Shing-Tung Yau ( / j aʊ / ; chino :丘成桐; pinyin : Qiū Chéngtóng ; nacido el 4 de abril de 1949) es un matemático estadounidense y profesor de matemáticas William Caspar Graustein en la Universidad de Harvard . [1]
Yau nació en Shantou , China, se mudó a Hong Kong a una edad temprana y a los Estados Unidos en 1969. Fue galardonado con la Medalla Fields en 1982, en reconocimiento a sus contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales , la conjetura de Calabi , el positivo el teorema de la energía y la ecuación de Monge-Ampère . [2] Yau se considera uno de los principales contribuyentes al desarrollo de la geometría diferencial moderna y el análisis geométrico . El impacto del trabajo de Yau se puede ver en los campos matemáticos y físicos de la geometría diferencial, ecuaciones diferenciales parciales , geometría convexa , geometría algebraica , geometría enumerativa , simetría especular , relatividad general y teoría de cuerdas , mientras que su trabajo también ha tocado matemáticas aplicadas. , ingeniería y análisis numérico .
Biografía
Yau nació en Shantou , Guangdong , China con ascendencia Hakka en el condado de Jiaoling . Tiene siete hermanos, incluido Stephen Shing-Toung Yau , también matemático. [3] Cuando tenía solo unos meses, su familia se mudó a Hong Kong .
El padre de Yau, Yau Chenying, era un profesor de filosofía chino patriótico que trabajó contra los invasores japoneses. Bajo la influencia de su padre, Yau adquirió un amplio conocimiento de la literatura y la historia clásicas chinas, lo que resultó en un ensayo sobre matemáticas y literatura china (數學 和 中國 文學 的 比較), con referencia a El sueño de la cámara roja y Wang Guowei , explicando la relación estructural entre las matemáticas y la literatura china, publicada en 2006. Su madre era del condado de Mei . [ cita requerida ]
Después de graduarse de la escuela secundaria Pui Ching , estudió matemáticas en la Universidad China de Hong Kong de 1966 a 1969. Yau se fue a la Universidad de California, Berkeley en el otoño de 1969, donde recibió su doctorado. en matemáticas dos años después, bajo la supervisión de Shiing-Shen Chern . Pasó un año como miembro del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton antes de unirse a la Universidad de Stony Brook en 1972 como profesor asistente. En 1974, se convirtió en profesor asociado en la Universidad de Stanford . [4]
En 1978, Yau se convirtió en "apátrida" después de que el consulado británico revocara su residencia en Hong Kong debido a su estado de residencia permanente en los Estados Unidos . [5] [a] Con respecto a su estado cuando recibió su Medalla Fields en 1982, Yau declaró: "Me enorgullece decir que cuando me otorgaron la Medalla Fields en matemáticas, no tenía pasaporte de ningún país y ciertamente debería ser considerado chino. " [6] Yau permaneció "apátrida" hasta 1990, cuando obtuvo la ciudadanía estadounidense. [5] [7]
De 1984 a 1987 trabajó en la Universidad de California, San Diego . [8] Desde 1987, ha estado en la Universidad de Harvard . [9]
Contribuciones técnicas a las matemáticas
Yau ha contribuido al desarrollo de la geometría diferencial moderna y el análisis geométrico . Como dijo William Thurston en 1981: [10]
Rara vez hemos tenido la oportunidad de presenciar el espectáculo del trabajo de un matemático que afecta, en un breve lapso de años, la dirección de áreas enteras de investigación. En el campo de la geometría, uno de los ejemplos más notables de tal ocurrencia durante la última década lo dan las contribuciones de Shing-Tung Yau.
La conjetura de Calabi
En 1978, al estudiar la compleja ecuación de Monge-Ampère , Yau resolvió la conjetura de Calabi , que había sido planteada por Eugenio Calabi en 1954. [Y78a] Esto demostró que existen métricas de Kähler-Einstein en cualquier variedad de Kähler cerrada cuya primera clase de Chern no sea positiva. . El método de Yau se basó en encontrar adaptaciones apropiadas del trabajo anterior de Calabi, Jürgen Moser y Aleksei Pogorelov , desarrollado para ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales y la ecuación real de Monge-Ampère , al ajuste de la compleja ecuación de Monge-Ampère. [11] [12] [13]
En geometría diferencial , el teorema de Yau es significativo para probar la existencia general de variedades cerradas de holonomía especial ; cualquier variedad de Kähler cerrada simplemente conectada que sea plana de Ricci debe tener su grupo de holonomía contenido en el grupo unitario especial , de acuerdo con el teorema de Ambrose-Singer . Dominic Joyce y Peter Kronheimer han encontrado ejemplos de variedades compactas de Riemann con otros grupos de holonomía especiales , aunque no se han identificado con éxito propuestas de resultados de existencia general, análogas a la conjetura de Calabi, en el caso de los otros grupos. [14] [15]
En geometría algebraica , la existencia de métricas canónicas propuestas por Calabi permite dar representantes igualmente canónicos de clases características mediante formas diferenciales . Debido a los esfuerzos iniciales de Yau para refutar la conjetura de Calabi mostrando que conduciría a contradicciones en tales contextos, pudo extraer corolarios sorprendentes de su teorema principal. [Y77] En particular, la conjetura de Calabi implica la desigualdad de Miyaoka-Yau en números de superficies Chern , así como caracterizaciones homotópicas de las estructuras complejas del plano proyectivo complejo y de cocientes de la bola unitaria compleja bidimensional .
En teoría de cuerdas , Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger y Edward Witten descubrieron en 1985 que las variedades Calabi-Yau, debido a su holonomía especial, son los espacios de configuración apropiados para las supercuerdas. [16] Por esta razón, el teorema de existencia de Yau para las variedades Calabi-Yau se considera de fundamental importancia en la teoría de cuerdas moderna.
La curvatura escalar y el teorema de la energía positiva
El teorema de la energía positiva, obtenido por Yau en colaboración con su ex alumno de doctorado Richard Schoen , se describe a menudo en términos físicos:
En la teoría de la relatividad general de Einstein , la energía gravitacional de un sistema físico aislado no es negativa.
Sin embargo, es un teorema preciso de geometría diferencial y análisis geométrico . El enfoque de Schoen y Yau se basa en su estudio de las variedades riemannianas de curvatura escalar positiva, que se considera de interés en sí mismo.
