la topología suave, por lo que se puede usar la topología suave en este caso. Para las pilas algebraicas generales, la topología de etale no tiene suficientes conjuntos abiertos: por ejemplo, si G es un grupo conectado uniformemente, las únicas cubiertas de etale de la pila de clasificación BG son uniones de copias de BG, que no son suficientes para dar la teoría correcta. de poleas cuasicoherentes.
En lugar de usar la topología suave para pilas algebraicas, a menudo se usa una modificación llamada topología Lis-Et (abreviatura de Lisse-Etale: lisse es el término francés para suave), que tiene los mismos conjuntos abiertos que la topología suave pero el las cubiertas abiertas son dadas por etale en lugar de mapas suaves. Esto generalmente parece conducir a una categoría equivalente de roldanas cuasi coherentes, pero es más fácil de usar: por ejemplo, es más fácil de comparar con la topología etale en espacios algebraicos. La topología Lis-Et tiene un problema técnico sutil: un morfismo entre pilas no da en general un morfismo entre los correspondientes topoi. (El problema es que si bien uno puede construir un par de functores adjuntos f * , f *, según sea necesario para un morfismo geométrico de topoi, el functor f * no se deja exacto en general. Este problema es notorio por haber causado algunos errores en artículos y libros publicados. [5] ) Esto significa que construir el retroceso de una gavilla cuasicoherente bajo un morfismo de pilas requiere un esfuerzo adicional.
También es posible utilizar topologías más finas. Las topologías de Grothendieck "suficientemente grandes" más razonables parecen conducir a categorías equivalentes de roldanas cuasi coherentes, pero cuanto más grande es una topología, más difícil es manejarla, por lo que generalmente se prefiere usar topologías más pequeñas siempre que tengan suficientes conjuntos abiertos. Por ejemplo, la topología fppf grande conduce esencialmente a la misma categoría de roldanas cuasi-coherentes que la topología Lis-Et, pero tiene un problema sutil: la incrustación natural de roldanas cuasi-coherentes en módulos O X en esta topología no es exacta ( no conserva los granos en general).
Otros tipos de pila
Las pilas diferenciables y las pilas topológicas se definen de manera similar a las pilas algebraicas, excepto que la categoría subyacente de esquemas afines se reemplaza por la categoría de variedades suaves o espacios topológicos.
De manera más general, se puede definir la noción de una pila de n- gajos o de n –1, que es aproximadamente una especie de gavilla que toma valores en n –1 categorías. Hay varias formas desiguales de hacer esto. Las 1-poleas son iguales a las poleas y las 2-poleas son iguales a las pilas. Se llaman pilas más altas .
Una extensión muy similar y análoga es desarrollar la teoría de la pila en objetos no discretos (es decir, un espacio es realmente un espectro en topología algebraica). Los objetos apilados resultantes se denominan pilas derivadas (o pilas espectrales). El libro en construcción de Jacob Lurie Spectral Algebraic Geometry estudia una generalización que él llama una pila espectral de Deligne-Mumford . Por definición, es un ∞-topos anillado que es étale-localmente el espectro étale de un E ∞ -ring (esta noción subsume la de un esquema derivado , al menos en la característica cero).
Problemas teóricos de conjuntos
Existen algunos problemas teóricos de conjuntos menores con la base habitual de la teoría de pilas, porque las pilas se definen a menudo como ciertos functores de la categoría de conjuntos y, por lo tanto, no son conjuntos. Hay varias formas de solucionar este problema:
- Se puede trabajar con universos de Grothendieck: una pila es entonces un functor entre clases de algún universo fijo de Grothendieck, por lo que estas clases y las pilas son conjuntos en un universo de Grothendieck más grande. El inconveniente de este enfoque es que uno tiene que asumir la existencia de suficientes universos de Grothendieck, que es esencialmente un axioma cardinal amplio .
- Se pueden definir pilas como functores del conjunto de conjuntos de rango suficientemente grande y realizar un seguimiento cuidadoso de los rangos de los diversos conjuntos que se utilizan. El problema con esto es que implica una contabilidad adicional bastante tediosa.
- Se pueden usar principios de reflexión de la teoría de conjuntos que afirman que se pueden encontrar modelos de conjuntos de cualquier fragmento finito de los axiomas de ZFC para mostrar que se pueden encontrar automáticamente conjuntos que son aproximaciones suficientemente cercanas al universo de todos los conjuntos.
- Uno puede simplemente ignorar el problema. Este es el enfoque adoptado por muchos autores.
