En matemáticas , la descomposición de Iwasawa (también conocida como KAN por su expresión) de un grupo de Lie semisimple generaliza la forma en que una matriz real cuadrada se puede escribir como producto de una matriz ortogonal y una matriz triangular superior ( descomposición QR , una consecuencia de Gram-Schmidt ortogonalización ). Lleva el nombre de Kenkichi Iwasawa , el matemático japonés que desarrolló este método. [1]
Definición
- G es un grupo de Lie real semisimple conectado .
- es el álgebra de Lie de G
- es la complejidad de.
- θ es una involución de Cartan de
- es la descomposición de Cartan correspondiente
- es una subálgebra abeliana máxima de
- Σ es el conjunto de raíces restringidas de , correspondiente a los valores propios de actuando .
- Σ + es una elección de raíces positivas de Σ
- es un álgebra de Lie nilpotente dada como la suma de los espacios de raíz de Σ +
- K , A , N , son los subgrupos de Lie de G generados por y .
Entonces la descomposición de Iwasawa de es
y la descomposición Iwasawa de G es
lo que significa que hay un difeomorfismo analítico (pero no un homomorfismo de grupo) de la variedad al grupo Lie , enviando .
La dimensión de A (o equivalentemente de) Es igual a la fila de bienes de G .
Las descomposiciones de Iwasawa también son válidas para algunos grupos G semisimple desconectados , donde K se convierte en un subgrupo compacto máximo (desconectado) siempre que el centro de G sea finito.
La descomposición del espacio radicular restringido es
dónde es el centralizador de en y es el espacio raíz. El número se llama la multiplicidad de .
Ejemplos de
Si G = SL n ( R ), entonces podemos tomar K como las matrices ortogonales, A como las matrices diagonales positivas con determinante 1 y N como el grupo unipotente que consta de matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal.
Para el caso de n = 2 , la descomposición de Iwasawa de G = SL (2, R ) es en términos de
Para el grupo simpléctico G = Sp (2n , R ) , una posible descomposición de Iwasawa es en términos de
Descomposición de Iwasawa no arquimediana
Hay un análogo a la descomposición de Iwasawa anterior para un campo que no es de Arquímedes. : En este caso, el grupo se puede escribir como un producto del subgrupo de matrices triangulares superiores y el subgrupo (máximo compacto) , dónde es el anillo de enteros de. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Iwasawa, Kenkichi (1949). "Sobre algunos tipos de grupos topológicos". Annals of Mathematics . 50 (3): 507–558. doi : 10.2307 / 1969548 . JSTOR 1969548 .
- ^ Bump, Daniel (1997), formas y representaciones automórficas , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511609572 , ISBN 0-521-55098-X, Prop. 4.5.2
- Fedenko, AS; Shtern, AI (2001) [1994], "Descomposición de Iwasawa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción (2ª ed.). ISBN 9780817642594.