Schoen y Yau identificaron una forma simple pero novedosa de insertar las ecuaciones de Gauss-Codazzi en la segunda fórmula de variación para el área de una hipersuperficie mínima estable de una variedad riemanniana tridimensional, que según el teorema de Gauss-Bonnet restringe en gran medida la posible topología de tal superficie cuando el 3-múltiple tiene curvatura escalar positiva.
Schoen y Yau explotaron esta observación al encontrar nuevas construcciones de hipersuperficies mínimas estables con varias propiedades controladas. Algunos de sus resultados de existencia se desarrollaron simultáneamente con los reconocidos resultados de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck . [17] Su resultado más conocido es el establecimiento de ciertos conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos en la relatividad general , donde mostraron que la negatividad de la masa permitiría invocar el problema Plateau para construir superficies mínimas estables cuya topología se contradice con una extensión de su observación original sobre el teorema de Gauss-Bonnet. Esta contradicción demostró ser una formulación de Riemann del teorema de la masa positiva en la relatividad general.
Schoen y Yau ampliaron esto a la formulación estándar de Lorentz del teorema de masa positiva mediante el estudio de una ecuación diferencial parcial propuesta por Pong-Soo Jang. Demostraron que las soluciones a la ecuación de Jang existen lejos de los horizontes aparentes de los agujeros negros, en los que las soluciones pueden divergir hasta el infinito. Al relacionar la geometría de un conjunto de datos iniciales de Lorentz con la geometría de la gráfica de una solución a la ecuación de Jang, interpretada como un conjunto de datos iniciales de Riemann, Schoen y Yau redujeron la formulación general de Lorentz del teorema de masa positiva a su valor previamente probado. Formulación de Riemann.
Debido al uso del teorema de Gauss-Bonnet, estos resultados se restringieron originalmente al caso de variedades de Riemannian tridimensionales y variedades de Lorentzian de cuatro dimensiones. Schoen y Yau establecieron una inducción sobre la dimensión mediante la construcción de métricas riemannianas de curvatura escalar positiva en hipersuperficies mínimas de variedades de Riemann que tienen curvatura escalar positiva. Tales hipersuperficies mínimas, que fueron construidas por medio de la teoría de la medida geométrica por Frederick Almgren y Herbert Federer , generalmente no son lisas en grandes dimensiones, por lo que estos métodos solo se aplican directamente a las variedades riemannianas de dimensión menor a ocho. En 2017, Schoen y Yau publicaron un preimpreso que afirmaba resolver estas dificultades, probando así la inducción sin restricción dimensional y verificando el teorema de masa positiva de Riemann en dimensión arbitraria.
El principio máximo de Omori-Yau
En 1975, Yau extendió parcialmente un resultado de Hideki Omori que permite la aplicación del principio máximo en espacios no compactos, donde no se garantiza que existan máximos. [18] [Y75]
Sea ( M , g ) una variedad de Riemannian completa y suave cuya curvatura de Ricci está acotada por debajo, y sea u una función C 2 en M que está acotada por encima. Entonces existe una secuencia p k en M tal que
La formulación de Omori requería la suposición más restrictiva de que las curvaturas seccionales de g están limitadas por debajo por una constante, aunque permitió una conclusión más fuerte, en la que el laplaciano de u puede ser reemplazado por su arpillera.
Una aplicación directa del principio de Omori-Yau, publicado en 1978, da la generalización de Yau del clásico lema de Schwarz del análisis complejo. [Y78b]
Cheng y Yau demostraron que la suposición de curvatura de Ricci en el principio máximo de Omori-Yau puede ser reemplazada por la suposición de la existencia de funciones de corte suave de cierta geometría controlable. [CY75] Utilizando esto como la herramienta principal para ampliar parte del trabajo de Yau al probar la conjetura de Calabi, fueron capaces de construir análogos geométricos complejos al modelo de bola de Poincaré del espacio hiperbólico . En particular, demostraron que existen métricas completas de Kähler-Einstein de curvatura escalar negativa en cualquier subconjunto limitado, suave y estrictamente pseudoconvexo de un espacio vectorial complejo de dimensión finita. [CY80]
Desigualdades diferenciales de Harnack
En el artículo de Yau sobre el principio máximo de Omori-Yau, su aplicación principal fue establecer estimaciones de gradientes para una serie de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . [Y75] dieron una completa y suave variedad de Riemann ( M , g ) y una función f en M que satisface un requisito relativo Δ f a f y df , Yau aplica el principio del máximo a expresiones tales como
para mostrar que u debe estar acotado por debajo por una constante positiva. Tal conclusión equivale a un límite superior en el tamaño del gradiente de log ( f + c 1 ) .
Estas nuevas estimaciones se han denominado "desigualdades diferenciales de Harnack", ya que pueden integrarse a lo largo de trayectorias arbitrarias en M para recuperar desigualdades que tienen la forma de las clásicas desigualdades de Harnack , comparando directamente los valores de una solución con una ecuación diferencial en dos diferentes puntos de entrada.
Haciendo uso del estudio de Calabi de la función de distancia en una variedad riemanniana, [19] Yau y Shiu-Yuen Cheng dieron una localización poderosa de las estimaciones de gradiente de Yau, usando los mismos métodos para simplificar la demostración del principio máximo de Omori-Yau. [CY75] Estas estimaciones se citan ampliamente en el caso particular de funciones armónicas en una variedad riemanniana, aunque los resultados originales de Yau y Cheng-Yau cubren escenarios más generales.
En 1986, Yau y Peter Li utilizaron los mismos métodos para estudiar ecuaciones diferenciales parciales parabólicas en variedades de Riemann. [LY86] Richard Hamilton generalizó sus resultados en ciertos entornos geométricos a las desigualdades matriciales. [20] Los análogos de las desigualdades Li-Yau y Hamilton-Li-Yau son de gran importancia en la teoría del flujo de Ricci , donde Hamilton demostró una desigualdad de Harnack diferencial de matriz para el operador de curvatura de ciertos flujos de Ricci, y Grigori Perelman demostró un diferencial Desigualdad de Harnack para las soluciones de una ecuación de calor hacia atrás junto con un flujo de Ricci. [21] [22]
Curiosamente, Cheng y Yau pudieron usar sus estimaciones diferenciales de Harnack para mostrar que, bajo ciertas condiciones geométricas, las subvariedades cerradas de espacios riemannianos o pseudo-riemannianos completos están completos en sí mismos. Por ejemplo, demostraron que si M es una hipersuperficie similar a un espacio del espacio de Minkowski que está topológicamente cerrado y tiene una curvatura media constante, entonces la métrica de Riemann inducida en M está completa. [CY76a] De manera análoga, demostraron que si M es una hiperesfera afín del espacio afín que está topológicamente cerrado, entonces la métrica afín inducida en M está completa. [CY86] Estos resultados se logran al derivar una desigualdad diferencial de Harnack para la función de distancia (al cuadrado) a un punto dado e integrar a lo largo de caminos intrínsecamente definidos.
El teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau
En 1985, Simon Donaldson demostró que si M es una variedad proyectiva no singular de dimensión compleja dos, entonces un paquete vectorial holomórfico sobre M admite una conexión Yang-Mills hermitiana si y solo si el paquete es estable. [23] Un resultado de Yau y Karen Uhlenbeck generalizó el resultado de Donaldson para permitir que M fuera una variedad Kähler compacta de cualquier dimensión. [UY86] El método Uhlenbeck-Yau se basó en ecuaciones diferenciales parciales elípticas, mientras que Donaldson utilizó ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, aproximadamente en paralelo al trabajo de época de Eells y Sampson sobre mapas armónicos . [24]
Desde entonces, otros autores han ampliado los resultados de Donaldson y Uhlenbeck-Yau. [25] El artículo de Uhlenbeck y Yau es importante para dar una razón clara de que la estabilidad del conjunto de vectores holomórficos puede estar relacionada con los métodos analíticos utilizados en la construcción de una conexión hermitiana de Yang-Mills. El mecanismo esencial es que si una secuencia aproximada de conexiones hermitianas no converge con la conexión Yang-Mills requerida, entonces se pueden reescalar para que converjan en una subhecha que se puede verificar que es desestabilizadora por la teoría de Chern-Weil .
El teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau, que relaciona la existencia de soluciones de una ecuación diferencial parcial geométrica con la estabilidad algebro-geométrica, puede verse como un precursor de la conjetura posterior de Yau-Tian-Donaldson, que se analiza a continuación.
Problemas de variación geométrica
En 1982, Li y Yau probaron la siguiente declaración:
Sea f : M → S 3 una inmersión suave que no es una incrustación. Si a S 3 se le da su métrica estándar de Riemann y M es una superficie bidimensional lisa cerrada, entonces
donde H es la curvatura media de f y dμ es la forma del volumen de Riemann inducida sobre M .
Esto se complementa con un resultado de 2012 de Fernando Marques y André Neves , que dice que en el caso alternativo de que f es una inserción suave de S 1 × S 1 , entonces la conclusión es válida con 8π reemplazado por 2π 2 . [26] Juntos, estos resultados comprenden la conjetura de Willmore , tal como la formuló originalmente Thomas Willmore en 1965.
Aunque sus supuestos y conclusiones son similares, los métodos de Li-Yau y Marques-Neves son distintos. Marques y Neves hicieron un uso novedoso de la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts de la teoría de la medida geométrica . Li y Yau introdujeron un nuevo "invariante conforme": dada una variedad de Riemann ( M , g ) y un entero positivo n , definen
El trabajo principal de su artículo consiste en relacionar su invariante conforme con otras cantidades geométricas. Es interesante que a pesar de la independencia lógica de las pruebas de Li-Yau y Marques-Neves, ambos se basan en esquemas minimax conceptualmente similares.
Meeks y Yau produjeron algunos resultados fundamentales en superficies mínimas en variedades tridimensionales, revisando puntos que dejaron abiertos por trabajos anteriores de Jesse Douglas y Charles Morrey . Siguiendo estos fundamentos, Meeks, Simon y Yau dieron una serie de resultados fundamentales en superficies en variedades riemannianas tridimensionales que minimizan el área dentro de su clase de homología. Pudieron dar una serie de aplicaciones sorprendentes. Por ejemplo:
Si M es un orientable 3-colector de tal manera que cada liso embebidas 2-esfera es el límite de una región difeomorfa a una bola abierta en ℝ 3 , entonces el mismo es cierto de cualquier espacio que cubre de M .
Curiosamente, el artículo de Meeks-Simon-Yau y el artículo fundacional de Hamilton sobre el flujo de Ricci , publicado el mismo año, tienen un resultado en común: cualquier variedad Riemanniana compacta tridimensional simplemente conectada con curvatura de Ricci positiva es difeomórfica a la 3-esfera.
Teoremas de rigidez geométrica
El siguiente es un resultado bien conocido: [27] [28]
Sea u una función de valor real en ℝ n . Suponga que la gráfica de u tiene una curvatura media evanescente como una hipersuperficie de ℝ n +1 . Si n es menor que nueve, esto implica que u tiene la forma u ( x ) = a ⋅ x + b , mientras que esta implicación no se cumple si n es mayor o igual que nueve.
El punto clave de la prueba es la inexistencia de hipersuperficies estables cónicas y no planas de espacios euclidianos de baja dimensión; Schoen, Leon Simon y Yau dieron una prueba simple . Dada la dimensión de "umbral" de nueve en el resultado anterior, es un hecho algo sorprendente, debido a Cheng y Yau, que no hay restricción dimensional en la versión de Lorentzian:
Sea u una función de valor real en ℝ n . Suponga que la gráfica de u es una hipersuperficie similar a un espacio del espacio de Minkowski ℝ n , 1 que tiene una curvatura media de fuga. Entonces u tiene la forma u ( x ) = a ⋅ x + b .
Su demostración hace uso de las técnicas de principio máximo que habían usado previamente para probar las estimaciones diferenciales de Harnack. En un artículo publicado en 1986, utilizaron técnicas similares para dar una nueva prueba de la clasificación de hiperesferas afines parabólicas o elípticas completas.
Al adaptar el método de Jürgen Moser para probar las desigualdades de Caccioppoli, [12] Yau demostró nuevos resultados de rigidez para funciones en variedades riemannianas completas, por ejemplo, mostrando que si u es una función suave y positiva en una variedad riemanniana completa, entonces ∆ u ≥ 0 junto con la integrabilidad L p de u implica que u debe ser constante. De manera similar, en una variedad de Kähler completa, cada función holomórfica con valores complejos que sea L p -integrable debe ser constante.