Ver también
- Pila algebraica
- Chow grupo de una pila
- Pila Deligne-Mumford
- Glosario de geometría algebraica
- Persiguiendo pilas
- Espacio cociente de una pila algebraica
- Anillo de formas modulares
- Gavilla prefabricada simple
- Proyecto Stacks
- Pila tórica
Notas
- ^ Alper, Jarod; Hall, Jack; Rydh, David (2020). "Un teorema de corte de Luna étale para pilas algebraicas". Annals of Mathematics . 191 (3): 675–738. doi : 10.4007 / annals.2020.191.3.1 . hdl : 10150/641331 . ISSN 0003-486X . JSTOR 10.4007 / annals.2020.191.3.1 . S2CID 3225788 .
- ^ Heinloth, Jochen (29 de enero de 2009), "Lectures on the Moduli Stack of Vector Bundles on a Curve", Affine Flag Manifolds and Main Bundles , Basilea: Springer Basel (publicado en 2010), págs. 123-153, doi : 10.1007 / 978-3-0346-0288-4_4 , ISBN 978-3-0346-0287-7
- ^ a b Massarenti, Alez. "Módulos de mapas estables, invariantes de Gromov-Witten y cohomología cuántica" (PDF) . págs. 1–4. Archivado (PDF) desde el original el 23 de enero de 2018.
- ^ Fantechi, Barbara; Mann, Etienne; Nironi, Fabio (22 de septiembre de 2009). "Pilas DM tóricas suaves". arXiv : 0708.1254 [ math.AG ].
- ^ Ver, por ejemplo, Olsson, Martin (2007). "Gavillas en pilas Artin". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2007 (603): 55–112. doi : 10.1515 / CRELLE.2007.012 . Señor 2312554 . S2CID 15445962 .
Referencias
Pedagógico
- Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas , archivado desde el original el 5 de mayo de 2008
- Goméz, Tomás (1999), Pilas algebraicas , arXiv : math / 9911199 , Bibcode : 1999math ..... 11199G es un artículo expositivo que describe los conceptos básicos de las pilas con ejemplos.
- Edidin, Dan (2003), "¿Qué es ... una pila?" (PDF) , Avisos de la AMS , 50 (4): 458–459
Guías de la literatura
- https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0
Referencias
- Artin, Michael (1974), "Versal deformations and algebraic stacks", Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, Bibcode : 1974InMat..27..165A , doi : 10.1007 / BF01390174 , ISSN 0020-9910 , MR 0399094 , S2CID 122887093
- Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , ISSN 1618-1913 , MR 0262240 , S2CID 16482150
- Fantechi, Barbara (2001), "Pilas para todos" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas Volumen I , Progr. Math., 201 , Basilea: Birkhäuser, págs. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3, MR 1905329
- Giraud, Jean (1964), "Méthode de la descente" , Société Mathématique de France. Boletín. Suplemento. Mémoire , 2 : viii + 150, MR 0190142
- Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2 , tesis, París
- Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
- Gómez, Tomás L. (2001), "Pilas algebraicas", Academia de Ciencias de la India. Actas. Ciencias Matemáticas , 111 (1): 1–31, arXiv : math / 9911199 , doi : 10.1007 / BF02829538 , MR 1818418 , S2CID 373638
- Grothendieck, Alexander (1959). "Técnica de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats" . Séminaire Bourbaki . 5 (Exposé 190).
- Laumon, Gérard; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 39 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3, Señor 1771927Desafortunadamente, este libro utiliza la afirmación incorrecta de que los morfismos de las pilas algebraicas inducen morfismos de lisse-étale topoi. Algunos de estos errores fueron corregidos por Olsson (2007) .
- Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), "Las seis operaciones para poleas en pilas Artin. I. Coeficientes finitos", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math / 0512097 , doi : 10.1007 / s10240-008-0011-6 , MR 2434692 , S2CID 371801
- Mumford, David (1965), "Grupos de Picard de problemas de módulos" , en Schilling, OFG (ed.), Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Nueva York: Harper & Row, págs. 33– 81, MR 0201443
- Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (ed.), Notas del curso para Matemáticas 274: Pilas (PDF)
- Olsson, Martin (2016), espacios y pilas algebraicas , Publicaciones del coloquio, 62 , American Mathematical Society, ISBN 978-1470427986
- Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría de la descendencia", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Encuestas Monogr., 123 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 1-104, arXiv : math / 0412512 , Bibcode : 2004math ..... 12512V , MR 2223406
Otras lecturas
- Morava, Jack (2012). "Teorías de cualquier cosa". arXiv : 1202.0684 [ math.CT ].
enlaces externos
- apilar en nLab
- descenso en nLab
- de Jong, Aise Johan, Proyecto Stacks
- Fulton, William, ¿qué es una pila? , Video conferencia y notas de MSRI
- Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2: Champs algébriques (2006-2007)
- "¿Buenas referencias introductorias sobre pilas algebraicas?"