En teoría potencial , una disciplina dentro de las matemáticas aplicadas , el límite de Furstenberg es una noción de límite asociada con un grupo . Lleva el nombre de Harry Furstenberg , quien lo introdujo en una serie de artículos a partir de 1963 (en el caso de los grupos de Lie semisimple ). El límite de Furstenberg, en términos generales, es un espacio de módulos universales para la integral de Poisson , que expresa una función armónica en un grupo en términos de sus valores de límite.
Motivación
Un modelo para el límite de Furstenberg es el disco hiperbólico . La fórmula clásica de Poisson para una función armónica acotada en el disco tiene la forma
donde P es el núcleo de Poisson. Cualquier función f en el disco determina una función en el grupo de transformaciones de Möbius del disco estableciendo F ( g ) = f ( g (0)) . Entonces la fórmula de Poisson tiene la forma
donde m es la medida de Haar en el límite. Esta función es entonces armónica en el sentido de que satisface la propiedad del valor medio con respecto a una medida en el grupo de Möbius inducida a partir de la medida habitual de Lebesgue del disco, adecuadamente normalizada. La asociación de una función armónica acotada a una función acotada (esencialmente) en el límite es uno a uno.
Construcción para grupos semi-simples
En general, sea G un grupo de Lie semi-simple y μ una medida de probabilidad en G que es absolutamente continua . Una función f en G es μ-armónica si satisface la propiedad del valor medio con respecto a la medida μ:
Entonces hay un espacio compacto Π, con una acción G y medida ν , tal que cualquier función armónica acotada en G viene dada por
para alguna función limitada en Π.
El espacio Π y la medida ν dependen de la medida μ (y, por tanto, qué constituye precisamente una función armónica). Sin embargo, resulta que aunque hay muchas posibilidades para la medida ν (que siempre depende genuinamente de μ), solo hay un número finito de espacios Π (hasta isomorfismo): estos son espacios homogéneos de G que son cocientes de G por algún subgrupo parabólico, que se puede describir completamente en términos de datos de raíz y una descomposición de Iwasawa dada . Además, existe un espacio máximo de este tipo, con mapas de cocientes que descienden a todos los demás espacios, que se denomina límite de Furstenberg.
Referencias
- Borel, Armand; Ji, Lizhen, Compactificaciones de espacios simétricos y localmente simétricos (PDF)
- Furstenberg, Harry (1963), "Una fórmula de Poisson para grupos de mentiras semi-simples", Annals of Mathematics , 77 (2): 335–386, doi : 10.2307 / 1970220
- Furstenberg, Harry (1973), Calvin Moore (ed.), "Teoría de límites y procesos estocásticos en espacios homogéneos", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , AMS, 26 : 193-232