Tian Gang ( chino :田 刚; nacido el 24 de noviembre de 1958) [1] es un matemático chino . Es profesor de matemáticas en la Universidad de Pekín y profesor emérito de Higgins en la Universidad de Princeton . Es conocido por sus contribuciones a los campos matemáticos de la geometría de Kähler , la teoría de Gromov-Witten y el análisis geométrico .
Tian Gang | |||||
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![]() Tian en Oberwolfach en 2005 | |||||
Nació | |||||
Nacionalidad | porcelana | ||||
alma mater | Universidad de Harvard Universidad de Pekín Universidad de Nanjing | ||||
Conocido por | Conjetura de Yau-Tian-Donaldson K-estabilidad | ||||
Premios | Premio Veblen (1996) Premio Alan T. Waterman (1994) | ||||
Carrera científica | |||||
Campos | Matemáticas | ||||
Instituciones | Universidad de Princeton Universidad de Pekín | ||||
Asesor de doctorado | Shing-Tung Yau | ||||
Estudiantes de doctorado | Nataša Šešum | ||||
nombre chino | |||||
Chino tradicional | 田 剛 | ||||
Chino simplificado | 田 刚 | ||||
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A partir de 2020, es el vicepresidente de la Liga Democrática de China y el presidente de la Sociedad Matemática China . De 2017 a 2019 se desempeñó como Vicepresidente de la Universidad de Pekín .
Biografía
Tian nació en Nanjing , Jiangsu , China. Calificó en el segundo examen de ingreso a la universidad después de la Revolución Cultural en 1978. Se graduó de la Universidad de Nanjing en 1982 y recibió una maestría de la Universidad de Pekín en 1984. En 1988, recibió un doctorado. en matemáticas de la Universidad de Harvard , bajo la supervisión de Shing-Tung Yau .
En 1998, fue nombrado profesor becario Cheung Kong en la Universidad de Pekín. Más tarde, su nombramiento se cambió a la cátedra de la cátedra Cheung Kong Scholar. Fue profesor de matemáticas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts de 1995 a 2006 (ocupó la cátedra de Simons Professor of Mathematics desde 1996). Su empleo en Princeton comenzó en 2003 y más tarde fue nombrado profesor de matemáticas Higgins. Desde 2005, ha sido director del Centro Internacional de Investigación Matemática de Beijing (BICMR); [2] de 2013 a 2017 fue Decano de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Pekín. [3] Él y John Milnor son académicos senior del Clay Mathematics Institute (CMI). En 2011, Tian se convirtió en director del Programa de Investigación Sino-Francés en Matemáticas en el Centre national de la recherche scientifique (CNRS) en París . En 2010, se convirtió en consultor científico del Centro Internacional de Física Teórica en Trieste , Italia. [4]
Tian ha formado parte de muchos comités, incluido el premio Abel y el premio Leroy P. Steele . [5] Es miembro de los consejos editoriales de muchas revistas, incluidas Advances in Mathematics y Journal of Geometric Analysis. En el pasado, ha estado en los consejos editoriales de Annals of Mathematics y el Journal of the American Mathematical Society .
Entre sus premios y distinciones:
- Beca de investigación Sloan (1991-1993)
- Premio Alan T. Waterman (1994)
- Premio Oswald Veblen de Geometría (1996)
- Elegido miembro de la Academia de Ciencias de China (2001)
- Elegido miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias (2004)
Desde al menos 2013, ha estado muy involucrado en la política china, y se desempeñó como vicepresidente de la Liga Democrática de China , el segundo partido político más poblado de China .
Contribuciones matemáticas
El problema de Kähler-Einstein
Tian es conocido por sus contribuciones a la geometría de Kähler y, en particular, al estudio de las métricas de Kähler-Einstein . Shing-Tung Yau , en su renombrada resolución de la conjetura de Calabi , había resuelto el caso de las variedades cerradas de Kähler con una primera clase Chern no positiva. Su trabajo en la aplicación del método de continuidad mostró que el control C 0 de los potenciales de Kähler sería suficiente para probar la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades cerradas de Kähler con primera clase Chern positiva, también conocidas como "variedades de Fano".
