En matemáticas , especialmente en la teoría del orden , una conexión de Galois es una correspondencia particular (típicamente) entre dos conjuntos parcialmente ordenados (posets). Las conexiones de Galois encuentran aplicaciones en varias teorías matemáticas. Generalizan el teorema fundamental de la teoría de Galois sobre la correspondencia entre subgrupos y subcampos , descubrió el matemático francés Évariste Galois .
Una conexión de Galois también se puede definir en conjuntos o clases preordenados ; este artículo presenta el caso común de posets. La literatura contiene dos nociones estrechamente relacionadas de "conexión de Galois". En este artículo, nos referiremos a ellos como conexiones de Galois (monótonas) y conexiones de Galois antitono .
Una conexión de Galois es bastante débil en comparación con un isomorfismo de orden entre los posets involucrados, pero cada conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos subposets, como se explicará a continuación. El término correspondencia de Galois se utiliza a veces para referirse a una conexión biyectiva de Galois ; esto es simplemente un isomorfismo de orden (o isomorfismo de orden dual, dependiendo de si tomamos conexiones de Galois monótonas o antitónicas).
Sean ( A , ≤) y ( B , ≤) dos conjuntos parcialmente ordenados . Una conexión de Galois monótona entre estos conjuntos consta de dos funciones [1] monótonas : F : A → B y G : B → A , de modo que para todo a en A y b en B , tenemos
En esta situación, F se llama el adjunto inferior de G y G se llama el adjunto superior de F . De manera nemotécnica, la terminología superior / inferior se refiere a dónde aparece la aplicación de la función en relación con ≤. [2] El término "adjunto" se refiere al hecho de que las conexiones de Galois monótonas son casos especiales de pares de functores adjuntos en la teoría de categorías, como se analiza más adelante. Otra terminología encontrada aquí es adjunto izquierdo (resp. Adjunto derecho ) para el adjunto inferior (resp. Superior).
Una propiedad esencial de una conexión de Galois es que un adjunto superior / inferior de una conexión de Galois determina de forma única el otro: