dominio fundamental
Dado un espacio topológico y un grupo que actúa sobre él, las imágenes de un solo punto bajo la acción del grupo forman una órbita de la acción. Un dominio fundamental o región fundamental es un subconjunto del espacio que contiene exactamente un punto de cada una de estas órbitas. Sirve como realización geométrica para el conjunto abstracto de representantes de las órbitas.
Hay muchas maneras de elegir un dominio fundamental. Por lo general, se requiere que un dominio fundamental sea un subconjunto conectado con algunas restricciones en su límite, por ejemplo, suave o poliédrico. Las imágenes de un dominio fundamental elegido bajo la acción del grupo luego embaldosan el espacio. Una construcción general de dominios fundamentales utiliza celdas de Voronoi .
Dada una acción de un grupo G sobre un espacio topológico X por homeomorfismos , un dominio fundamental para esta acción es un conjunto D de representantes de las órbitas. Por lo general, se requiere que sea un conjunto razonablemente agradable desde el punto de vista topológico, en una de varias formas definidas con precisión. Una condición típica es que D es casi un conjunto abierto, en el sentido de que D es la diferencia simétrica de un conjunto abierto en X con un conjunto de medida cero , para una determinada medida (cuasi)invariante en X. Un dominio fundamental siempre contiene un conjunto regular libre U , un conjunto abierto movido por G en copias disjuntas , y casi tan bueno como D para representar las órbitas. Frecuentemente se requiere que D sea un conjunto completo de coset representativos con algunas repeticiones, pero la parte repetida tiene medida cero. Esta es una situación típica en la teoría ergódica . Si se usa un dominio fundamental para calcular una integral en X / G , los conjuntos de medida cero no importan.
Por ejemplo, cuando X es el espacio euclidiano R n de dimensión n , y G es la red Z n que actúa sobre él por traslaciones, el cociente X / G es el toro n -dimensional . Un dominio fundamental D aquí puede tomarse como [0,1) n , que difiere del conjunto abierto (0,1) n por un conjunto de medida cero, o el cubo unitario cerrado [0,1] n , cuya frontera Está formado por los puntos cuya órbita tiene más de un representante enD. _
En el caso de simetría traslacional combinada con otras simetrías, el dominio fundamental es parte de la celda primitiva. Por ejemplo, para los grupos de papel tapiz, el dominio fundamental es un factor 1, 2, 3, 4, 6, 8 o 12 más pequeño que la celda primitiva.
El diagrama de la derecha muestra parte de la construcción del dominio fundamental para la acción del grupo modular Γ en el semiplano superior H .