Tian, en 1987, introdujo la " invariante α " , que es esencialmente la constante óptima en la desigualdad de Moser-Trudinger cuando se aplica a los potenciales de Kähler con un valor supremo de 0. Demostró que si la invariante α es suficientemente grande (es decir, si se mantiene una desigualdad de Moser-Trudinger suficientemente fuerte), entonces se podría lograr el control de C 0 en el método de continuidad de Yau. Esto se aplicó para demostrar nuevos ejemplos de superficies de Kähler-Einstein.
El caso de las superficies de Kähler fue revisado por Tian en 1990, dando una resolución completa del problema de Kähler-Einstein en ese contexto. La técnica principal consistió en estudiar las posibles degeneraciones geométricas de una secuencia de métricas de Kähler-Einstein, detectadas por la convergencia de Gromov-Hausdorff . Tian adaptó muchas de las innovaciones técnicas de Karen Uhlenbeck , desarrolladas para las conexiones Yang-Mills, a la configuración de las métricas de Kähler. Michael Anderson , Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue e Hiraku Nakajima realizaron un trabajo similar e influyente en el entorno riemanniano en 1989 y 1990 . [6] [7] [8]
La contribución más reconocida de Tian al problema de Kähler-Einstein se produjo en 1997. Yau había conjeturado en la década de 1980, basándose en parte en una analogía con el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau , que la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería corresponder a la estabilidad de la métrica de Kähler subyacente. múltiple en cierto sentido de la teoría geométrica invariante . En general, se entendió, especialmente después del trabajo de Akito Futaki, [9] que la existencia de campos vectoriales holomórficos debería actuar como una obstrucción a la existencia de métricas de Kähler-Einstein. Tian, en su artículo de 1997, dio ejemplos concretos de variedades de Kähler que no tenían campos vectoriales holomórficos y tampoco métricas de Kähler-Einstein, mostrando que el criterio ideal es más profundo. Yau había propuesto que, en lugar de campos vectoriales holomórficos en la propia variedad, debería ser relevante estudiar las deformaciones de las incrustaciones proyectivas de las variedades Kähler bajo campos vectoriales holomórficos en el espacio proyectivo. Esta idea fue modificada por Tian, introduciendo la noción de estabilidad K y mostrando que cualquier variedad Kähler-Einstein debe ser estable a K.
Simon Donaldson , en 2002, modificó y amplió la definición de estabilidad K de Tian. [10] La conjetura de que la estabilidad K sería suficiente para asegurar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein se conoció como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson . En 2015, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun , publicaron una prueba de la conjetura, recibiendo el Premio Oswald Veblen en Geometría por su trabajo. [11] [12] [13] Tian publicó una prueba de la conjetura en el mismo año, aunque Chen, Donaldson y Sun han acusado a Tian de mala conducta académica y matemática por su trabajo. [14] [15]
Geometría de Kähler
En un artículo de 1987, Tian estudió el espacio de las métricas de Calabi-Yau en un colector de Kähler. Mostró que cualquier deformación infinitesimal de la estructura de Calabi-Yau se puede "integrar" a una familia de un parámetro de métricas de Calabi-Yau; esto prueba que el "espacio de módulos" de las métricas de Calabi-Yau en la variedad dada tiene la estructura de una variedad suave. Esto también fue estudiado anteriormente por Andrey Todorov, y el resultado se conoce como el teorema de Tian-Todorov. [16] Como aplicación, Tian encontró una fórmula para la métrica de Weil-Petersson en el espacio de módulos de las métricas de Calabi-Yau en términos del mapeo del período . [17]
Motivado por el problema de Kähler-Einstein y una conjetura de Yau relacionada con la métrica de Bergman , Tian estudió el siguiente problema. Deje que L sea un paquete de línea de más de un Kähler colector de M , y fijar una métrica haz hermitiana cuya forma de la curvatura es una forma Kähler en M . Supongamos que para suficientemente grande m , un conjunto ortonormal de secciones holomorfas de la línea de haz L ⊗ m define una incrustación proyectivo de M . Se puede retirar la métrica del Estudio Fubini para definir una secuencia de métricas en M a medida que m aumenta. Tian mostró que un cierto cambio de escala de esta secuencia necesariamente convergerá en la topología C 2 a la métrica original de Kähler. Los refinados asintóticos de esta secuencia fueron retomados en varios artículos posteriores influyentes de otros autores, y son particularmente importantes en el programa de Simon Donaldson sobre métricas extremas. [18] [19] [20] [21] [22] La aproximabilidad de una métrica de Kähler por métricas de Kähler inducidas a partir de incrustaciones proyectivas también es relevante para la imagen de Yau de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson, como se indicó anteriormente.