A través de una extensión de la identidad diferencial de Hermann Weyl utilizada en la solución del problema de incrustación isométrica de Weyl, Cheng y Yau produjeron nuevos teoremas de rigidez que caracterizan las hipersuperficies de las formas espaciales por su geometría intrínseca.
El artículo de Yau de 1974, según la revisión de Robert Osserman , contiene una "asombrosa variedad" de resultados sobre subvariedades de formas espaciales que tienen un vector de curvatura media de longitud constante o paralelo. Los principales resultados son la reducción de la codimensión.
La ecuación real de Monge-Ampère
En 1953, Louis Nirenberg dio la solución al problema bidimensional de Minkowski de la geometría diferencial clásica. En 1976 y 1977, Cheng y Yau dieron soluciones al problema multidimensional de Minkowski y al problema del valor en la frontera para la ecuación de Monge-Ampère . Su solución de la ecuación de Monge-Ampère hizo uso del problema de Minkowski, a través de la transformada de Legendre , siendo la observación que la transformada de Legendre de una solución de la ecuación de Monge-Ampère tiene la curvatura gaussiana de su gráfica prescrita por una fórmula simple que depende de " lado derecho "de la ecuación de Monge-Ampère. Este enfoque ya no se ve comúnmente en la literatura sobre la ecuación de Monge-Ampère, que tiende a depender de métodos más directos y puramente analíticos. No obstante, los artículos de Cheng y Yau fueron los primeros resultados publicados que dieron una solución completa a estos resultados; en forma esquemática, siguieron el trabajo anterior de Aleksei Pogorelov , aunque sus trabajos publicados no habían abordado algunos detalles técnicos importantes.
Simetría de espejo
Un "colector Calabi-Yau" se refiere a un colector Kähler compacto que es Ricci-flat; según la verificación de Yau de la conjetura de Calabi, se sabe que existen tales variedades. La simetría de espejo, que es una propuesta de los físicos a partir de finales de los 80, postula que las variedades Calabi-Yau de dimensión compleja 3 pueden agruparse en pares que comparten características, como los números de Euler y Hodge. Con base en esta imagen conjetural, los físicos Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes propusieron una fórmula de geometría enumerativa que, dado cualquier entero positivo d , codifica el número de curvas racionales de grado d en una hipersuperficie quíntica general. del espacio proyectivo complejo de cuatro dimensiones. [29] Bong Lian, Kefeng Liu y Yau dieron una prueba rigurosa de que esta fórmula es válida. Alexander Givental había dado anteriormente una prueba de las fórmulas del espejo; según Lian, Liu y Yau, los detalles de su prueba solo se completaron con éxito después de su propia publicación. [30] [31]
Los enfoques de Givental y de Lian-Liu-Yau son formalmente independientes de la imagen conjetural de si las variedades tridimensionales de Calabi-Yau pueden agruparse de hecho como afirman los físicos. Con Andrew Strominger y Eric Zaslow , Yau propuso una imagen geométrica de cómo podría entenderse sistemáticamente esta agrupación. La idea esencial es que una variedad Calabi-Yau con dimensión compleja tres debe ser foliada por tori "lagrangianos especiales", que son ciertos tipos de subvariedades mínimas tridimensionales de la variedad Riemanniana de seis dimensiones subyacentes a la estructura Calabi-Yau. Dada una variedad Calabi-Yau tridimensional, uno construye su "espejo" mirando la foliación de su toro, dualizando cada toro y reconstruyendo la variedad Calabi-Yau tridimensional, que ahora tendrá una nueva estructura.
La propuesta de Strominger-Yau-Zaslow (SYZ), aunque no se expresó con mucha precisión, ahora se considera demasiado optimista. Hay que tener en cuenta varias degeneraciones y singularidades; aun así, todavía no existe una forma única y precisa de la conjetura SYZ. No obstante, su imagen conceptual ha tenido una enorme influencia en el estudio de la simetría especular, y la investigación sobre sus diversas facetas es actualmente un campo activo. Puede contrastarse con una propuesta alternativa (e igualmente influyente) de Maxim Kontsevich conocida como simetría especular homológica , que trata de estructuras puramente algebraicas. [32]
Geometría espectral
Dada una variedad de Riemanniana compacta suave, con o sin límite, la geometría espectral estudia los valores propios del operador de Laplace-Beltrami , que en el caso de que la variedad tenga un límite se acopla con una opción de condición de límite, generalmente condiciones de Dirichlet o Neumann. Paul Yang y Yau demostraron que en el caso de una variedad bidimensional sin límite, el primer valor propio está delimitado por encima de una fórmula explícita que depende únicamente del género y el volumen de la variedad.
Hermann Weyl , en la década de 1910, demostró que en el caso de las condiciones de frontera de Dirichlet en un subconjunto abierto liso y limitado del plano, los valores propios tienen un comportamiento asintótico que es dictado enteramente por el área contenida en la región. En 1960, George Pólya conjeturó que el comportamiento de Weyl da control de cada valor propio individual, y no solo de su distribución asintótica. Li y Yau, en 1983, demostraron ser una versión debilitada que controlaba el promedio de los primeros valores propios de k para k arbitrario . Hasta la fecha, la conjetura de Polya no promediada permanece abierta.
El artículo de 1980 de Li y Yau dio una serie de desigualdades para los valores propios (para ambos tipos estándar de condiciones de frontera además del caso sin fronteras), todas basadas en el principio máximo y en las estimaciones diferenciales puntuales de Harnack, iniciadas cinco años antes por Yau y Cheng. -Yau.
Formulación de conjeturas
Yau ha recopilado conjuntos influyentes de problemas abiertos en geometría diferencial , que incluyen tanto viejas conjeturas conocidas como nuevas propuestas y problemas. Dos de las listas de problemas más citadas de Yau de la década de 1980 se han actualizado con notas sobre el progreso reciente a partir de 2014. [33]
Demostrar la conjetura de la geometrización a través del flujo de Ricci
En 1982, William Thurston publicó su renombrada conjetura de geometrización , afirmando que en una variedad tridimensional cerrada arbitraria, uno podría encontrar esferas bidimensionales incrustadas y toros que desconectan la variedad tridimensional en piezas que admiten estructuras "geométricas" uniformes. En el mismo año, Richard Hamilton publicó su trabajo trascendental sobre el flujo de Ricci , utilizando un teorema de convergencia para una ecuación diferencial parcial parabólica para demostrar que ciertas estructuras geométricas no uniformes en 3 variedades podrían deformarse en estructuras geométricas uniformes.
Aunque a menudo se atribuye a Hamilton, ha observado que Yau es responsable de la idea de que una comprensión precisa de la falla de la convergencia de la ecuación diferencial de Hamilton podría ser suficiente para probar la existencia de las esferas y toros relevantes en la conjetura de Thurston. Esta idea estimuló la investigación adicional de Hamilton en la década de 1990 sobre las singularidades del flujo de Ricci, y culminó con los preprints de Grigori Perelman sobre el problema en 2002 y 2003. La conjetura de la geometrización ahora se reconoce comúnmente como resuelta a través del trabajo de Hamilton y Perelman. .
Existencia de hipersuperficies mínimas
En 1981, se utilizó la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts en la teoría de la medida geométrica para demostrar la existencia de al menos una hipersuperficie mínima de cualquier variedad de Riemannian tridimensional lisa cerrada. Yau, en 1982, conjeturó que siempre deben existir infinitas tales hipersuperficies sumergidas. Kei Irie, Fernando Codá Marques y André Neves resolvieron este problema, para variedades de dimensión tres a siete, en el caso genérico . [34] Antoine Song publicó más tarde una preimpresión (aún no publicada) afirmando que la conjetura de Yau se sostiene sin la suposición de genéricaidad en el mismo rango de dimensiones. [35]
Métricas de Kähler-Einstein y estabilidad de variedades complejas
La solución de Yau de la conjetura de Calabi dio una respuesta esencialmente completa a la pregunta de cómo las métricas de Kähler en variedades complejas de la primera clase Chern no positiva pueden deformarse en métricas de Kähler-Einstein. Akito Futaki demostró que la existencia de campos vectoriales holomórficos puede actuar como una obstrucción para la extensión de estos resultados al caso cuando la variedad compleja tiene una primera clase Chern positiva. Una propuesta de Calabi, que aparece en la "Sección de problemas" de Yau, fue que existen métricas de Kähler-Einstein en cualquier variedad Kähler compacta con primera clase Chern positiva que no admite campos vectoriales holomórficos. Durante la década de 1980, Yau llegó a creer que este criterio no sería suficiente, y que la existencia de métricas de Kähler-Einstein en este entorno debe estar vinculada a la estabilidad de la variedad compleja en el sentido de la teoría geométrica invariante . La comprensión de Yau de esta cuestión se actualizó en la publicación de la década de 1990 "Problemas abiertos en geometría". La investigación posterior de Gang Tian y Simon Donaldson refinó esta conjetura, que se conoció como la "conjetura de Yau-Tian-Donaldson". El problema se resolvió en 2015 gracias a Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun , que recibieron el premio Oswald Veblen por su trabajo. [36] [37] [38]
Conjuntos nodales de funciones propias
En 1980, Yau conjeturó que en una variedad riemanniana cerrada suave, el tamaño del conjunto cero de funciones propias del laplaciano crecería a una tasa de precio de acuerdo con el tamaño del valor propio. Tras una serie de resultados parciales, la conjetura fue resuelta en 2018 por Alexander Logunov y Eugenia Malinnikova , quienes recibieron el premio de investigación Clay en parte por su trabajo. [39] [40] [41] [42] [43]
Otro
Las otras contribuciones importantes de Yau incluyen la resolución de la conjetura de Frankel con Yum-Tong Siu (una solución más general debida a Shigefumi Mori y una extensión debida a Ngaiming Mok ), el trabajo con William Meeks sobre la integración y equivariancia de las soluciones del problema de Plateau. (que se convirtió en una parte clave de la solución de la conjetura de Smith en topología geométrica ), extensiones parciales de la conjetura de Calabi a escenarios no compactos con Gang Tian , y un estudio de la existencia de grandes esferas de curvatura media constante en variedades riemannianas asintóticamente planas con Gerhard Huisken .
Algunas de las contribuciones notables más recientes de Yau incluyen el trabajo con Ji-Xiang Fu y Jun Li en el sistema Strominger , el trabajo con Yong Lin en la curvatura de Ricci de los gráficos, el trabajo con Kefeng Liu y Xiaofeng Sun en la geometría del espacio de módulos de las superficies de Riemann. , trabaja con Dario Martelli y James Sparks en métricas de Sasaki-Einstein , y trabaja con Mu-Tao Wang en cantidades conservadas en relatividad general .
Iniciativas en China continental y Taiwán
Después de que China entró en la era de la reforma y la apertura , Yau volvió a visitar China en 1979 por invitación de Hua Luogeng .
Para ayudar a desarrollar las matemáticas chinas, Yau comenzó por educar a estudiantes de China. Luego comenzó a establecer institutos y centros de investigación matemática, organizar conferencias en todos los niveles, iniciar programas de extensión y recaudar fondos privados para estos fines. John Coates ha comentado sobre el éxito de Yau como recaudador de fondos. [44] La primera de las iniciativas de Yau es el Instituto de Ciencias Matemáticas de la Universidad China de Hong Kong en 1993. El objetivo es "organizar actividades relacionadas con una amplia variedad de campos que incluyen matemáticas puras y aplicadas, computación científica , procesamiento de imágenes , física matemática y estadística . El énfasis está en la interacción y los vínculos con las ciencias físicas , la ingeniería , la industria y el comercio ".
La segunda gran iniciativa de Yau es el Centro de Matemáticas Morningside en Beijing, establecido en 1996. Parte del dinero para el edificio y las operaciones regulares fue recaudado por Yau de la Fundación Morningside en Hong Kong. Yau también propuso organizar el Congreso Internacional de Matemáticos Chinos, que ahora se celebra cada tres años. El primer congreso se llevó a cabo en el Morningside Center del 12 al 18 de diciembre de 1998.
Su tercera iniciativa es el Centro de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Zhejiang , establecido en 2002. Yau es el director de los tres institutos de matemáticas y los visita con regularidad.
Yau fue a Taiwán para asistir a una conferencia en 1985. En 1990, Liu Chao-shiuan , entonces presidente de la Universidad Nacional de Tsinghua , lo invitó a visitar la universidad durante un año. Unos años más tarde, convenció a Liu, entonces presidente del Consejo Nacional de Ciencias , para que creara el Centro Nacional de Ciencias Teóricas (NCTS), que se estableció en Hsinchu en 1998. Fue presidente del Consejo Asesor del NCTS hasta 2005. .
