Estabilidad K

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y algebraica , la estabilidad K es una condición de estabilidad algebro-geométrica , para variedades complejas y variedades algebraicas complejas . La noción de estabilidad K fue introducida por primera vez por Gang Tian ^[1] y luego reformulada de manera más algebraica por Simon Donaldson . ^[2] La definición se inspiró en una comparación con la estabilidad de la teoría invariante geométrica (GIT). En el caso especial de las variedades Fano , la estabilidad K caracteriza con precisión la existencia deMétricas de Kähler-Einstein . De manera más general, en cualquier variedad compleja compacta, se conjetura que la estabilidad K es equivalente a la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante ( métricas cscK ).

En 1954, Eugenio Calabi formuló una conjetura sobre la existencia de métricas de Kähler en variedades compactas de Kähler , ahora conocida como la conjetura de Calabi . ^[3] Una formulación de la conjetura es que una variedad Kähler compacta admite una métrica Kähler-Einstein única en la clase . En el caso particular en el que , tal métrica de Kähler-Einstein sería plana de Ricci , haciendo que la variedad sea una variedad Calabi-Yau . La conjetura de Calabi se resolvió en el caso donde por Thierry Aubin y Shing-Tung Yau , y cuando por Yau. ^{[4] [5]}${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle c_ {1} (X)}$${\ Displaystyle c_ {1} (X) = 0}$${\ Displaystyle c_ {1} (X) <0}$${\ Displaystyle c_ {1} (X) = 0}$^[6] En el caso deque seauna variedad de Fano , no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Es decir, se sabía por el trabajo de Yozo Matsushima y André Lichnerowicz que una variedad de Kähler consólo puede admitir una métrica de Kähler-Einstein si el álgebra de Lie es reductiva . ^{[7] [8]} Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que la explosión del plano proyectivo complejo en un puntoes Fano, pero no tiene álgebra de Lie reductiva. Por tanto, no todas las variedades de Fano pueden admitir métricas de Kähler-Einstein.${\ Displaystyle c_ {1} (X)> 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle c_ {1} (X)> 0}$ ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, TX)}$${\ Displaystyle {\ text {Bl}} _ {p} \ mathbb {CP} ^ {2}}$

Después de la resolución de la conjetura de Calabi, la atención se centró en el problema vagamente relacionado de encontrar métricas canónicas en paquetes de vectores sobre variedades complejas. En 1983, Donaldson produjo una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri . ^[9] Como lo demostró Donaldson, el teorema establece que un conjunto de vectores holomórficos sobre una superficie compacta de Riemann es estable si y sólo si corresponde a una conexión unitaria irreductible de Yang-Mills . Es decir, una conexión unitaria que es un punto crítico de la función Yang-Mills. ${\ Displaystyle c_ {1} (X) \ leq 0}$