En un artículo de 2008 altamente técnico, Xiuxiong Chen y Tian estudiaron la teoría de la regularidad de ciertas ecuaciones complejas de Monge-Ampère , con aplicaciones al estudio de la geometría de métricas extremas de Kähler. Aunque su artículo ha sido muy citado, Julius Ross y David Witt Nyström encontraron contraejemplos de los resultados de regularidad de Chen y Tian en 2015. [23] No está claro qué resultados del artículo de Chen y Tian siguen siendo válidos.
Teoría de Gromov-Witten
Mikhail Gromov demostró en 1985 que las curvas pseudoholomórficas eran herramientas poderosas en geometría simpléctica . [24] En 1991, Edward Witten conjeturó un uso de la teoría de Gromov para definir invariantes enumerativos . [25] Tian y Yongbin Ruan encontraron los detalles de tal construcción, demostrando que las diversas intersecciones de las imágenes de curvas pseudo-holomórficas es independiente de muchas opciones, y en particular da un mapeo asociativo multilineal sobre la homología de ciertas variedades simplécticas. Esta estructura se conoce como cohomología cuántica ; un enfoque contemporáneo e igualmente influyente se debe a Dusa McDuff y Dietmar Salamon . [26] Los resultados de Ruan y Tian se encuentran en un entorno algo más general.
Con Jun Li , Tian dio una adaptación puramente algebraica de estos resultados a la configuración de variedades algebraicas . Esto se hizo al mismo tiempo que Kai Behrend y Barbara Fantechi , utilizando un enfoque diferente. [27]
Luego, Li y Tian adaptaron su trabajo algebro-geométrico de nuevo al entorno analítico en variedades simplécticas, extendiendo el trabajo anterior de Ruan y Tian. Tian y Gang Liu hicieron uso de este trabajo para probar la conocida conjetura de Arnold sobre el número de puntos fijos de difeomorfismos hamiltonianos. Sin embargo, los artículos de Li-Tian y Liu-Tian sobre la teoría simpléctica de Gromov-Witten han sido criticados por Dusa McDuff y Katrin Wehrheim por ser incompletos o incorrectos, diciendo que el artículo de Li y Tian "carece de casi todos los detalles" sobre ciertos puntos y que El artículo de Liu y Tian tiene "errores analíticos graves". [28]
Análisis geométrico
En 1995, Tian y Weiyue Ding estudiaron el flujo de mapa de calor armónico de un bidimensional cerrada variedad de Riemann en una cerrada variedad de Riemann N . En un trabajo fundamental de 1985, tras el avance de 1982 de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , Michael Struwe había estudiado este problema y había demostrado que existe una solución débil que existe para todo tiempo positivo. Además, Struwe mostró que la solución u se aleja suavemente de un número finito de puntos espaciotemporales; dada cualquier secuencia de puntos espaciotemporales en los que la solución es suave y que convergen a un punto singular dado ( p , T ) , se pueden realizar algunas recalificaciones para (subsecuentemente) definir un número finito de mapas armónicos de la esfera redonda bidimensional en N , llamado "burbujas". Ding y Tian demostraron una cierta "cuantificación de energía", lo que significa que el defecto entre la energía de Dirichlet de u ( T ) y el límite de la energía de Dirichlet de u ( t ) cuando t se acerca a T se mide exactamente por la suma de las energías de Dirichlet. de las burbujas. Tales resultados son significativos en el análisis geométrico, siguiendo el resultado de cuantificación de energía original de Yum-Tong Siu y Shing-Tung Yau en su demostración de la conjetura de Frankel. [29] El problema análogo para los mapas armónicos , a diferencia de la consideración de Ding y Tian del flujo del mapa armónico, fue considerado por Changyou Wang aproximadamente al mismo tiempo. [30]