Actividades profesionales y divulgación
En Hong Kong, con el apoyo de Ronnie Chan , Yau creó el Premio Hang Lung para estudiantes de secundaria. También ha organizado y participado en reuniones para estudiantes de secundaria y universitarios, como los paneles de discusión ¿Por qué matemáticas? ¡Pregúntale a Masters! en Hangzhou , julio de 2004, y The Wonder of Mathematics en Hong Kong, diciembre de 2004. Yau también co-inició una serie de libros sobre matemáticas populares, "Matemáticas y gente matemática".
Yau organiza la conferencia anual "Journal of Differential Geometry", así como la conferencia anual "Current Developments in Mathematics". Es el director fundador del Centro de Ciencias y Aplicaciones Matemáticas de la Universidad de Harvard , un centro de investigación multidisciplinario. [45] Es editor en jefe del Journal of Differential Geometry , Asian Journal of Mathematics y Advances in Theoretical and Mathematical Physics .
Ha asesorado a más de setenta Ph.D. estudiantes.
Controversia de la conjetura de Poincaré
En agosto de 2006, un artículo del New Yorker , Manifold Destiny , alegaba que Yau estaba minimizando el trabajo de Grigori Perelman sobre la conjetura de Poincaré . [6] Yau afirmó que este artículo era difamatorio y amenazó con entablar una demanda. The New Yorker se mantuvo fiel a la historia y no se presentó ninguna demanda. En septiembre de 2006, Yau estableció un sitio web de relaciones públicas, que disputaba puntos en él. Diecisiete matemáticos, incluidos dos citados en el artículo del New Yorker , publicaron cartas de fuerte apoyo. [46]
El 17 de octubre de 2006, apareció un perfil más comprensivo de Yau en The New York Times . [47] Dedicó aproximadamente la mitad de su extensión al asunto Perelman. El artículo afirmaba que Yau había alejado a algunos colegas, pero representaba la posición de Yau, ya que la prueba de Perelman no se entendía en general y que "tenía el deber de desenterrar la verdad de la prueba". [48]
Honores y premios
Yau ha recibido cátedras honorarias de muchas universidades chinas, incluida la Universidad Normal de Hunan , la Universidad de Pekín , la Universidad de Nankai y la Universidad de Tsinghua . Tiene títulos honoríficos de muchas universidades internacionales, incluida la Universidad de Harvard , la Universidad China de Hong Kong y la Universidad de Waterloo . Es miembro extranjero de las Academias Nacionales de Ciencias de China, India y Rusia.
Sus premios incluyen:
- 1975–1976, Sloan Fellow .
- 1981, Premio Oswald Veblen de Geometría .
- 1981, Premio John J. Carty para el Avance de la Ciencia , Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos . [49]
- 1982, Medalla Fields , por "sus contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales, a la conjetura de Calabi en geometría algebraica , a la conjetura de masa positiva de la teoría de la relatividad general ya las ecuaciones reales y complejas de Monge-Ampère".
- 1982, elegido miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias
- 1982, Beca Guggenheim .
- 1984–1985, MacArthur Fellow .
- 1991, Premio de Investigación Humboldt , Alexander von Humboldt Fundación , Alemania.
- 1993, elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos
- 1994, Premio Crafoord . [50]
- 1997, Medalla Nacional de Ciencias de los Estados Unidos .
- 2003, Premio Internacional de Cooperación Científica y Tecnológica de China, por "su destacada contribución a la República Popular China en los aspectos del progreso en las ciencias y la tecnología, la formación de investigadores".
- 2010, Premio Wolf de Matemáticas , por "su trabajo en análisis geométrico y física matemática". [51]
- 2018, premios Marcel Grossmann, por "la demostración de la positividad de la masa total en la teoría de la relatividad general y perfeccionamiento del concepto de masa cuasi-local, por su demostración de la conjetura de Calabi, por su continuo papel inspirador en la estudio de la física de los agujeros negros ". [52]
Publicaciones importantes
Artículos de investigación Yau es autor de más de quinientos artículos. La siguiente lista de veintinueve es la más citada, como se examinó anteriormente:
Y74. | Yau, Shing Tung. Subvariedades con curvatura media constante. Yo, II. Amer. J. Math. 96 (1974), 346–366; ibídem. 97 (1975), 76–100. |
Y75. | Yau, Shing Tung. Funciones armónicas en variedades riemannianas completas. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 28 (1975), 201–228. |
CY75. | Cheng, SY; Yau, ST Ecuaciones diferenciales sobre variedades de Riemann y sus aplicaciones geométricas. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 28 (1975), núm. 3, 333–354. |
SSY75. | Schoen, R .; Simon, L .; Yau, estimaciones de curvatura ST para hipersuperficies mínimas. Acta Math. 134 (1975), núm. 3-4, 275-288. |
CY76a. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. Hiperuperficies espaciales máximas en los espacios de Lorentz-Minkowski. Ana. de Matemáticas. (2) 104 (1976), núm. 3, 407–419. |
CY76b. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. Sobre la regularidad de la solución del problema de Minkowski n-dimensional. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 29 (1976), núm. 5, 495–516. |
SY76. | Schoen, Richard; Yau, Shing Tung. Mapas de armónicos y topología de hipersuperficies estables y variedades con curvatura de Ricci no negativa. Comentario. Matemáticas. Helv. 51 (1976), núm. 3, 333–341. |
Y76. | Yau, Shing Tung. Algunas propiedades de la teoría de funciones de la variedad Riemanniana completa y sus aplicaciones a la geometría. Indiana Univ. Matemáticas. J. 25 (1976), núm. 7, 659–670.
|
CY77a. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. Sobre la regularidad de la ecuación de Monge-Ampère det (∂ 2 u / ∂x i ∂x j ) = F (x, u) . Comm. Pure Appl. Matemáticas. 30 (1977), núm. 1, 41–68. |
CY77b. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. Hiperesuperficies con curvatura escalar constante. Matemáticas. Ana. 225 (1977), núm. 3, 195-204. |
Y77. | Yau, Shing Tung. La conjetura de Calabi y algunos resultados nuevos en geometría algebraica. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 74 (1977), no. 5, 1798-1799. |
Y78a. | Yau, Shing Tung. Sobre la curvatura de Ricci de un colector compacto de Kähler y la compleja ecuación de Monge-Ampère. I. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 31 (1978), núm. 3, 339–411. |
Y78b. | Yau, Shing Tung. Un lema general de Schwarz para las variedades de Kähler. Amer. J. Math. 100 (1978), núm. 1, 197-203. |
SY79a. | Schoen, R .; Yau, ST Sobre la estructura de variedades con curvatura escalar positiva. Manuscripta Math. 28 (1979), núm. 1-3, 159-183. |
SY79b. | Schoen, R .; Yau, Shing Tung. Existencia de superficies mínimas incompresibles y topología de variedades tridimensionales con curvatura escalar no negativa. Ana. de Matemáticas. (2) 110 (1979), núm. 1, 127-142. |
SY79c. | Schoen, Richard; Yau, Shing Tung. Sobre la prueba de la conjetura de masa positiva en relatividad general. Comm. Matemáticas. Phys. 65 (1979), núm. 1, 45–76. |
CY80. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung. Sobre la existencia de una métrica de Kähler completa sobre variedades complejas no compactas y la regularidad de la ecuación de Fefferman. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 33 (1980), núm. 4, 507–544. |
LY80. | Li, Peter; Yau, Shing Tung. Estimaciones de valores propios de una variedad compacta de Riemann. Geometría del operador de Laplace (Proc. Sympos. Pure Math., Univ. Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), págs. 205-239, Proc. Simpos. Matemáticas puras., XXXVI, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1980. |
YY80. | Yang, Paul C .; Yau, Shing Tung. Valores propios del Laplaciano de superficies compactas de Riemann y subvariedades mínimas. Ana. Norma de la Scuola. Sorber. Pisa Cl. Sci. (4) 7 (1980), núm. 1, 55–63. |
SY81. | Schoen, Richard; Yau, Shing Tung. Prueba del teorema de la masa positiva. II. Comm. Matemáticas. Phys. 79 (1981), núm. 2, 231-260. |
LY82. | Li, Peter; Yau, Shing Tung. Un nuevo invariante conforme y sus aplicaciones a la conjetura de Willmore y el primer valor propio de superficies compactas. Inventar. Matemáticas. 69 (1982), núm. 2, 269-291. |
MSY82. | Meeks, William, III; Simón, León; Yau, Shing Tung. Superficies mínimas incrustadas, esferas exóticas y colectores con curvatura de Ricci positiva. Ana. de Matemáticas. (2) 116 (1982), núm. 3, 621–659. |
LY83. | Li, Peter; Yau, Shing Tung. Sobre la ecuación de Schrödinger y el problema de los valores propios. Comm. Matemáticas. Phys. 88 (1983), núm. 3, 309–318. |
CY86. | Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing-Tung. Hiperesuperficies afines completas. I. La integridad de las métricas afines. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 39 (1986), núm. 6, 839–866. |
LY86. | Li, Peter; Yau, Shing-Tung. Sobre el núcleo parabólico del operador de Schrödinger. Acta Math. 156 (1986), núm. 3-4, 153-201. |
UY86. | Uhlenbeck, K .; Yau, S.-T. Sobre la existencia de conexiones Hermitian-Yang-Mills en paquetes de vectores estables. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 39 (1986), núm. S, supl., S257 – S293.
|
SY88. | Schoen, R .; Yau, S.-T. Variedades conformamente planas, grupos kleinianos y curvatura escalar. Inventar. Matemáticas. 92 (1988), núm. 1, 47–71. |
SYZ96. | Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric. La simetría de espejo es T-dualidad. Nuclear Phys. B 479 (1996), núm. 1-2, 243-259. |
LLY97. | Lian, Bong H .; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung. Principio espejo. I. Asiático J. Math. 1 (1997), núm. 4, 729–763. |
Artículos de encuestas
- Yau, Shing Tung. Sección de problemas. Seminario sobre geometría diferencial, págs. 669–706, Ann. de Matemáticas. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, Nueva Jersey, 1982.
- Yau, Shing Tung. Encuesta sobre ecuaciones diferenciales parciales en geometría diferencial. Seminario sobre geometría diferencial, págs. 3-71, Ann. de Matemáticas. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, Nueva Jersey, 1982.
- Yau, Shing-Tung. Análisis no lineal en geometría. Enseign. Matemáticas. (2) 33 (1987), núm. 1-2, 109-158. También publicado como: Monographies de L'Enseignement Mathématique, 33. Série des Conférences de l'Union Mathématique Internationale, 8. L'Enseignement Mathématique, Ginebra, 1986. 54 págs.
- Yau, Shing-Tung. Problemas abiertos en geometría. Geometría diferencial: ecuaciones diferenciales parciales sobre variedades (Los Ángeles, CA, 1990), 1–28, Proc. Simpos. Pure Math., 54, Parte 1, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1993.
- Yau, S.-T. Revisión de geometría y análisis. Asian J. Math. 4 (2000), núm. 1, 235–278.
- Yau, Shing-Tung. Perspectivas sobre el análisis geométrico. Encuestas en geometría diferencial. Vol. X, 275–379, Surv. Diferir de. Geom., 10, int. Prensa, Somerville, MA, 2006.
- Obras expositivas seleccionadas de Shing-Tung Yau con comentario. Vol. I-II. Editado por Lizhen Ji, Peter Li, Kefeng Liu y Richard Schoen. Conferencias avanzadas de matemáticas (ALM), 28–29. Prensa internacional, Somerville, MA; Higher Education Press, Beijing, 2014. xxxii + 703 pp; xxxii + 650 págs. ISBN 978-1-57146-293-0 , 978-1-57146-294-7
Libros de texto y monografías técnicas
- Schoen, R .; Yau, S.-T. Conferencias sobre geometría diferencial. Apuntes de conferencias preparados por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong y Yi Chao Xu. Traducido del chino por Ding y SY Cheng. Con un prefacio traducido del chino por Kaising Tso. Actas de conferencias y notas de conferencias sobre geometría y topología, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 págs. ISBN 1-57146-012-8
- Schoen, R .; Yau, ST Conferencias sobre mapas armónicos. Actas de conferencias y notas de conferencias en geometría y topología, II. International Press, Cambridge, MA, 1997. vi + 394 págs. ISBN 1-57146-002-0
- Salaff, Stephen; Yau, Shing-Tung. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Segunda edicion. International Press, Cambridge, MA, 1998. vi + 72 págs. ISBN 1-57146-065-9
- Gu, Xianfeng David; Yau, Shing-Tung. Geometría conforme computacional. Con 1 CD-ROM (Windows, Macintosh y Linux). Conferencias Avanzadas en Matemáticas (ALM), 3. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Beijing, 2008. vi + 295 págs. ISBN 978-1-57146-171-1
Libros populares
- Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. La forma del espacio interior. Teoría de cuerdas y geometría de las dimensiones ocultas del universo. Basic Books, Nueva York, 2010. xx + 377 págs. ISBN 978-0-465-02023-2
- Nadis, Steve; Yau, Shing-Tung. Una historia en suma. 150 años de matemáticas en Harvard (1825-1975). Harvard University Press, Cambridge, MA, 2013. xx + 249 págs. ISBN 978-0-674-72500-3
- Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. La forma de una vida. La búsqueda de un matemático de la geometría oculta del universo. Prensa de la Universidad de Yale, New Haven, CT, 2019. xvi + 293 págs. ISBN 978-0-300-23590-6
Ver también
- Colector Calabi – Yau
- Conjetura de Calabi
- Teorema de la energía positiva
- Conjetura de SYZ
- Correspondencia de Kobayashi-Hitchin
Notas
- ↑ De acuerdo con la ley de nacionalidad china , era un ciudadano chino por ascendencia y nacimiento y permaneció así hasta su naturalización.
Referencias
- ^ "Preguntas y respuestas con Shing-Tung Yau" , Physics Today , 11 de abril de 2016.
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Stephen Hawking me invitó a discutir [la prueba] con él en la Universidad de Cambridge a fines de agosto de 1978. Acepté con mucho gusto ... Sin embargo, viajar fue difícil porque el Consulado Británico había tomado recientemente mi tarjeta de residente de Hong Kong, sosteniendo que podía No lo guardo ahora que tengo una tarjeta verde de los Estados Unidos. En el proceso, me convertí en apátrida. Ya no era ciudadano de ningún país ... hasta que me convertí en ciudadano estadounidense en 1990.
- ^ a b Nasar, Sylvia; Gruber, David (26 de agosto de 2006). "Destino múltiple: un problema legendario y la batalla sobre quién lo resolvió" . Neoyorquino . Consultado el 26 de febrero de 2020 .
- ^ Overbye, Dennis (17 de octubre de 2006). "Científico en el trabajo: Shing-Tung Yau, el emperador de las matemáticas" . The New York Times . Consultado el 14 de septiembre de 2013 .
Se convirtió en ciudadano de los Estados Unidos en 1990.
- ^ "Universidad de California, San Diego: relaciones externas: noticias e información: comunicados de prensa: ciencia" .
- ^ "Facultad del Departamento de Matemáticas, Universidad de Harvard" .
- ^ "Shing-Tung Yau, matemático de UCSD recibió la medalla Fields". En "Comunicados de prensa", serie dos de materiales de relaciones públicas de comunicaciones de la universidad. RSS 6020. Colecciones especiales y archivos, UC San Diego
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- ↑ Para ambos lados de la disputa, ver "Bong Lian y Kefeng Liu, On the Mirror Conjecture " (disponible en semanticscholar.org) y una nota al pie extendida en "Givental, Alexander. Invariantes elípticos de Gromov-Witten y la conjetura generalizada del espejo. Integrable sistemas y geometría algebraica (Kobe / Kyoto, 1997), 107-155, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1998 "(disponible en arxiv.org).
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- ^ Véanse las reimpresiones de los artículos "Sección de problemas" y "Problemas abiertos en geometría" en "Obras expositivas seleccionadas de Shing-Tung Yau con comentario. Vol. I. Editado por Lizhen Ji, Peter Li, Kefeng Liu y Richard Schoen. Avanzado Conferencias en Matemáticas (ALM) ", 28. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Beijing, 2014. xxxii + 703 págs. ISBN 978-1-57146-293-0
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- ↑ Logunov, Alexander. Conjuntos nodales de funciones propias de Laplace: prueba de la conjetura de Nadirashvili y del límite inferior en la conjetura de Yau. Ana. de Matemáticas. (2) 187 (2018), núm. 1, 241–262.
- ↑ Logunov, Alexander; Malinnikova, Eugenia. Conjuntos nodales de funciones propias de Laplace: estimaciones de la medida de Hausdorff en las dimensiones dos y tres. 50 años con espacios Hardy, 333–344, Oper. Teoría Adv. Solicitud, 261, Birkhäuser / Springer, Cham, 2018.
- ^ Página en el Centro de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Zhejiang
- ^ https://cmsa.fas.harvard.edu/about/
- ^ Sitio web de Yau, con información sobre su acción legal y carta a The New Yorker
- ^ Dennis Overbye (17 de octubre de 2006). "Shing-tung Yau: el emperador de las matemáticas" . New York Times .
- ^ Famoso científico critica la corrupción académica en China. Archivado el17 de septiembre de2008 en Wayback Machine , China View (Xinhua) , el 17 de agosto de 2006. Recuperado el 5 de agosto de 2008.
- ^ "Premio John J. Carty para el avance de la ciencia" . Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2010 . Consultado el 1 de enero de 2009 .
- ^ "... por su desarrollo de técnicas no lineales en geometría diferencial que conducen a la solución de varios problemas pendientes".
- ^ Malkah Fleisher, anunciados los ganadores del prestigioso premio Wolf
- ^ Marcel Grossmann, 15a reunión de Marcel Grossmann
enlaces externos
- Centro de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Zhejiang : comentario de varios matemáticos sobre Yau
- Entrevista de la revista Discover, edición de junio de 2010
- Entrevista (11 páginas en chino tradicional )
- Cuenta autobiográfica de Yau (principalmente en inglés, algo de chino)
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Shing-Tung Yau" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- Shing-Tung Yau en el Proyecto de genealogía matemática
- Cubriendo una brecha matemática
- UC Irvine cortejando a Yau con una cátedra de $ 2.5 millones
- Conferencia internacional para celebrar el cumpleaños de Shing Tung Yau 27/8 / 2008- 1/9/2008 Universidad de Harvard