Un importante artículo de Tian de 2000 se ocupó de las ecuaciones de Yang-Mills . Además de extender gran parte del análisis de Karen Uhlenbeck a dimensiones superiores, estudió la interacción de la teoría de Yang-Mills con la geometría calibrada . Uhlenbeck había demostrado en la década de 1980 que, cuando se les da una secuencia de conexiones Yang-Mills de energía unida uniformemente, convergerán suavemente en el complemento de un subconjunto de codimensión al menos cuatro, conocido como el complemento del "conjunto singular". Tian demostró que el conjunto singular es un conjunto rectificable . En el caso de que el colector esté equipado con una calibración, se puede restringir el interés a las conexiones Yang-Mills que son auto-duales en relación con la calibración. En este caso, Tian demostró que el conjunto singular está calibrado. Por ejemplo, el conjunto singular de una secuencia de conexiones Yang-Mills hermitianas de energía unida uniformemente será un ciclo holomórfico. Esta es una característica geométrica significativa del análisis de las conexiones de Yang-Mills.
En 2006, Tian y Zhou Zhang estudiaron el flujo de Ricci en el entorno especial de los colectores cerrados de Kähler . Su principal logro fue mostrar que el tiempo máximo de existencia se puede caracterizar en términos puramente cohomológicos. Esto representa un sentido en el que el flujo de Kähler-Ricci es significativamente más simple que el flujo de Ricci habitual, donde no hay un cálculo (conocido) del tiempo máximo de existencia a partir de un contexto geométrico dado. La demostración de Tian y Zhang consiste en un uso del principio máximo escalar aplicado a varias ecuaciones de evolución geométrica, en términos de un potencial de Kähler parametrizado por una deformación lineal de formas que es cohomóloga al propio flujo de Kähler-Ricci.
En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó tres artículos en arXiv que pretendían probar la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización en el campo de la topología geométrica tridimensional . [31] [32] [33] Los artículos de Perelman fueron inmediatamente aclamados por muchas de sus nuevas ideas y resultados, aunque los detalles técnicos de muchos de sus argumentos se consideraron difíciles de verificar. En colaboración con John Morgan , Tian publicó una exposición de los artículos de Perelman en 2007, completando muchos de los detalles. Otras exposiciones, que también han sido ampliamente citadas, fueron escritas por Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu , y por Bruce Kleiner y John Lott . [34] [35] En colaboración con Nataša Šešum , Tian también publicó una exposición del trabajo de Perelman sobre el flujo de Ricci de las variedades de Kähler, que Perelman no publicó de ninguna forma. [36] Ocho años después de la publicación del libro de Morgan y Tian, Abbas Bahri , en su artículo "Cinco lagunas en matemáticas", señaló algunos de sus trabajos como erróneos. [37] Esto fue modificado por Morgan y Tian. [38]
Publicaciones Seleccionadas
- Tian, Gang. Suavidad del espacio de deformación universal de los colectores compactos Calabi-Yau y su métrica Petersson-Weil. Aspectos matemáticos de la teoría de cuerdas (San Diego, Calif., 1986), 629–646, Adv. Ser. Matemáticas. Phys., 1, World Sci. Editorial, Singapur, 1987.
- Tian, Gang. En métricas de Kähler-Einstein en ciertas variedades de Kähler con c 1 ( M )> 0 . Inventar. Matemáticas. 89 (1987), núm. 2, 225–246.
- Tian, Gang. En un conjunto de métricas polarizadas de Kähler sobre variedades algebraicas. J. Geom diferencial. 32 (1990), núm. 1, 99–130.
- Tian, G. Sobre la conjetura de Calabi para superficies complejas con primera clase Chern positiva. Inventar. Matemáticas. 101 (1990), núm. 1, 101-172.
- Ding, Weiyue; Tian, Gang. Identidad energética para una clase de mapas armónicos aproximados de superficies. Comm. Anal. Geom. 3 (1995), núm. 3-4, 543–554.
- Ruan, Yongbin ; Tian, Gang. Una teoría matemática de la cohomología cuántica. J. Geom diferencial. 42 (1995), núm. 2, 259–367.
- Tian, Gang. Métricas de Kähler-Einstein con curvatura escalar positiva. Inventar. Matemáticas. 130 (1997), núm. 1, 1-37.
- Li, Jun ; Tian, Gang. Ciclos de módulos virtuales e invariantes de Gromov-Witten de variedades simplécticas generales. Temas en 4-variedades simplécticas (Irvine, CA, 1996), 47–83, First Int. Presione Lect. Ser., I, Int. Prensa, Cambridge, MA, 1998.
- Li, Jun ; Tian, Gang. Ciclos de módulos virtuales e invariantes de Gromov-Witten de variedades algebraicas. J. Amer. Matemáticas. Soc. 11 (1998), núm. 1, 119-174.
- Liu, Gang; Tian, Gang. Homología de Floer y conjetura de Arnold. J. Geom diferencial. 49 (1998), núm. 1, 1-74.
- Tian, Gang. Teoría de galgas y geometría calibrada. I. Ann. de Matemáticas. (2) 151 (2000), núm. 1, 193-268.
- Tian, Gang; Zhang, Zhou. En el flujo de Kähler-Ricci sobre variedades proyectivas de tipo general. Ann china. Matemáticas. Ser. B 27 (2006), núm. 2, 179-192.
- Chen, XX ; Tian, G. Geometría de métricas y foliaciones de Kähler por discos holomórficos. Publ. Matemáticas. Inst. Hautes Études Sci. 107 (2008), 1–107.
- Tian, Gang. K-estabilidad y métricas de Kähler-Einstein. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 68 (2015), núm. 7, 1085-1156.
Libros.
- Tian, Gang. Métricas canónicas en geometría de Kähler. Notas tomadas por Meike Akveld . Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basilea, 2000. vi + 101 págs. ISBN 3-7643-6194-8
- Morgan, John ; Tian, Gang. Ricci flow y la conjetura de Poincaré. Monografías de Clay Mathematics, 3. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii + 521 págs. ISBN 978-0-8218-4328-4
- Morgan, John ; Tian, Gang. La conjetura de la geometrización. Monografías de Clay Mathematics, 5. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 págs. ISBN 978-0-8218-5201-9
Referencias
- ^ "Premio Oswald Veblen 1996" (PDF) . AMS. 1996.
- ^ Junta de Gobierno, Centro Internacional de Investigación Matemática de Beijing, http://www.bicmr.org/content/page/27.html
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- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sol, Canción. Métricas de Kähler-Einstein en colectores Fano. III: Límites cuando el ángulo del cono se acerca a 2π y se completa la prueba principal. J. Amer. Matemáticas. Soc. 28 (2015), núm. 1, 235–278.
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enlaces externos
- Tian Gang en el Proyecto de genealogía matemática